1、1. 写出下列随机试验的样本空间：1) 记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分） ；2) 一个口袋中有 5 个外形相同的球，编号分别为 1、2、3、4、5，从中同时取出 3 个球；3) 某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；4) 在单位圆内任意取一点，记录它的坐标. 解：1）设小班共有 个学生，每个学生的成绩为 到 的整数，分别记为n0，则全班平均分为 ，于是样本空间为n，x,1 nxni1=10,2S0,32|i2）所有的组合数共有 种，35C45,4,4,33）至少射击一次， 1S4）单位圆中的坐标 满足 ，),(yx12y1|),(2yxS2. 已知 BA，
2、 3.0P， 5.0)(B，求 AP， B， )(AP和 )(B.解 )( 71)(（因为 A）.P2.)(（因为 ， 则 ）5.0)(3. 设有 10 件产品，其中 6 件正品，4 件次品，从中任取 3 件，求下列事件的概率：1） 只有一件次品；2） 最多 1 件次品；3） 至少 1 件次品. 解 1）设 表示只有一件次品， .A310264)(CAP2)设 为最多 1 件次品，则表示所取到的产品中或者没有次品，或者只有一件B次品， .3102646)(CP3）设 C 表示至少 1 件次品，它的对立事件为没有一件次品， 306)()(4. 盒子里有 10 个球，分别标有从 1 到 10 的标
3、号，任选 3 球，记录其号码. （1）求最小号码为 5 的概率. （2）求最大号码为 5 的概率. 解 1）若最小号码为 5，则其余的 2 个球必从 6，7，8，9，10 号这 5 个球中取得。则它的概率为 .12305C2)若最大号码为 5，则其余的 2 个球必从 1，2，3，4 号这 4 个球中取得。则它的概率为 .310245. 有 a 个白球，b 个黑球，从中一个一个不返回地摸球，直至留在口袋中的球都是同一种颜色为止. 求最后是白球留在口袋中概率. 解 设最后留在口袋中的全是白球这一事件为 A，另设想把球继续依次取完，设取到最后的一个球是白球这一事件为 B，可以验证 A=B， 显然 .
4、baBP)(6. 一间学生寝室中住有 6 位同学，求下列事件的概率：1）6 个人中至少有 1 人生日在 10 月份；2）6 个人中有 4 人的生日在 10 月份；3）6 个人中有 4 人的生日在同一月份. （假定每个人生日在同各个月份的可能性相同）解 1）设 6 个人中至少有 1 人生日在 10 月份这一事件为 A；它的逆事件为没有一个人生日在 10 月份，生日不在 10 月份的概率为 ，则126)2()(AP2）设 6 个人中有 4 人的生日在 10 月份这一事件为 B，则.4)1()(CB3) 设 6 个人中有 4 人的生日在同一月份这一事件为 C. 则24)1(2)()(P7. 甲乙两人
5、独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6 和 0.5，现已知目标被击中，问由甲射中的概率为多少？解 设 A 和 B 分别表示甲和乙射中。 C 表示目标被射中，则.803.56.0)()()() PC75.086|(PA8. 某商店出售的电灯泡由甲、乙两厂生产，其中甲厂的产品占 60%，乙厂的产品占 40%. 已知甲厂产品的次品率为 4%，乙厂产品的次品率 5%. 一位顾客随机地取出一个电灯泡，求它是合格品的概率. 解 设 A 和 B 分别表示电灯泡由甲厂和乙厂生产， C 表示产品为合格。则 956.0.496.0)|()|()( BCPPC9. 已知男子有 5%是色盲患者，女子有 0.
