1、直线与椭圆的位置关系专题学生版1一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1.设直线与方程；（提醒：设直线时分斜率存在与不存在；设为 y=kx+b与 x=my+n 的区别）2.设交点坐标；（提醒 :之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求” ）3.联立方程组；4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单 ）5.根据条件重转化；常有以下类型：“以弦 AB为直径的圆过点 0”（提醒：需讨论 K是否存在）OAB120OAB120xy“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、 锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于 0问题”0；120xy“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（
2、 或 ） ；12K12K“共线问题”（如： 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法） ；AQB（如 ：A、O、B 三点共线 直线 OA与 OB斜率相等） ；“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；“弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题（提醒 ：注意两个面积公式 的合理选择） ；6.化简与计算；7.细节问题不忽略；判别式是否已经考虑；抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现 0.二、基本解题思想：1、 “常规求值”问题：需要找等式， “求范围”问题需要找不等式；2、 “是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计
3、算结果与参数无 直线与椭圆的位置关系专题学生版2关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。4、处理定点问题的方法：常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值） 、 三角代换法（转化为三角函数的最值） 、利用切线的方法、利用均值不等 式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；直线与椭圆的位置关系专题学生版3椭圆中的定值、定点问题一、常见基本题型：在几何问题 中，有些几
4、何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过 取参数和特殊值 来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三 角式，证明该式是恒定的。（1）直线恒过定点问题1、已知点 0(,)Pxy是椭圆2:1xEy上任意一点， 直线 l的方程为 012xy， 直线 0l过P点与直线l垂直，点M（ -1，0）关于直线 0l的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标。2、已知 椭圆两焦点 1F、 2在 y轴上，短轴长为 2，离心率为 2， P是椭圆在第一 象限弧上一点，且12PF，过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、PB 分别交椭来源:学科网 圆于 A、B 两点。 （
5、1）求 P 点坐标；（2）求证直线 AB 的斜率为定值；3、已知动直线 与椭圆 相交于 、 两点,已知点 ， 求证：(1)ykx2:153xyCAB7(,0)3M为定值.MAB4、 在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆2:13xCy.如图所示，斜率为 (0)k 且不 过原点的直线 l交椭圆 C于 A， B两点，线段 A的中点为 E， 射线 OE交椭圆 C于点 G，交直线 3x于点 (,)Dm.（）求 2mk的最小值；（）若 2GD ，求证：直线 l过定点；直线与椭圆的位置关系专题学生版4椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满
6、足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解.（1）从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。 5、已知直线 与 轴交于点 ，与椭圆 交于相异两点 A、 B, 且 ，求 的取值范ly(0,)Pm2:1Cxy3Pm围（2）利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范围. 6、已知点 (4, 0)M， (1, )N， 若动点 P满足 6|MNP（）求动点 P的轨迹 C的方程；（）设过点 的直线 l交轨迹 于 A， B两点，若 181275NAB ，求直线 l的斜率的取值范围.来源:学科网(3)利用基
7、本不等式求参数的取值范围7、已知点 为椭圆 ： 上的 一动点，点 的坐标为 ，求 的取值范围QE218xyA(3,1)APQ8.已知椭圆的一个顶点为 (0,1)A，焦点在 x轴上 .若右焦点到直线 20xy的距离为 3.（ 1）求椭圆的方程 .（2）设直线 ykxm与椭圆相交于不同的两点 ,MN.当 |A时，求 m的取值范围.9.如图所示，已知圆 MAyxC),01(,8)1(:2定 点为圆上一动点，点 P在直线与椭圆的位置关系专题学生版5AM上， 点 N在 CM上，且满足 NAMPA点,0,2的轨迹为曲线 E.（I）求曲线 E的方程；（II）若过定点 F（0，2）的直线交曲线 E于不同的两来
8、源:学科网 ZXXK点 ,GH（点 在点 ,之 间） ，且满足 FHG，求 的取值范围.10、.已知椭圆 E的中心在坐标原点 O，两个焦点分别为 )0,1(A、 ),(B，一个顶点为 )0,2(H.（1）求椭圆 的标准方程；（2）对于 x轴上的点 )0,(tP，椭圆 E上存在点 M，使得 P，求 t的取值范围. 11.已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长 为半径的圆与直线2:1xyCab(0)2相切0xy（）求椭圆 的方程；（）若过点 (2，0)的直线与椭圆 相交于两点 ，设 为椭圆上一点，且满 足MC,ABP（ O 为坐标原点） ，当 时，求实数 取值范围PtBAPA253t
9、椭圆中的最值问题直线与椭圆的位置关系专题学生版6一、常见基本题型：（1）利用基本不等式求最值，12、已知椭圆两焦点 1F、 2在 y轴上，短轴长为 2，离心率为 2， P是椭圆在第一 象限弧上一点，且12PF，过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、 PB 分别交 椭圆于 A、B 两点，求 PAB 面积的最大值。（2）利用函数求最值，13.如图， DPx轴，点 M 在 DP 的延长线上，且 |2|DMP当点 P 在圆21xy上 运动时。 （I）求点 M 的轨迹 C 的方程；（）过点 2(0,)1Tty作 圆 x的切线 l交曲线 C 于 A，B 两点，求AOB 面 积 S 的最大值和相
10、应的点 T 的坐标。14、已知椭圆 .过点 作圆 的切线 交椭圆 G 于 A,B 两点.2:14xGy(,0)m21xyl将| AB|表示为 m 的函数，并求|AB|的最大值.直线与椭圆的位置关系专题学生版7选做1、已知 A、B、C 是椭圆 )0(1:2bayxm上的三点，其中点 A 的坐标为 )0,32( ，BC 过椭圆 m 的中心，且.（1）求椭圆 的方程；（2）过点 ),0(tM的直线 l（斜率存在时）与椭圆 m 交于两点 P，Q，设 D 为椭圆 m 与 y 轴负半轴的交点，且|DQP.求实数 t 的取值范围2.已知圆 ： 及定点 ，点 是圆 上的动点，点 在 上，点 在M22()()x
11、mynr(1,0)NPMQNPG上， 且满足 NP2 Q， G P （1）若 ，求点 的轨迹 的方程；1,04rC（2）若动圆 和（1）中所求轨迹 相交于不同两点 ，是否存在一组正实数 ， 使得直线 垂直平,AB,mnrMN分线段 ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说 明理由AB直线与椭圆的位置关系专题学生版83、已知椭圆 的中心在坐标原 点，焦点在 轴上，椭圆 上的点到焦点距离的最大值为 ，最小值为 CxC31（）求椭圆 的标准方程；（） 若直线 与椭圆 相交于 ， 两点（ 不是左右顶点） ，且以 为直径的圆过椭圆:lykxmCAB， AB的右顶点，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标l4.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M（2，1） ，平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m（m0） ，l 交椭圆于 A、B 两个不同点。（1）求椭圆的方程； （2）求 m 的取值范围； （3）求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 直线与椭圆的位置关系专题学生版9直线与椭圆的位置关系专题学生版10
