1、1双曲线基本知识点双曲线标准方程（焦点在 轴）x)0,(12bayx标准方程（焦点在 轴）y)0,(12baxy第一定义：平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值是常数（小于 ）1F12F的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。aMF2121第二定义：平面内与一个定点 和一条定直线 的距离的比是常数 ，当Fle时，动点的轨迹是双曲线。定点 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲1e线的准线，常数 （ ）叫做双曲线的离心率。e1定义范围 ，xayR，yaxR对称轴 轴 ， 轴；实轴长为 ,虚轴长为22b对称中心原点 (0,)O1(,)Fc2(,)c 1(0,)Fc2(0,)
2、c焦点坐标 焦点在实轴上， ；焦距：2ab顶点坐标（ ,0） ( ,0)a(0, ,) (0， )axyP 1F2PxyP12xyP 1F2xyP1F2FP2离心率 1)eac(x2cay2准线方程 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离： ca2顶点到准线的距离顶点 （ ）到准线 （ ）的距离为1A21l2ca2顶点 （ ）到准线 （ ）的距离为 焦点到准线的距离焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为1F21l2ca2焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为渐近线方程xaby yabx共渐近线的双曲线系方程（ ）kb20（ ）kb20直线和双曲线的位置双曲线 与直线 的位置关系：12byaxy
3、kxb利用 转化为一元二次方程用判别式确定。2ykx二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦 AB 的弦长 2211()4ABkxx通径： 21y3补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长=半虚轴长（一般而言是 a=b，但有些地区教材版本不同，不一定用的是 a,b 这两个字母）；（2）其标准方程为 x2-y2=C，其中 C0；（3）离心率 e=2；（4）渐近线：两条渐近线 y=x 互相垂直；（5）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项；（6）等轴双曲线上任意一点 P 处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被 P 所平分；（7）等轴双曲线上任意一点处的切线与
4、两条渐近线围成三角形的面积恒为常数 a2；（8）等轴双曲线 x2-y2=C 绕其中心以逆时针方向旋转 45后，可以得到 XY=a2/2，其中C0。所以反比例函数 y=k/x 的图像一定是等轴双曲线。例题分析：例 1、动点 与点 与点 满足 ，则点 的轨迹方程为（ ）P1(05)F，2(05)，126PFP 296xy9xy 21(3) 21(3)6同步练习一:如果双曲线的渐近线方程为 ，则离心率为（ ）34yx 或 535453例 2、已知双曲线 的离心率为 ，则 的范围为（ ）21xyk2ek 1k0 502k同步练习二:双曲线 的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 21xyab例 3、
5、设 是双曲线 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 ， 分别是双P29 320xy12F曲线的左、右焦点，若 ，则 的值为 13PF2同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为 ，且经过点 ，则双曲线的标准方程为 (0)2， (215)，。例 4、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是 4(A) -y2=1 和 - =1 (B) -y2=1 和 y2- =1x3y29x3x3x3(C)y2- =1 和 x2- =1 (D) -y2=1 和 - =192同步练习四:已知双曲线的中心在原点，两个焦点 分别为 和 ，点 在双曲线上12F，(50)，()，P且 ，且 的面积为 1，则双曲线的方程为（
6、 ）12PF12PF 3xy23xy 214214例 5、与双曲线 有共同的渐近线，且经过点 A 的双曲线的一个焦点到一条渐692yx 32,(近线的距离是（ ） （A）8 （B）4 （C）2 （D）1同步练习五:以 为渐近线，一个焦点是 F（0，2）的双曲线方程为（ ）xy3例 6、下列方程中，以 x2y=0 为渐近线的双曲线方程是 (A) 12yx)(1y2x)(16y4)(14x22 同步练习六:双曲线 8kx2-ky2=8 的一个焦点是(0，3)，那么 k 的值是 例 7、经过双曲线 的右焦点 F2作倾斜角为 30的弦 AB，（1）求|AB|.（2）F 1是双曲线的左焦点，求F 1AB
7、 的周长同步练习七过点（0 ，3 ）的直线 l 与双曲线 只有一个公共点，求直线 l 的方程。5高考真题分析1.【2012 高考新课标文 10】等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线CxC的准线交于 两点， ；则 的实轴长为（ ）xy162,AB43()A()2()()D【答案】C【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.【解析】由题设知抛物线的准线为： 4x，设等轴双曲线方程为： 22xya，将 4x代入等轴双曲线方程解得 y= 216a， |AB= 3， 216a=43，解得 =2， C的实轴长为 4，故选 C.2.【2012 高考山东文 11】已
