1、3.8：基本不等式的应用【知识点 1：利用均值不等式求最值时，必须同时满足三个条件：_一正_、_二定_、_三相等_.】基本不等式的应用最值问题1.由基本不等式导出的几个结论. 2 2 222(1)()()()ababRababab 反 向 不 等 式 ： 、 ， 由 ， 两 边 同 加 上得 开 方 即 得 ()R， 、 ， 由 两 边 平 方 即 得 2利用2 230 .1ababba a一 个 重 要 不 等 式 链 ： 时 ，基本不等式求最值常用技巧(1)“1”的代换(2)折项(3)添项(4)配凑因式例题：分析下列各题的解题过程，有错误的加以更正(1) 求函数 的值域2sin(0)yxx
2、(2) 求 的最大值21x(3) 已知 ，求 的最小值3a43a22(1)sinsinyxx解 ： ， 2)函 数 的 值 域 为 ， 解析：(1)此解答过程错误，错在忽视了应用基本不等式求最值时，等号成立的条件正解： ， ，但 时 ，不符合正弦函数值域02x0si1xsinxsinx要求，故这里不符合基本不等式成立的条件，因此取不到最小值 .22sin01(0,1)32 .uxuyuy令 ， ， ， 可 利 用 在 上 是 减 函 数 得 出此函数值域为 (3)，2(2)1yx令 ， 222(1)(1),xyx则2等 号 在 ， 即 时 成 立 ， .所 求 最 大 值 为2()01()xy
3、xx此 解 答 过 程 错 误 ， 当 时 ， ， 忽 视 了 对 符 号 关 注 222 2(1)101 1xx 正 解 ： 由 知 ， 当 时 ， ，200xx等 号 在 即 时 成 立 ； 当 时 ， ， 200x当 时 ， ，21.x的 最 大 值 为 4(3)0,3.aa， 423.a当 ， 8.即 时 ， 取 最 小 值(3)此解答过程错误，它没有找出定值条件，只是形式的套用公式. 30a正 解 ： ， ，444()32()37aa， 435aa等 号 在 即 时 成 立 变式 1：已知正数 x，y 满足 ，求 的最小值1yxy分析：灵活应用“1”的代换在不等式解题过程中，常常将不
4、等式“乘以 1”、 “除以1”或将不等式中的某个常数用等于 1 的式子代替本例中可将分子中的 1 用 代替，2xy也可以将式子 乘以 .1xy2y1.解 ： ， 为 正 数 ， 且1(2)32yxxy，21x当 且 仅 当 ， 即 当 ， 时 等 号 成 立 .132xy的 最 小 值 为点评：(1)本题若由 ，得yx12y， 则是错误的，因为此时等号取不到：前一个不等124xyxy12xyxy式 成 立 的 条 件 是 ， 后 一 个 不 等 式 则 是 在 时 成 立 (2) 21xy也 可 以 直 接 将 的 分 子 代 换 为 ， 和 乘 以 “”是 相 同 的 变式 2：已知 且 ，
5、求 的最小值0xy， ， 19xyxy分析：要求 的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值这需要对条件进行必要的变形，考虑条件式可进行“1 的代换” ，也可以“消元 ”等19(xy解 析 ： 解 法 一 ： 的 代 换 )，)0.xy9026.yxyo， ， 3xy当 且 仅 当 ， 即 时 ， 取 等 号 194126.xy又 ， ， ， .xy当 ， 时 ， 取 最 小 值 9()1.9yxxy解 法 二 ： 消 元 法 由 ， 得0.xy， ， 91()10.9yy y， ， 92()6.9y124x当 且 仅 当 ， 即 时 取 等 号 ， 此 时 ， ，4126.xyxy当 ， 时
6、 ， 取 最 小 值 9()19xy解 法 三 ： 配 凑 法 由 得 ， ，1).xy0()9)102()916.xyxy19xy当 且 仅 当 时 取 等 号 19412.xyxy又 ， ， 6.当 ， 时 ， 取 最 小 值点评：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常使用的方法，要学会观察学会变形，另外解法二通过消元，化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另一个变量范围给出限制(消去 x 后，原来 x 的限制条件，应当由代替它的 y 来“接班” ，此限制条件不会因“消元”而凭空消失！)变式 3： 的值域为_ _.2
