1、有理数知识点梳理一、正数和负数1 数和负数的概念负数：比 0 小的数 正数：比 0 大的数 0 既不是正数，也不是负数注意：字母 a 可以表示任意数，当 a 表示正数时，-a 是负数；当 a 表示负数时，-a 是正数；当 a 表示 0 时，-a 仍是 0。 （如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a 就不能做出简单判断）正数有时也可以在前面加“+” ，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。2.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上 8表示为：+8；零下 8表示为：-83.0 表示的意
2、义0 表示“ 没有” ，如教室里有 0 个人，就是说教室里没有人；0 是正数和负数的分界线，0 既不是正数，也不是负数。如：整数。二、有理数1.有理数的概念正整数、0、负整数统称为整数（0 和正整数统称为自然数）正分数和负分数统称为分数正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。理解：只有能化成分数的数才是有理数。 是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8也是偶数，-1,-3,-5也是奇数。2.有理数的分类按有理数的意义分类 按正、负来分
3、正整数 正整数整数 0 正有理数负整数 正分数有理数 有理数 0 （0 不能忽视）正分数 负整数分数 负有理数负分数 负分数总结：正整数、0 统称为非负整数（也叫自然数）负整数、0 统称为非正整数正有理数、0 统称为非负有理数负有理数、0 统称为非正有理数三、数轴1 轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。注意：数轴是一条向两端无限延伸的直线；原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；同一数轴上的单位长度要统一；数轴的三要素都是根据实际需要规定的。2.数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点来表示：正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，
4、0 用原点表示。所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。 （如，数轴上的点 不是有理数）3.利用数轴表示两数大小在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数；两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。4.数轴上特殊的最大（小）数最小的自然数是 0，无最大的自然数；最小的正整数是 1，无最大的正整数；最大的负整数是-1，无最小的负整数5.a 可以表示什么数a0 表示 a 是正数；反之，a 是正数，则 a0；a0 时，-a0（负数的相反数是正数）当 a=0 时，-a=0，
5、（0 的相反数是 0）6.多重符号的化简多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负， “-”的个数是偶数时，结果为正。五、绝对值 绝对值的几何定义一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值，记作|a|。2.绝对值的代数定义绝对值的代数定义 可用字母表示为(1)正数的绝对值是它本身； (1)如果 a0，那么|a|=a；(2)一个负数的绝对值是它的相反数； (2)如果 a |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。 ）a0， |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数
6、；绝对值等于其相反数的数是非正数。 ）3.绝对值的性质任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a 取任何有理数，都有|a|0。即 0 的绝对值是 0；绝对值是 0 的数是 0.即：a=0 |a|=0；一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是 0.即：|a|0；任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|a；绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a0） ，则 x=a；互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若 a+b=0，则|a|=|b|；绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则 a=b 或 a=-b；若几个数的绝对值的和等
7、于 0，则这几个数就同时为 0。即|a|+|b|=0，则 a=0 且 b=0。（非负数的常用性质：若几个非负数的和为 0，则有且只有这几个非负数同时为0）4.有理数大小的比较利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。5.绝对值的化简当 a0 时， |a|=a ； 当 a0 时， |a|=-a 6.已知一个数的绝对值，求这个数一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为 0 的数是 0，没有绝
8、对值为负数的数。六、有理数的加减法1.有理数的加法法则同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加，和为零；一个数与零相加，仍得这个数。2.有理数加法的运算律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：互为相反数的两个数先相加“相反数结合法” ；符号相同的两个数先相加“同号结合法” ；分母相同的数先相加“同分母结合法” ；几个数相加得到整数，先相加“凑整法” ；整数与整数、小数与小数相加“同
9、形结合法” 。3.加法性质加法性质 可用字母表示为(1)一个数加正数后的和比原数大 当 b0 时，a+ba(2)加负数后的和比原数小 当 b0 时，a+ba(3)加 0 后的和等于原数 当 b=0 时，a+b=a4.有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。5.有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。在算式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.算式的读法：按这个式子表示的意义
10、读作“负 8、负 7、负 6、正 5 的和”按运算意义读作“负 8 减 7 减 6 加 5”6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：.把符号相同的加数相结合（同号结合法）(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)解：原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （将减法转换成加法）=-33+18-15-1+23 （省略加号和括号）=(-33-15-1)+(18+23) （把符号相同的加数相结合）=-49+41 （运用加法法则一进行运算）=-8 （运用加法法则二进行运算）.把和为整数的加数相结合 （凑整法）(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)
