1、试卷第 1 页，总 12 页抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义：对于 ()fx定义域内的每一个 x，都存在非零常数 T，使得 ()(fxTf恒成立，则称函数 具有周期性， T叫做 ()f的一个周期，则
2、 k（ ,0Zk）也是()fx的周期，所有周期中的最小正数叫 x的最小正周期。分段函数的周期：设 )(xfy是周期函数，在任意一个周期内的图像为 C: ),(xfyabTx,。把 )(abKT轴 平 移沿 个单位即按向量)()0,(xfyka平 移 ， 即 得在其他周期的图像：bkTxfy,。a, )()fxf2、奇偶函数：设 bxbafy ,或若 为 奇 函 数 ；则 称 )()()(fyfx若 为 偶 函 数则 称。分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：点 对 称 ；关 于 点与 ),()2,(),( baybxaByxA 对 称 ；关 于与点 成 中 心 对 称 ；关
3、 于 点与函 数 ,xff 成 中 心 对 称 ；关 于 点与函 数 )()()(b 成 中 心 对 称 。关 于 点与（函 数 ,02,0, baybaFyx（2）轴对称：对称轴方程为： CBAx。 )(2,)(),(),( 22/ BACyxyBA 与点 关于直线 成 轴 对 称 ；0Cyx函数 )()(2)( 22xfBAyxf 与 关于直线试卷第 2 页，总 12 页0CByAx成轴对称。 0)(2,)(2),( 22 BACyxyBACxF与 关于直线yx成轴对称。二、函数对称性的几个重要结论（一）函数 )(xfy图象本身的对称性（自身对称）若 ()fxab，则 ()fx具有周期性；
4、若 ()()faxfbx，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性” 。1、 )()(xbfaf )(xfy图象关于直线 2)(baxax对称推论 1： a 的图象关于直线 对称推论 2、 )2()xfxf )(xfy的图象关于直线 ax对称推论 3、 的图象关于直线 对称2、 cxbfaf)()( )(xfy的图象关于点 ),2(cb对称推论 1、 ba2 的图象关于点 a对称推论 2、 xfx)() )(xfy的图象关于点 ),(b对称推论 3、 的图象关于点 对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称） （利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数 )(xfy与 )(xf图象关
5、于 Y 轴对称2、奇函数 与 图象关于原点对称函数3、函数 )(xfy与 ()fx图象关于 X 轴对称4、互为反函数 与函数 1()yf图象关于直线 yx对称5.函数 )(xafy与 (xbf图象关于直线 2ab对称 推论 1:函数 f与 )afy图象关于直线 对称x=试卷第 3 页，总 12 页推论 2:函数 )(xfy与 )2(xaf 图象关于直线 ax对称推论 3:函数 与 y图象关于直线 对称（三）抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质 1 若函数 yf(x)关于直线 xa 轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(ax)f(ax) （2）f(2ax)f(x) （3）f(2
6、ax)f(x)性质 2 若函数 yf(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(ax)f(ax)（2）f(2ax)f(x)（3）f(2ax)f(x)易知，yf(x)为偶（或奇）函数分别为性质 1（或 2）当 a0 时的特例。2、复合函数的奇偶性定义 1、 若对于定义域内的任一变量 x，均有 fg(x)fg(x)，则复数函数 yfg(x)为偶函数。定义 2、 若对于定义域内的任一变量 x，均有 fg(x)fg(x)，则复合函数 yfg(x)为奇函数。说明：（1）复数函数 fg(x)为偶函数，则 fg(x)fg(x)而不是 fg(x)fg(x)，复合函数 yfg(x)为奇函
7、数，则 fg(x)fg(x)而不是 fg(x)fg(x)。（2）两个特例：yf(xa)为偶函数，则 f(xa)f(xa)；yf(xa)为奇函数，则 f(xa)f(ax)（3）yf(xa)为偶（或奇）函数，等价于单层函数 yf(x)关于直线xa 轴对称（或关于点（a，0）中心对称）3、复合函数的对称性性质 3 复合函数 yf(ax)与 yf(bx)关于直线 x（ba）/2 轴对称性质 4、复合函数 yf(ax)与 yf(bx)关于点（ba）/2，0）中心对称推论 1、 复合函数 yf(ax)与 yf(ax)关于 y 轴轴对称推论 2、 复合函数 yf(ax)与 yf(ax)关于原点中心对称4、函
8、数的周期性若 a 是非零常数，若对于函数 yf(x)定义域内的任一变量 x 点有下列条件之一成立，则函数 yf(x)是周期函数，且 2|a|是它的一个周期。f(xa)f(xa) f(xa)f(x)f(xa)1/f(x) f(xa)1/f(x)5、函数的对称性与周期性性质 5 若函数 yf(x)同时关于直线 xa 与 xb 轴对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T2|ab|试卷第 4 页，总 12 页性质 6、若函数 yf(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T2|ab|性质 7、若函数 yf(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线 xb 轴