7、4(1)xy25)，分析：分子是 x 的二次式，分母是一次式，适当将分子变形可化为 的表达式或由分1x母构造平方差，则可化为“积为定值 ”的和式224(1)()5xyx解 析 ： 51(0)，51xx等 号 在 ， 即 时 成 立 ，2)函 数 的 值 域 为 ， 变式 4：若 ，求 的最小值1x21xy0解 析 ： ， ， 2()()1yx()42.02.1xxy当 且 仅 当 ， 即 时 ， 函 数 取 最 小 值变式 5：(1)在面积为定值的扇形中，半径是多少时，扇形的周长最小？(2)在周长为定值的扇形中，半径是多少时，扇形的面积最大？21.rslslrlr 解 析 ： 设 扇 形 中
8、心 角 为 ， 半 径 ， 面 积 ， 弧 长 ， 则 ，2(1)ssr为 定 值 ， 则 ， 24.splrr扇 形 周 长 sr等 号 在 即 时 成 立 ，半 径 是 时 扇 形 周 长 最 小 22 ()12()()16prppsrrr， 面 积 ，22 ()()()rpsrprr， 面 积 ，变式 6：随着经济建设步伐的加快，汽车已步入家庭，公路上交通日益繁忙为确保交通安全，交通部门规定：某事故易发地段内的车距 正比于车速 平方与车身长()dm(/)vkh的积，且比例系数为 ，那么在交通繁忙时，该如何规定车速，才能保证此地段()sm1250通过的车流量 Q 最大？ =单 位 时 间解
9、 析 ： 根 据 车 流 量 ， 每 辆 车 经 过 所 需 时 间21010250.()55vds ssvv有 /.20kmh当 且 仅 当 ， 即 时 ， 等 号 成 立 0 .在 交 通 繁 忙 时 ， 应 规 定 车 速 为 ， 才 能 保 证 此 地 段 的 车 流 量 最 大变式 7：设 ，且 恒成立，则 m 的取值范围是_ _abc1abca(4，00.分 析 ： 由 知 ： ， ， mc因 此 ， 不 等 式 等 价 于 ，acmb要 使 原 不 等 式 恒 成 立 ， 只 需 的 最 小 值 不 小 于 即 可 ()()(ac bcb解 析 ：224.cab=cab当 且 仅
10、 当 ， 即 时 ， 等 号 成 立 4(4m， 即 ， (1) ()(1(2).00.1.1() acmacbcbabccxycmabacxyxy 点 评 ： 分 离 以 后 ， 注 意 到 是 求 解 的 最 小 值 的关 键 注 意 到 及 式 子 中 分 母 都 是 多 项 式 略 嫌 复 杂 ， 可 换元 简 化 令 ，则 恒 成 立 ，即 ： 恒 成 立 即 ： .恒 成 立()224.4yxxy xyabcacbm 等 号 在 即 也 就 是 时 成 立时 原 表 达 式 恒 成 立 这 样 我 们 通 过 换 元 ， 简 化 了 表 达 式 ， 暴 露 了 条 件 式 的 实
11、质 ， 拓 展 了 解 题 的 思路 ， 要 认 真 体 会 变式 8： 3602(0),21( A)xyxy zaxbyab 设 、 满 足 约 束 条 件 ， 若 目 标 函 数 ， 的 最大 值 为 ， 则 的 最 小 值 为A. B. C. D. 4568313(0)20360(4,6)0)1 axbyzbxyxy a 解 析 ： 作 出 平 面 区 域 ， 如 图 阴 影 部 分 所 示 ， 当 直 线 ， 过直 线 与 直 线 的 交 点 时 ， 目 标 函 数 ，取 得 最 大 值 ， 231132546()()6abaababb即 ， 而 ， .A当 且 仅 当 时 ， 等 号
12、 成 立 故 选变式 9：求 的最值225()log(01)lfxxx2 225()l log2.l lf错 解 ：()5fx有 最 小 值 ， 无 最 大 值 辨 析 ： 错 误 的 原 因 是 忽 视 了 各 项 必 须 全 为 正 数 的 条 件 201log0xx正 解 ： ， ，22log0lxx， ，2 22 255(l)()(log)()l lx， 225(log)lx即 ，22log.lx25()logf x，21l .l当 且 仅 当 ， 即 时 ， 等 号 成 立 ()25.maxf若 ，则代数式 的大小关系是_ _abR、 2ab与 2b若 ，则代数式 有何大小关系？、
