1、1必修 4 第二章平面向量单元测试(一)一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)1在矩形 中， 是对角线的交点，若 ， ，则 （ ）ABCDO15eBC23eDOCA B C D)3221e（ )312e（ )2（ )511e（2对于菱形 ，给出下列各式： BC |AB | BCAD 222|4|DC其中正确的个数为 （ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个3在 中，设 ， ， ， ，则下列等式中不正确的是（ aAbaAdB）A B C Dcbadbac4已知向量 与 反向，下列等式中成立的是 （ ）A B|ba |baC D| |5已知平行四边形三个顶点的坐标分别为 ， ， ，则第四个
2、点的坐标为（ ）(-1,0)3,(1,-5)A 或 B 或(1,)5,-C 或 D 或 或3) (,)-,)(,-6与向量 平行的单位向量为 （ ）)5,12(dA B C 或 D,3)135,()35,2()135,2()135,2(27若 ， ， ，则 与 的数量积为 （ ）32041|ba4|a5|babA10 3B10 C10 2D108若将向量 ),(围绕原点按逆时针旋转 得到向量 ,则 的坐标为 ( ）4A. B C D2,()23,( )2,3()2,39设 ，下列向量中，与向量 一定不平行的向量是 （ ）Rk)1,(QA B),(b ),(kcC D12kd 12e10已知 ，
3、 ，且 36)5(ba，则 与 的夹角为 （ ）0|a|babA B C D601201015二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)11非零向量 ， 满足 ，则 ， 的夹角为 .ab|ba12在四边形 中，若 ， ，且 ,则四边形 的形状是ABCDAD|baABCD_ 13已知 ， ，若 与 平行，则 .)2,3(a)1,(bba14已知 为单位向量， ， 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影为 .e4|e32ae三、解答题(每题 14 分,共 84 分)15已知非零向量 ， 满足 ,求证: .ab|bab316已知在 中， ， ，且 中 为直角，求 的值.ABC)3,2(),1(kACA
4、BCk17、设 ， 是两个不共线的向量， ， ， ，若 、1e2 21ekAB213eCB21eDA、 三点共线，求 的值.BDk18已知 ， , 与 的夹角为 , ， ,当当实数 为何值2|a3|ba06bac35bkadk时， cdc19如图， 为正方形， 是对角线 上一点， 为矩形，ABCDPDBPECF求证： ； . EFP20如图，矩形 内接于半径为 的圆 ，点 是圆周上任意一点，ABCDrOP求证： .222 8PP4必修 4 第二章平面向量单元测试(二)一、选择题: ( 本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.)1设点 ， ， 的纵坐标为 ，且 、 、 三点共线，则
5、点的横坐标)6,3P）（ 25QR9PQR为（ ） 。A、 B、 C、9 D、6 962已知 ， ，则 在 上的投影为（ ） 。)3,(a)7,4(babA、 B、 C、 D、 15156653设点 ， ，将向量 按向量 平移后得向量 为（ ） 。(,2)(3,)A)1,(aBAA、 B、 C、 D、 （123,4(4,7)4若 ，且 ，那么 是（ ） 。bcacba3)(BcosinsiCA、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形5已知 ， ， 与 的夹角为 ，则 等于（ ） 。| 06|baA、 B、 C、 D、 131519376已知 、 、 为平面上三点，点 分
6、有向线段 所成的比为 2，则（ ） 。 OABA、 B、 C321 O31C、 D、 BC27 是 所在平面上一点，且满足条件 ，则点 是OA ACBA O的（ ） 。BA、重心 B、垂心 C、 内心 D、外心58设 、 、 均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列 4 个命题：abc(1) (2) (3) 22)( |ba22)(|ba(4) 与 不一定垂直。其中真命题的个数是（ ） 。c)(A、1 B、2 C、3 D、4 9在 中， ，b=1， ，则 等于（ ）.C06ABSCBAcbasinsinA、 B、 C、 D 、 383923263210设 、 不共线，则关于 的方程 的解的情况
