1、1五、 (导)函数的零点(方程的根或曲线与 轴的交点)x1、函数方程 的根0)(xf三种语言:函数的零点,曲线与 轴的交点,方程的根常用方法: 存在性 闭区间上连续函数的介值定理唯一性 单调性(导数的符号); 反证法;简单作图(单调区间,极值) ,分析与 轴的相对位置x(1) 设常数 , 在 内0kkexfln)(),0(零点个数为A3B2C1D(2) 当 取何值时, 恰好aaxxf29)(3有两个不同零点2 4 6 8(3)若 ,则方程05ba 04325cbxax无实根 有唯一实根 AB有三个不同实根 有五个不同实根CD(4)设函数 在 连续,且 ,)(xf,ba0)(xf2则 在 内的根
2、是0)(1)(dtftfxbxa),(ba0 1 2 无穷多个ABCD(5)在 内,方程),(0cos214x无实根 有且仅有唯一实根 AB有且仅有两个实根 有无穷多个实根CD(6)证明 在 内有dxex02cos1ln),0(且仅有两个不同实根(7)讨论 的零点个数aFx)()((8)讨论曲线 与 的交点个数 kyln4xy4ln(2003,2) (9)就 的不同取值,确定方程 在kksi2)2,0(内根的个数,并证明你的结论(10)求方程 不同实根的个数,0arctnx其中 为参数k(2011,1)(11)设有方程 ,其中 为正整数,1xnn证明此方程存在唯一正实根 3(2004,1)(1
3、2)证明方程 恰有 2 个实根034arctn4x(2011,3)4第三部分 一元函数积分学一 、基本要求1 掌握不定积分的基本性质和基本积分公式2 掌握不定积分的换元与分部积分法 3 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分(数一、二)4 理解定积分的概念和基本性质,掌握定积分中值定理5 理解积分上限函数,并会求其导数6 会计算反常积分7 掌握定积分计算平面图形的面积,旋转体的体积和函数的平均值;(仅数一、二要求)掌握用定积分计算平面曲线的弧长,旋转体的侧面积,平行截面面积已知的立体体积;功引力、压力等;(仅数三要求)利用定积分求解简单的经济应用问题二 、重点1 不定积分与定积分的概
4、念、性质、计算2 各种类型的变限积分问题3 和定积分相关的证明4 定积分的应用问题5三 、难点1 和定积分相关的证明2 定积分的应用问题四 、内容小结1 原函数(不定积分)存在定理连续函数必有原函数注:含间断点的函数也可能存在原函数如, , 在0,0,1cosin2)(xxxf )(xf不连续,但显然 是0,in)(2F的一个原函数,因为 是 只有一个间断点的)(xf xf10有界函数,所以可积,且 si)()(01d2 不定积分的性质上其中CxFdf)()( )(xfFtfa dgbxfbgf )()(ddx6dxfxfd)()(CCxff)(3 基本公式(熟)axxarctn12 Cdsi
5、2xaxaln212 Cd 22l4 基本积分法 重要凑微分法: 熟悉常见的凑微分因子换元法: 三角代换 、根式代换、倒代换、指数代换、其他代换分部积分法: 适用于两种不同类型函数乘积的积分 注: , , , 等在初等dxe2sindxl1x4函数范围内没有原函数!75 定积分定义baknkdxfxf)()(10lim连续 可积,即nabkfdfnkba )()(10liafnk)(1lim特例: ,即 等分nxk,0nkfdf1)(010linfkn1m如,(1) 22211li nnn (2) 222limn8(3) nbnaban )1si()si(lim(4) (2004,2) 等于n
6、n n121li2Axd21BlxdC21)ln(D21)(ln(5) nnn 1si21siilm96 定积分性质(1) abbadxfxf)()(adxf0)((2) abaut(3)线性性质、可加性 (4) bdxa1以上性质用于计算!(5)比较定理 若 在 可积)(,xgfba,且 ,则baxgf),(dxgf)(事实上,若 在 连续,f,且 ,只要 不恒等于 ,f,)()(xf)(则 babadxg推论: 若 在 可积,且 ,)(f, baxf,0)(则 0)(baxf若 在 可积,则 在 可积,且b,xf,常考!dffaba)(若 是 上非负的连续函数, 只要 不恒x, )(xf等于零,则必有 0)(baxf(6)估值定理10设 的最小值与最大值分别为 和 ,)(xf mMba,则 )()(abdxfmba(7)定积分中值定理 常用于证明! 若 在 连续,则在 上至少存在一点 ,)(xfb,使 aabfdf)(或 xb)(称 上式为 在 的平均值公式xf,(8)如果 在 连续,且 不变号,则至)(,gfba,)(xg少存在一点 ,使badxfdf )()(7 重要公式、定理(1) ; ;badxf0)()()(xfdfxftf)(