9、对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T4|ab|6、函数对称性的应用（1）若 kyhxkhxf 2,),)( / 对 称 ， 则关 于 点 （ ,即xffx2)(/ nkxfxfnnn )()()() 1121 （2）例题1、 )()21)( faxfx） 对 称 ：，关 于 点 （ ;2)(0124)(1 xffx ） 对 称 ：，关 于 （ 1(21),( ffxRf （） 对 称 ：，关 于 （2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称： 0)(x。3、若 (),)()2() fyafxfafxf 则或 的图像关于直线ax对称。设 个 不 同 的 实 数 根 ， 则有 n0 naxxxx
10、 nn )2()2()(1121 .,( 1aak时 ， 必 有当（四）常用函数的对称性三、函数周期性的几个重要结论1、 ()(fxTf( 0) )(xfy的周期为 T， k( Z)也是函数的周期2、 ()()fafb )(f的周期为 ab3、 xx xy的周期为 T2试卷第 5 页，总 12 页4、 )(1(xfaf )(xfy的周期为 aT25、 )(ff )(f的周期为6、 )(1)(xfaxf )(xfy的周期为 aT37、 )()(ff )(f的周期为 28、 )(1)(xfaxf )(xfy的周期为 aT49、 2ff )(xfy的周期为 610、若 .2,)()(,0pTpxfp
11、则11、 xy有两条对称轴 a和 b ()a)(xfy 周期 )(2abT推论：偶函数 )(f满足 )(xff 周期12、 xfy有两个对称中心 0,和 , () )(xfy 周期)(2abT推论：奇函数 )(xfy满足 )()(xaff)(xfy 周期 aT413、 f有一条对称轴 和一个对称中心 0,b()f的)(4abT四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。1.求函数值例 1.（1996 年高考题）设 )(xf是 ),上的奇函数， ),()2(
12、xff当10x时， f)(，则 5.7等于（-0.5）（A）0.5; （B）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5.例 2 （1989 年北京市中学生数学竞赛题）已知 )(xf是定义在实数集上的函数，且)(1)(xffxf， ,321f求 198的值.试卷第 6 页，总 12 页23)198(f。2、比较函数值大小例 3.若 )(Rxf是以 2 为周期的偶函数，当 1,0x时， ,)(198xf试比较)198(、 70、 154(f的大小.解： )(xf是以 2 为周期的偶函数，又 198)(xf在 ,上是增函数，且 60， ).1504()(70,54)196(7 ffff 即3、求函数
13、解析式例 4.（1989 年高考题）设 )(xf是定义在区间 ),(上且以 2 为周期的函数，对Zk，用 kI表示区间 ,12,k已知当 0Ix时， .(xf求 )(f在 kI上的解析式.解：设 12),12( kx0I时，有 22 )()(12xfkxxf 得由 )(xf是以 2 为周期的函数， ,)( kf.例 5设 是定义在 ),(上以 2 为周期的周期函数，且 )(xf是偶函数，在区间 3,上， .43)(2xf求 ,1x时， )(f的解析式.解：当 ,x，即 ,， 4)3(2)(2)() 22xxff又 x是以 2 为周期的周期函数，于是当 ,1，即 243x时，).2(4)(243
14、)()(2xf有 .1(2x4、判断函数奇偶性例 6.已知 )(f的周期为 4，且等式 )2()(xff对任意 R均成立，判断函数 x的奇偶性.解：由 )(f的周期为 4，得 )()xff，由 )2()(xff得x， ,(故 为偶函数.5、确定函数图象与 轴交点的个数试卷第 7 页，总 12 页例 7.设函数 )(xf对任意实数 x满足 )2()(xff， )7(f ,07(f且判断函数 )图象在区间 30,上与 轴至少有多少个交点.解：由题设知函数 )(xf图象关于直线 x和 对称，又由函数的性质得)(xf是以 10 为周期的函数.在一个周期区间 1,上， ,)(0)(2()2()4,0 不
15、 能 恒 为 零且 xfffff 故 (x图象与 轴至少有 2 个交点.而区间 3,有 6 个周期，故在闭区间 3,上 )(xf图象与 轴至少有 13 个交点.6、在数列中的应用例 8.在数列 na中， )2(1,31nan，求数列的通项公式，并计算.197951分析：此题的思路与例 2 思路类似.解：令 ,1tga则 )4(1tga 4)1(1,4)1( )2()(4123 ntgantgatt nnn 于 是不难用归纳法证明数列的通项为： 4(tn，且以 4 为周期.于是有 1，5，9 1997 是以 4 为公差的等差数列，197aa，由 )1(得总项数为 500 项，.3501951 7
16、、在二项式中的应用例 9.今天是星期三，试求今天后的第 92天是星期几？分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可.解： 1911)19(2 290292902 CC试卷第 8 页，总 12 页1)37( )137()137()137(921 2902992092 C CC因为展开式中前 92 项中均有 7 这个因子，最后一项为 1，即为余数，故 92天为星期四.8、复数中的应用例 10.（上海市 1994 年高考题）设 )(231是 虚 数 单 位iz，则满足等式,zn且大于 1 的正整数 n中最小的是 （A） 3 ； （B）4 ； （C）6 ； （D）7.分析：运
17、用 iz23方幂的周期性求值即可.解： 10)1(, nnn z，)(.4)(,1.3 ),3,3minBnkNNkz故 选 择最 小时 即的 倍 数必 须 是9、解“立几”题例 11.ABCD 1DCBA是单位长方体，黑白二蚁都从点 A 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段” 。白蚁爬行的路线是 ,11D黑蚁爬行的路线是.1它们都遵循如下规则：所爬行的第 2i段所在直线与第 i段所在直线必须是异面直线（其中 )Ni.设黑白二蚁走完第 1990 段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是 （A）1； （B） 2；（C） 3 ； （D）0.解：依条件列出白蚁的路线 CBA111