8、知双曲线 ： 的离心率为 2.若抛物线1C21(0,)xyab的焦点到双曲线 的渐近线的距离为 2，则抛物线 的方程为2:(0)xpy1 2C(A) (B) (C) (D)283263xy28xy216xy【答案】D 考点：圆锥曲线的性质解析：由双曲线离心率为 2 且双曲线中 a，b，c 的关系可知 ab3，此题应注意 C2 的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线 xy3的距离为 2，可知 p=8 或数形结合，利用直角三角形求解。3.【2012 高考全国文 10】已知 、 为双曲线 的左、右焦点，点 在 上，1F22:CxyPC，则12|PF12cosP（A） （B） （C） （D）4353
9、445【答案】C【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。6【解析】解：由题意可知， 2,abc，设 12|,|PFx，则12|PFx，故 12|4|PF， 4，利用余弦定理可得21()()3cos。4.（2011 年高考湖南卷文科 6)设双曲线21(0)9xya的渐近线方程为 320,xy则 a的值为（ ）A4 B3 C2 D1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为 3yxa，故可知 2a。5.【2012 高考辽宁文 15】已知双曲线 x2 y2 =1,点 F1,F2为其两个焦点，点
10、 P 为双曲线上一点，若 P F1P F 2,则P F 1+P F 2的值为_.【答案】 3【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适中。【解析】由双曲线的方程可知 121,2, ,acPFa221124PFPF22121 121,()8,4,()8,3cPF【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差积和的转化。6.【2012 高考江苏 8】（5 分）在平面直角坐标系 中，若双曲线 的离心率为xOy214xym，则 的值为 5m【答案】2。【考点】双曲线的性质。7【解析】由214xym得 22=4=4ambcm， ， 。2=5cea，即 20，
11、解得 。课后作业1双曲线 的实轴长和虑轴长分别是( )1432yxA. ，4 B.4， C.3，4 D. 2， 2332双曲线 的焦点到它的渐近线的距离等于( )12byaxA. B. C. D. 2ba2ba3如果双曲线的实半轴长为 2，焦距为 6，那么双曲线的离心率为( )A. B. C. D.2 22634双曲线的渐近方程是 ，焦点在坐标轴一，焦距为 10，其方程为( )xy21A. B. 或 C. D. 1520yx501502xy1205yx 1520xy5双曲线 的右准线与渐近线在第一象限的交点和右焦点连线的斜率是( )692A. B. C. D. 433453356双曲线 的两条
12、渐近线所成的角是( )1256yxA. B. C. D. 4arctn24arctn54arctn245arctn27双曲线 与其共轭双曲线有( )12byxA.相同的焦点 B. 相同的准线 C. 相同的渐近线 D. 相等的实轴长 8已知双曲线的渐近线方程为 ，则此双曲线的 （ ）xy43A焦距为 10 B实轴长与虚轴长分别为 8 与 68C离心率 只能是 或 D离心率 不可能是 或e453e4539等轴双曲线的一个焦点是 F1（4，0），则它的标准方程是 ，渐近线方程是 10若双曲线的实轴长，虚轴长，焦距依次成等差数列，则其离心率为_11若双曲线 上的一点 P 到它的右焦点的距离是 8，则到
13、它的右准线之间的距离为 3642yx12若双曲线的一条渐近线方程为 ，左焦点坐标为 ，则它的两条准线之间的023yx )0,26(距离为_ 13写出满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）双曲线的两个焦点是椭圆 的两个顶点，双曲线的两条准线经过这个椭圆的两个16402yx焦点：_ （2）双曲线的渐近线方程为 ，两顶点之间的距离为 2:_ xy14双曲线的其中一条渐近线的斜率为 ，求此双曲线的离心率_7215已知双曲线 的右顶点为 A，而 B、C 是双曲线右支上的两点，如果 是)0(12myx ABC正三角形，则 的取值范围是_ 16设圆过双曲线 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双
14、曲线中1692心的距离是_ 17已知双曲线 上一点 M 到左焦点 F1的距离是它到右焦点距离的 5 倍，则 M 点的坐9162yx标为_18已知直线 过定点（0，1），与双曲线 的左支交于不同的两点 A、B，过线段 AB 的l 2yx中点 M 与定点 的直线交 轴于 ，求 的取值范围.),2(Py),0(bQ919已知双曲线 1682yx（1）过右焦点 F2作一条渐近线的垂线（垂中为 A），交另一渐近线于 B 点，求证：线段 AB 被双曲线的左准线平分；（2）过中心 O 作直线分别交双曲线于 C、D 两点，且 的面积为 20，求直线1CDF)(为 左 焦 点CD 的方程。20P 为双曲线 （ ）上一点， 轴于 M，射线 MP 交渐近线于 Q。求证：12byax0,baxP是定值。2MQ
