1、双基自测1(人教 A 版教材习题改编)函数 yx (x0)的值域为( )1xA( ，2 2， ) B(0，)C2，) D(2，)2下列不等式：a 212a； 2；x 2 1，其中正确的个数a bab 1x2 1是( )A0 B1 C2 D33若 a0，b0，且 a2b20，则 ab 的最大值为( )A. B1 C2 D4124(2011重庆 )若函数 f(x)x (x2)在 xa 处取最小值，则 a( )1x 2A1 B1 C3 D42 35已知 t0，则函数 y 的最小值为_t2 4t 1t考向一 利用基本不等式求最值【例 1】(1)已知 x0，y0，且 2xy1，则 的最小值为_；1x 1
2、y(2)当 x0 时，则 f(x) 的最大值为_ 2xx2 1【训练 1】 (1)已知 x1，则 f(x)x 的最小值为_1x 1(2)已知 0x ，则 y2x5x 2 的最大值为_ 25(3)若 x，y(0，)且 2x8y xy0，则 xy 的最小值为_考向二 利用基本不等式证明不等式【例 2】已知 a0，b0，c0，求证： abc.bca cab abc【训练 2】 已知 a0，b0，c0，且 abc 1.求证： 9.1a 1b 1c考向三 利用基本不等式解决恒成立问题【例 3】(2010 山东)若对任意 x0， a 恒成立，则 a 的取值范围是xx2 3x 1_【训练 3】 (2011
3、宿州模拟)已知 x0，y0，xy x 2y，若 xym 2 恒成立，则实数 m 的最大值是_考向三 利用基本不等式解实际问题【例 3】某单位建造一间地面面积为 12 m2 的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度 x 不得超过 5 m房屋正面的造价为 400 元/m 2，房屋侧面的造价为 150 元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为 5 800 元，如果墙高为 3 m，且不计房屋背面的费用当侧面的长度为多少时，总造价最低？【训练 3】 (2011 广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为 10 万件，每件水晶产品的销售价格为 100 元，固定成本为 80 元从今年起，
4、工厂投入100 万元科技成本并计划以后每年比上一年多投入 100 万元科技成本预计产量每年递增 1 万件，每件水晶产品的固定成本 g(n)与科技成本的投入次数 n的关系是 g(n) .若水晶产品的销售价格不变，第 n 次投入后的年利润为80n 1f(n)万元(1)求出 f(n)的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？【试一试】 (2010 四川)设 ab0，则 a2 的最小值是( ) 1ab 1aa bA1 B2 C3 D4双基自测D(2， )答案 C2解析 不正确，正确，x 2 (x 21) 1211.答案 1x2 1 1x2 1B3解析 a0，b0，a2b2，a2b
5、22 ，即 ab .答案 A2ab124解析 当 x2 时，x 20，f(x)(x2) 22 1x 224，当且仅当 x2 (x 2)，即 x3 时取等号，即当x 2 1x 2 1x 2f(x)取得最小值时，x3，即 a3.答案 C5解析 t0，y t 4242，当且仅当 t1 时取t2 4t 1t 1t等号答案 2 【例 1】解析 (1)x 0，y0，且 2xy1， 3 32 .当且仅当 时，取等号1x 1y 2x yx 2x yy yx 2xy 2 yx 2xy(2)x0，f(x) 1，当且仅当 x ，即 x1 时取等号答2xx2 1 2x 1x 22 1x案 (1)32 (2)12【训练
6、 1】 解析 (1)x1，f(x)(x1) 1213 当且仅当1x 1x2 时取等号 (2)y2x5x 2x (25x) 5x(25x)，150x ， 5x 2,25 x0，5x(25x) 21，y ，当且25 (5x 2 5x2 ) 15仅当 5x2 5x，即 x 时，y max .(3)由 2x8yxy 0，得 2x8yxy， 1，15 15 2y 8xxy(xy) 10 102 1022 18，(8x 2y) 8yx 2xy (4yx xy) 4yxxy当且仅当 ，即 x2y 时取等号，又 2x8y xy0，x12，y 6，4yx xy当 x12， y6 时，xy 取最小值 18.答案
7、(1)3 (2) (3)1815【例 2】证明 a0，b0，c0， 2 2c； 2 bca cab bcacab bca abc2b； 2 2a.以上三式相加得：bcaabc cab abc cababc2 2(ab c)，即 abc .(bca cab abc) bca cab abc【训练 2】 证明 a0，b0，c 0，且 abc 1， 1a 1b 1c a b ca a b cb3 3 a b cc ba ca ab cb ac bc (ba ab) (ca ac) (cb bc)32229，当且仅当 abc 时，取等号13解析 若对任意 x0， a 恒成立，只需求得 y 的最大值xx
8、2 3x 1 xx2 3x 1即可，因为 x0，所以 y ，当且仅当 x1 时xx2 3x 1 1x 1x 312 x1x 15取等号，所以 a 的取值范围是 答案 15， ) 15， )【训练 3】解析 由 x 0，y 0，xy x2y 2 ，得 xy8，于是由2xym2xy 恒成立，得 m 28，m10，故 m 的最大值为 10.答案 10【例 3解 由题意可得，造价 y3(2x 150 400)5 12x800900 5 800(0x5)，则 y900 5 (x 16x) (x 16x)8009002 5 80013 000(元)，x16x当且仅当 x ，即 x4 时取等号故当侧面的长度
9、为 4 米时，总造价最低16x【训练 3】 解 (1)第 n 次投入后，产量为(10n)万件，销售价格为 100 元，固定成本为 元，科技成本投入为 100n 万元所以，年利润为 f(n)(10n)80n 1100n( nN *)(2)由(1)知 f(n)(10n) 100n(100 80n 1) (100 80n 1)1 00080 520(万元)当且仅当 ，(n 1 9n 1) n 1 9n 1即 n8 时，利润最高，最高利润为 520 万元所以，从今年算起第 8 年利润最高，最高利润为 520 万元 【示例】 正解 a0，b0，且 ab1， (ab)1 2 32 32 .1a 2b (1a 2b) ba 2ab ba2ab 2当且仅当Error!即Error!时， 的最小值为 32 .1a 2b 2【试一试】尝试解答 a 2 a 2abab a(ab) 1ab 1aa b 1ab 1aa bab 2 2 224.当且仅当 a(ab)1aa b 1ab aa b 1aa b ab1ab且 ab ，即 a2b 时，等号成立答案 D1aa b 1ab