18、,1立即可以发现白蚁走完六段后又回到了 A 点.可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期.1990=6 43，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后黑蚁在 1D点，白蚁在 C 点，故所求距离是 .2例题与应用例 1：f(x) 是 R 上的奇函数 f(x)= f(x+4) ，x0，2时 f(x)=x，求 f(2007) 的值 例 2：已知 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f(x+2)1f(x)=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 。故 f(2009)= f(2518+1)=f(1)=2试卷第 9 页，总 12 页例
19、3：已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当 0,2x时，f(x)=2x+1，则当 6,4x时求 f(x)的解析式例 4：已知 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f(x+999)= )(1xf，f(999+x)=f(999x)， 试判断函数 f(x)的奇偶性.例 5：已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当 0,2x时，f(x)是减函数，求证当 6,4x时 f(x)为增函数例 6：f(x)满足 f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若 f(a) =-f(2000)，a5，9且f(x)在5，9上单调.求 a 的值.
20、 例 7：已知 f(x)是定义在 R 上的函数，f(x)= f(4x)，f(7+x)= f(7x),f(0)=0，求在区间1000，1000上 f(x)=0 至少有几个根？解：依题意 f(x)关于 x=2，x=7 对称，类比命题 2（2）可知 f(x)的一个周期是 10故 f(x+10)=f(x) f(10)=f(0)=0 又 f(4)=f(0)=0即在区间(0，10上，方程 f(x)=0 至少两个根又 f(x)是周期为 10 的函数，每个周期上至少有两个根，因此方程 f(x)=0 在区间1000，1000上至少有 1+ 102=401 个根.例 1、 函数 yf(x)是定义在实数集 R 上的
21、函数，那么 yf(x4)与yf(6x)的图象之间（D ）A关于直线 x5 对称 B关于直线 x1 对称C关于点（5，0）对称 D关于点（1，0）对称解：据复合函数的对称性知函数 yf(x4)与 yf(6x)之间关于点（64）/2，0）即（1，0）中心对称，故选 D。（原卷错选为 C）例 2、 设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，其图象关于 x1 对称，证明 f(x)是周期函数。（2001 年理工类第 22 题）例 3、 设 f(x)是（，）上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1 时 f(x)x，则 f(7.5)等于（-0.5）（1996 年理工类第 15 题）例 4、 设 f(x)是定义在
22、 R 上的函数，且满足 f(10x)f(10x)，f(20x)f(20x)，则 f(x)是（C ）A偶函数，又是周期函数 B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数 D奇函数，但不是周期函数六、巩固练习1、函数 yf(x)是定义在实数集 R 上的函数，那么 yf(x4)与 yf(6x)的图象（ ）。A关于直线 x5 对称 B关于直线 x1 对称C关于点（5，0）对称 D关于点（1，0）对称2、设 f(x)是（，）上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0x1 时，f(x)x，则 f(7.5)=（ ）。A0.5 B0.5 C1.5 D1.53、设 f(x)是定义在（，）上的函数，且满足 f(10
23、x)f(10x)，f(20x)f(20x)，则 f(x)是（ ）。A偶函数，又是周期函数 B偶函数，但不是周期函数试卷第 10 页，总 12 页C奇函数，又是周期函数 D奇函数，但不是周期函数4、f(x)是定义在 R 上的偶函数，图象关于 x1 对称，证明 f(x)是周期函数。参考答案：D，B，C，T2。5、在数列 1221(*)n nnxxN 中 ， 已 知 ， ， 求 10x=-1一、选择题（每题 5 分，共 40 分）1定义在 R 上的函数 既是奇函数又是周期函数，若 的最小正周期是 ，且()fx ()fx当 时， ，则 的值为 02x，cos5()3fA. B. C. D. 33122
24、偶函数 yf(x)满足条件 f(x1)f(x1)，且当 x1,0时，f(x)3 x ，则 f( )的值等于( )4913log5A1 B. C. D12010453函数 （ ）lnfx的 图 像 大 致 是4设 是定义在 上的奇函数，且当 时， .若对任意的xfR0x2xf,2,a不等式 恒成立,则实数 的取值范围是( )xfxfaA B C D 0a2a20a5函数 f（x） = 的最大值是（ ）)1(xA. B. C. D. 44534436 已知 是定义在 上且以 3 为周期的奇函数，当 时，()fxR(0,)2x，则函数 在区间 上的零点个数是（ ） 2ln1f()fx0,6A3 B5 C7 D9