6、25%是色盲患者. 今从男女为数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率多少？解 设挑选到的人为男性和女性分别为 A 和 B。另设某人是色盲患者为 C。由已知条件， ， ；21)(BPA05.)|(AC.025)|(BCP则 9.|)|( CP10. 甲、乙、丙三人独立地向一敌机射击，设甲、乙、丙命中率分别为0.4，0.5，0.7，又设敌机被击中 1 次，2 次，3 次而坠毁的概率分别为0.2，0.6，1. 现三人向敌机各射击一次，求敌机坠毁的概率. 解 设敌机被击中 1 次，2 次，3 次的事件分别为 A，B，C. 敌机坠毁的事件为。则 1)|(;6.0)|(;.0)|
7、( CDPBADP 36.07)5.1()4.0(7.541754.0)( 5B.C458.0 14.236.)|()|()|()( 11. 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为 1/5，1/3，1/4. 问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？解 三人译出密码分别记为 A，B，C。则 即为所求事件（三人中至少CB有一人能将此密码译出） 。它的对立事件为 。又因为各人译出密码是相A互独立的，则 6.0)4/1(3/)5/1()(1)( PP12. 甲袋中装有 n只白球、 m只红球；乙袋中装有 N只白球、 M只红球. 今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球
8、，问取到白球的概率是多少？解 设从甲袋中取出白球记为 A， 从乙取出白球记为 B。 )1)(11)|()|() NnmnnBPAPB13. 做一系列独立的试验，每次成功的概率为 ，求在成功 次之前已经失败了p次的概率.m解 根据题意，试验在第 n+m 次是成功的（记为 A） ，前 n+m-1 次中有 m 次是失败的（记为 B） 。而前 n+m-1 次中有 m 次失败是一个二项分布 B（n+m-1,1-p）, 所求概率为 nmnmn pCppCPA)1()1()()( 114. 甲给乙打电话，但忘记了电话号码的最后 1 位数字，因而对最后 1 位数字就随机地拨号，若拨完整个电话号码算完成 1 次
9、拨号，并假设乙的电话不占线. （1）求到第 次才拨通乙的电话的概率；（ 2）求不超过 次而拨通k k乙的电话的概率. （设 ）10解 1）该问题相当于在 09 这十个数字中不放回抽样，第 k 次正好抽到所需的数字这一个问题。根据抽签与次序无关的结果，第 k 次抽到的概率为1/10。2）第二个问题相当于一次性地抓了 k 个数字，所需数字正好在所抓的数字中这样一个问题。由于每个数字都是等可能被抽到，所需数字落在所抓数字中的概率与所抓的数目 k 成正比。设 表示所需数字在所抓的 k 个数字中，kA，其中 C 为常数。kAP)( 10/)(P（或 ）可得出 C=1/10。所以10 k15. 将 3 个
10、小球随机地放入 4 个盒子中，求盒子中球的最多个数分别为 1, 2, 3的概率.解 3 个球随机放入 4 个盒子共有 种放法。盒子中最多个数为 1，相当于 4 个3盒子中分别有 1，1，1，0 个球，这种情形的放法共有 种（选一个空盒!34C有 4 种选法，剩下的每盒有一个球相当于全排列） 。故 8)(341AP盒子中最多个数为 3，相当于 4 个盒子中有一个盒子中有 3 个球，其它 3 个盒子没有球。它的放法共有 种（选一个盒子，放入 3 个球） 。故1C164)(32CAP盒子中求的最多个数为 2 相当于排除以上 2 种情况而剩下来的情形。16/98/3)(2 16. 设有一传输信道，若将
11、三字母 A, B, C 分别输入信道 , 输出为原字母的概率为 , 输出为其它字母的概率为 , 现将 3 个字母串 AAAA, BBBB, 2/)(CCCC 分别输入信道,输入的分别为 p1, p2, p3, 且 p1+p2+p3=1,已知输出字母串为 ABCA, 问输入为 AAAA 的概率是多少?解 4)()(21)|(ABCP8(| 3)1(2)()12)|( )1()3(28)1(8)1(4)1(4 )|()()|()()|()()|( 3222 pppp CABPCBAPBABCPABCAP17. 证明: 若 , 则事件 与 相互独立 .)|()|(BAPB证明： ， ，所以|BAP)
12、(|)()(BAPAP即 )()(1)( 即 )()(BPA18. 某地区约有 5%的人体内携带有乙肝病毒 , 求该地区某校一个班的 50 名学生中至少有一人体内携带有乙肝病毒的概率.解 设 为学生携带有乙肝病毒， . 不携带有乙肝病毒为 ，05)(APA，50 名学生中至少有一人体内携带有乙肝病毒的对立事件是 5095.0)(AP名学生都不携带有乙肝病毒，P（50 名学生都不携带有乙肝病毒）= 。所以 P（50 名学生中至少有一人体内携带有乙肝病毒）=1-. 509.19. 两人相约于 7 点到 8 点之间在某地见面，求一人要等另一人半小时以上的概率. 解 设 X 和 Y 分别为两人的到达时刻。显然， 。60;0YX25.063)0|(| P20. 从区间（0，1）内任取两个数，求这两数的和小于 1.2 概率. 解 设 X 和 Y 分别为两个所取的数。显然， 。10;YX68.012/.802.P
