1、1唐山市 唐山一中 自主招生测试题一、填空题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1.四个实数中，每三个数的和分别为 ，则这四个实数的积是 2,472.若实数 满足 ，则 的值是 a3()4a1a3.如图，三角形 的面积为 ，点 、 分别在边 、 上，ABC2DEABC，且 ，则三角形 面积的最大值是 ,ADExyB1x4.若关于 的方程 有四个实数解，则化简|2|ba的结果是 | |ab5.若非零的实数 满足等式 ，则,axyz(32)(43)23axyazyzx的值是 2xyz6.如图，在直角三角形 中， ， 是斜边ABC4,3BD上一动点， ， ，垂足分别是 ，当ABDE
2、F,EF的长最小时， EFcos7.多项式 被 除的余式是 6431x2x8.已和 是互不等的实数，三个方程 ; ;,abc 20xab20xbc中，有公共根 ，有公共根 ，有公共根 ，则 20xpqra9.我们有一个结论：对于任何一个正整数 ，若 是偶数，将其减半；若 是奇数，将其nn乘以 加 ，不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到 .如正整数 ，按上31 16述规则变换后，可得一列数： .如果正整数 按上述变换后的第 个数是6,3105,84,218（ 是第 个数， 可多次出现） ，则 的所有可能值的个数是 nn10.如图的一个无穷数表，其中 2014 在表中出现的次数是 2 3
3、 4 5 6 AB CDEAC BDFE23 5 7 9 11 4 7 10 13 16 5 9 13 17 21 6 11 16 21 26 二、解答题（本大题 5 小题，共 70 分）11.（本题满分 12 分）已知点 ，函数 的图象是直线 ，点(5,0)(,)AB153yxl在 上，满足 是钝角，试求 的取值范围.(,)PablPBa12.（本题满分 12 分）已知关于 的函数 的图象与 轴有交点.x2(1)3ykxxkx（1）求 的取值范围；k（2）若函数图象与 轴有两个不同的交点 ，且 .x12(,0),21212()34k试求 的值，并根据图象指出当 时，函数的最大值和最小值 .3
4、kxk yxPA BOl313.（本题满分 12 分）如图，点 是三角形 外接圆上一点， 的延长线交过点 的DABCDBA切线于点 .若 ， ， ， ，EABC35E4求 的长.FCAEB CDF414.（本题满分 16 分）如图，点 在以 为直径的 上，过点 、 作圆的切线交于CABOBC点 ，点 是 的中点，求证： .PQBCQP15.（本题满分 18 分）编号为 的 张卡片分别拿在甲、乙两人手中.甲将手中的1,2515 号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加 ，乙手中卡片编号的平均数也增加025，求原来甲、乙手中各有多少张卡片，并写出一种原来甲手中所持卡片的编号数. 025CABPQO
5、5试题及解答一、填空题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1.四个实数中，每三个数的和分别为 ，则这四个实数的积是 2,47解：这四个实数的和为 ，所以这四个数分别是 ，即26362,45,67，其积是 .4,21-82.若实数 满足 ，则 的值是 a(2)4a1a解：去分母得 ，移项得 .22322340a设 ，则方程变为 ， 或 （舍去）.2at40t1tt由 得 ，所以 .121aa23.如图，三角形 的面积为 ，点 、 分别在边 、 上，ABC2DEABC，且 ，则三角形 面积的最大值是 ,ADExyBx解： (1)(1)2(1)EABEABEABCSSxSxy，22
6、92(1) 48xx三角形 面积的最大值是 .D4.若关于 的方程 有四个实数解，则化简 的结果是x|2|ba | |abab解：显然 .0a若 ，则方程可变为 ，方程最多两解，不合题意，所以 .|2|xb 0a方程可化为 .|2|xba当 时，方程可化为 ，有两解，不合题意.ba|2|xba当 时， ,有三解，不合题意.|,|0xa当 时， 方程有四解，符合题意.ba|2|,|2|bxbaAB CDE6故 .从而 .0ba| 1| |bababa25.若非零的实数 满足等式 ，则,xyz(32)(43)3xyzyzx的值是 2xyz解：若 ，则 ，于是 ；30(43)ayzyz430yz若
7、，则 ，于是 ；4yz2xx2若 且 ，则由 得 ；由 得 ，矛320x430yz30(2)ya a430()yz a盾.故 且 .xyz于是 ，可令 ，所以6432,3,4xtyzt.222918xytzt6.如图，在直角三角形 中， ， 是斜边ABC4,3BD上一动点， ， ，垂足分别是 ，当ABDEF,EF的长最小时， EFcos解：连结 ，则 ，所以 的长最小时即为 的长最CEC小，此时 ,于是 ，所以ABCDB.coscs357.多项式 被 除的余式是 641x2x解： ，所以余式是 .34()(1)1xx+1x8.已和 是互不等的实数，三个方程 ; ;,abc 20ab20bc中，