11、-(+4.8)解：原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （将减法转换成加法）=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加号和括号）=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和为整数的加数相结合）=4-10+3.8 （运用加法法则进行运算）=7.8-10 （把符号相同的加数相结合，并进行运算）=-2.2 （得出结论）.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）- - + - + -5321487解：原式=(- - )+(- + )+(+ - )53214387=-1+0-8=-11.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合
12、）(+0.125)-(-3 )+(-3 )-(-10 )-(+1.25)438132解：原式=(+ )+(+3 )+(-3 )+(+10 )+(-1 )ba= +3 -3 +10 -181=(3 -1 )+( -3 )+10438132=2 -3+102=-3+13 6=10 1.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）-3 +10 -12 +4516257解：原式=(-3+10-12+4)+(- + )+( - )1621=-1+ +4=-1+ +30815- 7.分组结合2-3-4+5+6-7-8+9+66-67-68+69解：原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(66-67-68+
13、69)=0.先拆项后结合（1+3+5+7+99）-（2+4+6+8+100）七、有理数的乘除法1.有理数的乘法法则法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）法则二：任何数同 0 相乘，都得 0；法则三：几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；法则四：几个数相乘，如果其中有因数为 0,则积等于 0.2.倒数乘积是 1 的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a =1（a0 ） ，就是说 a 和 互为倒数，即 a 是 的倒数， 是 a
14、的倒数。a11注意：0 没有倒数；求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 （求一个数的倒数，不改变这个数的性质） ；倒数等于它本身的数是 1 或-1,不包括 0。3.有理数的乘法运算律乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即 ab=ba乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab) c=a(bc).乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即 a(b+c)
15、=ab+ac4.有理数的除法法则（1）除以一个不等 0 的数，等于乘以这个数的倒数。（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 05.有理数的乘除混合运算（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照先乘除，后加减的顺序进行。八、有理数的乘方1.乘方的概念求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中，a 叫做底数，n 叫n做指数。2.乘方的性质（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。（2）正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂
16、都是 0。九、有理数的混合运算做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：1.先乘方，再乘除，最后加减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。十、科学记数法把一个大于 10 的数表示成 的形式（其中 ， n 是正整数） ，这种记数法是na1010a科学记数法。基础训练一填空题 计算： ._)1()(00、平方得 的数是_；立方得64 的数是_.42、观察下面一列数的规律并填空：0，3，8，15，24，_.用“” 、 “” 、 “”号填空:（1） ； （2） ；1_0.43_5（3） ；（4） 。)75.0(_)4( 4.37 的值是_。12
17、621数轴上表示数 和表示 的两点之间的距离是_。若 ，则 =_。0|)(baba平方等于它本身的有理数是_，立方等于它本身的有理数是_。.我国的国土面积约为九佰六十万平方千米,用科学记数法写成约为_ .2km、某数的绝对值是 5，那么这个数是 。134756 （保留四个有效数字）、( ) 216，( )3 。2、一家电脑公司仓库原有电脑 100 台，一个星期调入、调出的电脑记录是：调入 38台，调出 42 台，调入 27 台，调出 33 台，调出 40 台，则这个仓库现有电脑 台若x+2+y-3=0，则 xy=_绝对值大于 2，且小于 4 的整数有_x 平方的 3 倍与-5 的差，用代数式表
18、示为_，当 x=-1 时，代数式的值为_若 m，n 互为相反数，则m-1+n=_观察下列顺序排列的等式：90+1=1；91+2=11；92+3=21；93+4=31；94+5=41；猜想第 n 个等式（n 为正整数）应为_-_如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动 3 单位长度，再向左移动 5个单位长度，可以看到终点表示的数是-2，已知点 A，B 是数轴上的点，请参照图1-8 并思考，完成下列各题:-5 -4 -3 -2 -1 0 2 3 4 5 6 7 （1）如果点 A 表示数-3，将点 A向右移动 7个单位长度，那么终点 B表示的数是_，A，B 两点间的距离是_；（2）如果点 A
19、表示数 3，将 A 点向左移动 7 个单位长度，再向右移动 5 个单位长度， 那么终点 B 表示的数是_，A，B 两点间的距离为_；（3）如果点 A 表示数-4，将 A 点向右移动 168 个单位长度，再向左移动 256个单位长度，那么终点 B 表示的数是_，A，B 两点间的距离是_用科学计数法表示 1200000=_.）-3 的相反数是_,倒数是_,绝对值是_。） （14）根据要求，用四舍五入法取下列各数的近似值：14249_（精确到百分位） ；0.02951_（精确到 0.001） 。甲潜水员所在高度为45 米,乙潜水员在甲的上方 15 米处,则乙潜水员的所在的高度是_ 平方得 9 的数是
20、 ，一个数的立方是它本身,则这个数是_、将 0 , 1 , 0.2 , , 3 各数平方，则平方后最小的数是_21、数轴上点 A 所表示数的数是18 , 点 B 到点 A 的距离是 17, 则点 B 所表示的数是_、一幢大楼地面上有 12 层，还有地下室 2 层，如果把地面上的第一层作为基准，记为 0，规定向上为正，那么习惯上将 2 楼记为 ；地下第一层记作 ；数2 的实际意义为 ，数9 的实际意义为 。二选择题、在2，+3.5，0， ，0.7，11 中负分数有（ ）32A、l 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个、下列算式中，积为负数的是（ ）A、 B、 )5( )10(5.4C、 D、2
21、.1 32)2(下列各式中正确的是（ ）A B ; C D22)(a33)(a| 2a| 3a、下列各组数中，相等的是（ ）A、1 与（4）+（3） B、 与（3）C、 与 D、 与16269 2)4(、小明近期几次数学测试成绩如下：第一次 85 分，第二次比第一次高 8 分，第三次比第二次低 12 分，第四次又比第三次高 10 分那么小明第四次测验的成绩是（ ）A、90 分 B、75 分 C、91 分 D、81 分 、不超过 的最大整数是（ ）3)2(A、4 B3 C、3 D、4、一家商店一月份把某种商品按进货价提高 60出售，到三月份再声称以 8 折（80）大拍卖，那么该商品三月份的价格比进货价（ ）A、高 12.8 B、低 12.8 C、高 40 D、高 28如果 ，下列成立的是（ ）a|A B C D000a0a计算 的值是（ ）101)2(