13、与【知识点 2：基本不等式的应用最值问题】1.算术平均数与几何平均数设 a、b 是任意两个正数，把_ _叫做正数 a、b 的算术平均数；把_ _叫2ab ab做正数 a、b 的几何平均数2基本不等式如果 a、b 是正数，那么 _ _ ，当且仅当_ _时，等号成立ab2bab例题： 20 _( )1.abbab 若 ， ， ， 则 下 列 不 等 式 对 一 切 满 足 条 件 的 、 恒 成 立 的 是 写 出 所 有 正 确 命 题 的 序 号 ； ； 2()1,a解 析 ： 对 于 ， 故 成 立 ；( 22bbab对 于 ， ， ， 故 不 成 立 ；22)414aaab对 于 ， ，
14、由 知 ， ， ， 即 ， 故 成 立 基本不等式的应用最值问题3极值定理(1)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值 20 4MababMabab若 ， ， 且 ， 为 常 数 ， 则 ， 当 且 仅 当 _时 ， 等 号 成 立 max().简 述 为 ， 当 ， 为 常 数 时 ，(2)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值 0 _2abaPbPab若 ， ， 且 ， 为 常 数 ， 则 ， 当 且 仅 当 时 ， 等 号 成 立 min().简 述 为 ， 当 ， 为 常 数 时 ，破疑点：(1)在利用基本不等式求最值时，必须满足三个条件：各项均为正数；含变数的各项的和(或积)必须是常
15、数； 当含变数的各项均相等时取得最值三个条件可简记为：一正、二定、三相等，这三个条件极易遗漏而导致解题失识，应引起足够的重视(2)记忆口决：“和定积最大，积定和最小 ”例题：已知 .0xy，(1)若 ，求 的最大值；25lguxy(2)若 ，求 的最小值lgxy52(1)0xy解 析 ： ， ， 25210.xyxy由 基 本 不 等 式 ， 得 250y又 ，20110xy， ， ，5当 且 仅 当 时 ， 等 号 成 立 25.02xyxy由 ， 解 得 510.lgl()lg10.uxyx当 ， 时 ， 有 最 大 值 这 样2.maxxyu当 ， 时 ，()10由 已 知 ， 得 ，
16、3522.xyx10210yx当 且 仅 当 ， 即 当 ，5105210.y y时 ， 等 号 成 立 所 以 的 最 小 值 为变式 1：A. 1740 0( C)nnnnabababab 在 公 差 不 为 的 等 差 数 列 与 等 比 数 列 中 ， ， ， ， ， 则与 的 大 小 关 系 为B. 4C. D. 4ab4ab与 的 大 小 关 系 不 确 定分析：观察已知条件与待比较大小的数列项的下标，可以发现 1、4、7 成等差，从而问题即转化为比较两个正数的等差中项与等比中项的大小 17174 174.2abbC解 析 ： ， 故 选变式 2：设 ，且 ，则必有( B )abR
17、、 2a，A. B. 21 21abC. D. 21ab21ab2解 析 ： ， ，2()()4ab，1，2 2()4abab又 由 ， 得 ， 21.，点评：关于不等式恒成立的选择题常用特值检验法求解本题中令 ，则13ab，22351.abab， ，变式 3：已知 ，求函数 的最大值03x(13)yx分析：求函数的最大值，由极值定理可知条件式为积式，需构造某个和为定值，可考虑把括号内外 x 的系数变成互为相反数即可 1030.x解 析 ： ， 21(3)1(3)()xyx，16x当 且 仅 当 ， 即 时 ， 等 号 成 立 1.62x当 时 ， 函 数 取 最 大 值点评：(1)本小题也可以将解析式展开，使用二次函数配方法求解(2)若使用基本不等式求积的最大值，关键是构造某个和为定值，为使用基本不等式创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备只要将 x 的系数调整为互为相反数即可使其和为定值