8、有公共根 ，有公共根 ，有公共根 ，则 20xpqra解：由 ， 得， ， .2pab20bc()0abpccpb同理 ， .cqr .1pr又 互不相等，如 ，则 的公共根，于是 ，从而 ，,qpq, pqr1pqrAC BDFE7代入有 ，三式相加得 ，矛盾.1,1bacbac03由上述结论可知，的两根为 ；的两根为 ；的两根为 .pr,pq,qr由根与系数关系，有 ，故 .,q2bcr19.我们有一个结论：对于任何一个正整数 ，若 是偶数，将其减半；若 是奇数，将其nn乘以 加 ，不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到 .如正整数 ，按上31 6述规则变换后，可得一列数： .如果
9、正整数 按上述变换后的第 个数是6,3105,84,218（ 是第 个数， 可多次出现） ，则 的所有可能值的个数是 nn解：反推 的所有可能值的个数是 .n610.如图的一个无穷数表，其中 2014 在表中出现的次数是 2 3 4 5 6 3 5 7 9 11 4 7 10 13 16 5 9 13 17 21 6 11 16 21 26 解：观察知，表中第 行第 列的数是 .由 得 ，mn1mn2014201361mn是 的正约数，所以 有 8 对，从而 在表中出现的次数是 .m2013(,) 8二、解答题（本大题 5 小题，共 70 分）11.（本题满分 12 分）已知点 ，函数 的图象
10、是直线 ，点(5,0)(,)AB153yxl在 上，满足 是钝角，试求 的取值范围.(,)PablPBa解：以 为直径作圆，交 于点 ,则点 在线段 上（不含端点）.4 分ABlCDPCD设点 ，则0(,)Cxy6 分0215()32yx1 2 41681 2324641081128212031625lyxPA BOCD8把（1）代入（2） ，整理得，0x ，8 分,1 .(2,),CD故 的取值范围是 .12 分a21a12.（本题满分 12 分）已知关于 的函数 的图象与 轴有交点.x2(1)3ykxxkx（1）求 的取值范围；k（2）若函数图象与 轴有两个不同的交点 ，且 .x12(,0
11、),21212()34k试求 的值，并根据图象指出当 时，函数的最大值和最小值 .3kxk 解：（1）当 时，函数为 ，图象与 轴有交点.2 分0k2yx当 时，图象与 轴有交点的条件是x24(1)(3)0k解得 .分k综上， 的取值范围是 .4 分（2） .5 分1212(),kkxx由 得， ，1()30k2113()kx 可化为21224xxkx8 分11()k 324k解得， 或 .10 分k2但 时，函数图象与 轴仅有一个交点，舍去.1x时，函数为 ，画图可知当 时，最大值为22213()yx1x ，最小值为 .12 分3313.（本题满分 12 分）如图，点 是三角形 外接圆上一点
12、， 的延长线交过点 的DABCDBA切线于点 .若 ， ， ， ，EABC35E4求 的长.FC解： 是圆的切线， .2设 ，则 ，解得 .3 分x(4)5x 是圆的切线, .AEEABCAEB CDF9 , ,ABCBAC , ,5 分EE又 ，四边形 是平行四边形,7 分D .35,5又由 得， ，即 ，解得 .12 分ACBFDAC345F53FC14.（本题满分 16 分）如图，点 在以 为直径的 上，过点 、 作圆的切线交于BOB点 ，点 是 的中点，求证： .PQQAP证明：连接 ，则点 在 上.2 分OP , , .4 分BC2BO设 交 于 ，则 .6 分PAMA ,QPA ，
13、O 8 分PA 10 分BQ又 ，OC ，PA ，BRtt ，12 分 ，QCAP .16 分B15.（本题满分 18 分）编号为 的 张卡片分别拿在甲、乙两人手中.甲将手中的1,2515 号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加 ，乙手中卡片编号的平均数也增加025，求原来甲、乙手中各有多少张卡片，并写出一种原来甲手中所持卡片的编号数. 025解： .2 分1325设乙原来手中有卡片 张，平均数为 ，xy则原来甲手中有 张卡片，平均数为 .4 分325xyCABPQO10由题意得， 6 分150.2(1)3.5224xyxy由(1)得， (3)8 分591y由(2)得， ，1(30)(325)(4(25)4xxyx，12513()2yyyx即 11 分0(25)4xx将(3)代入(2)得，25911()24x解得 .15 分6x故原来甲手中有 张卡片，乙手中有 张卡片.916把 代入（ 3） ，得 .143y于是甲原来 张卡片总和为 ，平均数为 .因此,可写出如下一种原来甲、乙25xy17手中所持的卡片：甲： .18 分13,456,7189,0