7、是（ ） 。abx02cxbaA、至少有一个实数解 B、至多只有一个实数解C、至多有两个实数解 D、可能有无数个实数解二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分.）.11在等腰直角三角形 中，斜边 ，则 _AC2CAB12已知 为正六边形，且 ， ，则用 、 表示 为_. BDEFabDaB13有一两岸平行的河流，水速为 1，速度为 的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程2最短，小船应朝_方向行驶。14如果向量 与 的夹角为 ，那么我们称 为向量 与 的“向量积” ， 是一个向abbaba量，它的长度 ，如果 ， | ， ，则 _.sin|3|2|a|三、解答题：（本大
8、题共 4 小题，满分 44 分.）15已知向量 ，求向量 ，使 ，并且 与 的夹角为 .（10 分）)3,(ab| b3616、已知平面上 3 个向量 、 、 的模均为 1，它们相互之间的夹角均为 . abc 012(1) 求证： ； cba)(2)若 ，求 的取值范围.（12 分）)(1| Rkk17 （本小题满分 12 分) 已知 ， 是两个不共线的向量， ， ， ，若 、1e2 21eAB218eC213eCDA、 三点在同一条直线上，求实数 的值. BD718某人在静水中游泳，速度为 公里/小时，他在水流速度为 4 公里/小时的河中游泳. 34(1)若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方
9、向前进？实际前进的速度为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？ 8必修 4 第二章平面向量单元测试(二)参考答案 一、选择题： 1. D. 设 R(x, -9), 则由 得(x+5)(-8)=-118, x=6. 2. C. |b| , | | = . 3. A. 平移后所得向量与原向量相等。 4A由(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 得 a2=b2+c2-bc, A=60. sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC，得 cosBsinC=0, ABC 是直角三角形。 5D . 6. B 7. B. 由
10、，得 OBCA ，同理 OABC ，O 是ABC 的垂心。 8A(1)(2)(4) 均错。 9B 由 ，得 c=4, 又 a2=b2+c2-2bccosA=13, .10B - =x2 +xb，根据平面向量基本定理，有且仅有一对实数 和 ，使- = + b。故 =x 2, 且 =x,= 2，故原方程至多有一个实数解。 二、填空题 11. 412. 13. 与水流方向成 135角。 14 。 b=| |b|cos, , | b|=| |b|sin 9三、解答题15由题设 , 设 b= , 则由 ,得 . , 解得 sin=1 或 。当 sin=1 时，cos =0 ；当 时， 。故所求的向量 或
11、 。16(1) 向量 、 b、 的模均为 1，且它们之间的夹角均为 120。 , ( -b) .(2) |k +b+ |1, |k +b+ |21,k 2 2+b2+ 2+2k b+2k +2b 1, ,k 2-2k0, k2。17解法一： A、 B、 D 三点共线 与 共线，存在实数 k,使 =k BABD又 CC=( +4)e1+6e2. 有 e1+e2=k( +4)e1+6ke2 有 6)46解法二： A、 B、 D 三点共线 与 共线， 存在实数 m,使 10又 =(3+ )e1+5e2 CBD(3+ )me1+5me2=e1+e2 有 53(518、解：(1)如图，设人游泳的速度为 ，水流的速度为 ，以 、 为OBOAB邻边作 OACB，则此人的实际速度为 CA图 图由勾股定理知| |=8 OC且在 Rt ACO 中， COA=60,故此人沿与河岸成 60的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为 8 公里/小时. (2)如图,设此人的实际速度为 ，水流速度为 ，则游速为 ，DOAOAD在 Rt AOD 中， . 3cos,24|,|,34| OAD DAO=arccos . 故此人沿与河岸成 arccos 的夹角逆着水流方向前进，实际前进的速度大小为34 公里 /小时 .2
