1、1三、典型例题选讲（一）考查双曲线的概念例 1 设 P 是双曲线 192yax上一点，双曲线的一条渐近线方程为 023yx， 1F、2F分别是双曲线的左、右焦点若 3|1PF，则 |2（ ）A 或 5 B6 C7 D9分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出 a的值，利用双曲线的定义求出2|P的值解： 双曲线 192yax渐近线方程为 y= xa3，由已知渐近线为 023yx，12,|4FP， |4| 12PF.1|3|0P， 7|F.故选 C归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法（二）基本量求解例 2(2009 山东理)设双曲线 12byax的一条渐近线与抛物线
2、 21yx只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A 45 B5 C 25 D 5解析：双曲线 12byax的一条渐近线为 xaby，由方程组 21byxa，消去 y，得210bx有唯一解，所以= 2()40a，所以 a，2215cbe，故选 D归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能2例 3（2009 全国理）设双曲线21xyab（a0，b0）的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切，则该双曲线的离心率等于( )A. B.2 C. 5 D. 6解析：设切点 0(,)Pxy，
3、则切线的斜率为 0|2xy由题意有 02yx又有201yx，联立两式解得: 2 201,1()5bbeaa因此选 C例 4（2009 江西）设 1F和 2为双曲线2xyb( 0,)的两个焦点，若 12F， ，(0,2)Pb是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ）A 3 B 2 C 52 D 3解析：由 3tan62cb有 224()cbca，则 2ce，故选 B归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征，从而得出 3tn6b，体现数形结合思想的应用（三）求曲线的方程例 5（2009，北京）已知双曲线2:1(0,)xyCab的离心率为 3，右准线方程为 3x3（1）求双曲线 C 的方程；（
4、2）已知直线 0xym与双曲线 C 交于不同的两点 A，B，且线段 AB 的中点在圆5xy上，求 m 的值分析：（1）由已知条件列出 ,abc的关系，求出双曲线 C 的方程；（2）将直线与双曲线方程联立，再由中点坐标公式及点在圆上求出 m 的值解：（1）由题意，得23ca，解得 1,3ac. 22bc，所求双曲线 C的方程为2yx（2）设 A、 B 两点的坐标分别为 12,xy，线段 AB 的中点为 0,Mxy，由210yxm得 220xm（判别式 0） ， 1200,y，点 0,Mx在圆 25上， 225m， 1m另解：设 A、 B 两点的坐标分别为 12,xy，线段 AB 的中点为 0,M
5、xy，由212yx，两式相减得 12121212()()y.由直线的斜率为 1， 121200,xy代入上式，得 0x.又 0(,)Myx在圆上，得 5y，又 0(,)Mx在直线上，可求得 m 的值.归纳小结：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力4例 6 过 (1,)M的直线交双曲线214xy于 ,AB两点，若 M为弦 AB的中点，求直线AB的方程分析：求过定点 的直线方程，只需要求出它的斜率为此可设其斜率是 k，利用 M 为弦 的中点，即可求得 k的值，由此写出直线 的方程也可设出弦的两端点坐标用“点差法”求解
6、解法一：显然直线 AB不垂直于 x轴，设其斜率是 k，则方程为 1()yx由214()xyk消去 y得 22()4(1)460kx 设 ,21,xByA，由于 M 为弦 AB的中点，所以 2()1k，所以 2k显然，当 时方程的判别式大于零.所以直线 AB的方程为 ()yx，即 10y解法二：设 ,)(21,x，则2124xy得 12121212()()0xxyy.又因为 ,，所以 12()x若 12,x则 12y，由 1212,y得 x， 12y则点 AB、 都不在双曲线上，与题设矛盾，所以 12所以 12ykx所以直线 AB的方程为 1()2yx，即 210y5经检验直线 210xy符合题
7、意，故所求直线为 210xy解法三：设 A（ ， ） ，由于 AB、 关于点 M（1，1）对称，所以 B的坐标为（2xy，） ，则22,4().y(-x)消去平方项，得 210xy 即点 A的坐标满足方程，同理点 B的坐标也满足方程故直线 B的方程为 210xy归纳总结：由于双曲线（抛物线）不是“封闭”的曲线，以定点为中点的弦不一定存在，所以在求双曲线（抛物线）中点弦方程时，必须判断满足条件的直线是否存在（四）轨迹问题例 7 已知点 10(,)Pxy为双曲线218xyb（ b为正常数）上任一点， 2F为双曲线的右焦点，过 1作右准线的垂线，垂足为 A，连接 2F并延长交 y轴于 2P求线段 1
8、2的中点P的轨迹 E的方程分析：求轨迹问题有多种方法，如相关点法等，本题注意到点 是线段 12的中点，可利用相关点法解：由已知得 208(3,),)FbAy，则直线 2FA的方程为： 03()yxb令 0x得 09y，即 2(9P设 P（ ， ） ，则 0052xyy，即025xy代入 0218xb得：2418xb，即 P的轨迹 E的方程为22y ()xR归纳小结：将几何特征转化为代数关系是解析几何常用方法（五）突出几何性质的考查6例 8（2006 江西） P是双曲线2196xy的右支上一点， M， N分别是圆2(5)4xy和 2(5)x上的点，则 |P的最大值为（ ）A.6 B.7 C.8
9、D.9解析：双曲线的两个焦点 1(,0)F与 2(5,)恰好是两圆的圆心，欲使 |P的值最大，当且仅当 |PM最大且 |N最小，由平面几何性质知，点 M在线段 1F的延长线上，点 N是线段 2与圆的交点时所求的值最大 .此时 12|()(1)PMNFP9321PF因此选 D例 9（2009 重庆）已知以原点 O为中心的双曲线的一条准线方程为 5x，离心率5e（1）求该双曲线的方程；（2）如图，点 A的坐标为 (5,0)， B是圆 22(5)1xy上的点，点 M在双曲线右支上，求 MB的最小值，并求此时 M点的坐标 .7分析：（1）比较基础，利用所给条件可求得双曲线的方程；（2）利用双曲线的定义
10、将MAB、转化为其它线段，再利用不等式的性质求解解：（1）由题意可知，双曲线的焦点在 x轴上，故可设双曲线的方程为2(0,)xyabab，设 2cab，由准线方程为 5x得2ac，由 5e得 c解得 1,a.从而 2b， 该双曲线的方程为214yx.（2）设点 D 的坐标为 (5,0)，则点 A、 D 为双曲线的焦点，则 |2MADa.所以 |2|BMDB 因为 是圆 22(5)1xy上的点，其圆心为 0,C，半径为 1，故 |BD ，8从而 |2|10MABD 当 ,在线段 CD 上时取等号，此时 |MAB的最小值为 10直线 CD 的方程为 5yx，因点 M 在双曲线右支上，故 x由方程组24x解得 42542,33y所以 M点的坐标为 5(,)归纳小结：本题综合考查双曲线的知识及不等式性质，考查推理能力及数形结合思想
