1、数值计算实践I、方程求根1、实验目的熟悉和掌握 Newton 法,割线法,抛物线法的方法思路，并能够在 matlab 上编程实现2、问题描述(1).给定一个三次方程 ,分别用 Newton 法,割线法,抛物线法求解.方程的构造方法:(a)根:方程的根为学号的后三位乘以倒数第二位加 1 再除以 1000.假设你的学号为 B06060141,则根为 141*(4+1)/1000=0.564(b)方程:以你的学号的后三位数分别作为方程的三次项,二次项,一次项的系数,根据所给的根以及三个系数确定常数项.例如:你的学号是 B06060141,则你的方程是 x3+4x2+x+a0=0 的形式.方程的根为
2、0.564,因此有0.5643+4*0.5642+0.564+a0=0,于是 a0=-2.015790144你的方程为 x3+4x2+x-2.015790144=0.(2)假设方程是 sinx+4x2+x+a0=0 的形式（三个系数分别是学号中的数字），重新解决类似的问题(3)构造一个五次方程完成上面的工作.四次方程的构造:将三次多项式再乘以(x-p*) 2 得到对应的五次多项式 (p*为已经确定的方程的根,显然,得到的五次方程有重根).(4)将（2）中的方程同样乘以(x-p*) 得到一个新的方程来求解注:(1)Newton 法取 0.5 为初值,割线法以 0,1 为初值,抛物线法以 0,0.
3、5,1 为初值,(2)计算精度尽量地取高.终止准则：根据 来终止|1np(3)可供研究的问题：（一） 的取值不同对收敛速度有多大的影响（二）将注（1）中的初值该为其它的初值，对收敛性以及收敛速度有无影响（三） 能否求出方程的所有的根（4）实验报告的撰写实验报告包含的内容：（一）实验目的（二）问题描述（三）算法介绍（包括基本原理）（四）程序（五）计算结果（六）结果分析（七）心得体会3、算法介绍在本问题中，我们用到了 newton 法，割线法，抛物线法。1.Newton 法迭代格式为：)(1kkxfx当初值与真解足够靠近，newton 迭代法收敛，对于单根，newton 收敛速度很快，对于重根，收
4、敛较慢。2.割线法：为了回避导数值的计算，使用上的差商代替，得到割线法迭代公式： )()11kkkxffx割线法的收敛阶虽然低于 newton 法，但迭代以此只需计算一次函数值，不需计算其导数，所以效率高，实际问题中经常应用。3.抛物线法：可以通过三点做一条抛物线，产生迭代序列的方法称为抛物线法。其迭代公式为： )(,)(,)( 111 2 kkkkkk xxxfxxffxp k其中 是一阶均差和二阶均差。,21收敛速度比割线法更接近于 newton 法。对于本问题的解决就以上述理论为依据。终止准则为： |1nx本题中所有精度取 1e-8。4、程序计算结果问题一根据所给的要求，可知待求的方程为
5、： 0356.23x牛顿法建立 newton_1.m 的源程序，源程序代码为：function y=newton_1(a,n,x0,nn,eps1)x(1)=x0;b=1;i=1;while(abs(b)eps1*x(i)i=i+1;x(i)=x(i-1)-n_f(a,n,x(i-1)/n_df(a,n,x(i-1);b=x(i)-x(i-1);if(inn)errorreturn;endendy=x(i);建立 n_f.m 的源程序来求待求根的实数代数方程的函数，源程序代码为：function y=n_f(a,n,x)% 待求根的实数代数方程的函数y=0.0;for i=1:(n+1)y=y
6、+a(i)*x(n+1-i); end建立 n_df.m 的源程序来方程的一阶导数的函数，源程序代码为：function y=n_df(a,n,x)% 方程的一阶导数的函数y=0.0;for i=1:ny=y+a(i)*(n+1-i)*x(n-i);end在matlab软件中执行下列语句并得到的最终结果截图：割线法建立 gexian.m 的源程序，源程序代码为function x=gexian(f,x0,x1,e)if narginei=i+1;z=x-(feval(f,x)*(x-y)/(feval(f,x)-feval(f,y);y=x;x=z;endi在matlab软件中执行下列语句并得
7、到的最终结果截图：抛物线建立 paowuxian.m 的源程序，源程序代码为：function x=paowuxian(f,x0,x1,x2,e)if narginei=i+1;h1=y-z;h2=x-y;c1=(feval(f,y)-feval(f,z)/h1;c2=(feval(f,x)-feval(f,y)/h2;d=(c1-c2)/(h1+h2);w=c2+h2*d;xi=x-(2*feval(f,x)/(w+(w/abs(w)*sqrt(w2-4*feval(f,x)*d);z=y;y=x;x=xi;endi在matlab软件中执行下列语句并得到的最终结果截图：研究一：只改变初值由上
8、述结果可知，方程的解在 0.2 附近，所以将牛顿法为 0.2；割线法的初值设为 0，0.4；抛物线法的初值设为 0，0.2，0.4；牛顿法根据问题1中牛顿法的程序，在matlab 软件中执行下列语句并得到的最终结果截图：割线法根据问题1中割线程序，在matlab 软件中执行下列语句并得到的最终结果截图：抛物线法根据问题 1 中抛物线法程序，在 matlab 软件中执行下列语句并得到的最终结果截图：研究二 只改变精度将精度由 1e-8 改为 1e-50 和 1e-100 观察迭代次数有何变化牛顿法：根据问题 1 中的牛顿法的程序，在 matlab 软件中执行下列语句并得到的最终结果截图：精度为
9、1e-50 时精度为 1e-100 时割线法根据问题 1 中的割线法的程序，在 matlab 软件中执行下列语句并得到的最终结果截图：精度为 1e-50 时精度为 1e-100 时抛物线法根据问题 1 中的抛物线法的程序，在 matlab 软件中执行下列语句并得到的最终结果截图：精度为 1e-50 时精度为 1e-100 时、研究结论在只改变初值时，当初值定得越靠近初值，迭代次数就越少。在只改变精度时，当精度越来越大时，迭代次数并几乎不变。综上所述，初值对迭代次数的影响比较大，精度对迭代次数影响不大。问题二问题描述根据所给的要求，可知待求的方程为： 0356.2sinx问题分析仍然利用（1）中
10、方法求解这一问题，并利用图解法找到初值，通过观察图像，将 newton 法初值设为： 0.1，割线法初值设为：0,0.2。抛物线法初值设为：0,0.1,0.2。图像见下图：0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.500.511.522.533.54Newton 法问题一的牛顿法的求解只适用于线性方程，所以在问题二中用其他方法来求解方程。建立 newton1.m 源程序，源程序代码为：function x=newton1(fn,dfn,x0,e)if narginei=i+1；x0=x;x=x0-feval(fn,x0)/feval(dfn,x0);end在 matlab 软件中执行下列语句并得到最终结果截图割线法利用问题一中的割线法程序，在 matlab 软件中执行下列语句抛物线法
