1、第八章 多元函数微分法及其应用8.01 在“充分” ， “必要” ， “充分必要”中选择一个正确的填入下列空格内：（1） y,xf在点 ,可微分是 y,xf在该点连续的充 分条件； y,xf在点 ,连续是 在该点可微分的必 要条件。（2） ),(fz在点 ,的偏导数z及 存在是 ,f在该点可微分的必 要条件；y,x在点 ,可微分是函数在该点的偏导数 xz及 y存的充 分条件。（3） ),(fz的偏导数 xz及 y点 ,存在且连续是 ,f在该点可微分的充 分条件。 （4）函数 y,f的两个二阶混合偏导数 yxz2及2在区域 D 内连续是这两个二阶混合偏导数在 D 内相等的充 分条件。8.02 求
2、函数 2yx1ln4,f的定义域，并求,flim0y21x。解：1)10yx1422，定义域： x4y,1x,D222)由初等函数的连续性知： 43ln021ln4)0,21(f),x(flim20y21 8.03 证明极限420yxli不存在。证明：当点 ,沿用 xk1趋于点 0,时，有220x420xky k1limli1 ，显然它是随着 k的不同而改变的，故：极限420yli不存在。8.04 设0yx,x,f 22求 y,xf 及 ,fy解：1) 当 0y2时，2422y 2322x yxyx,f, 2) 当 0x2时， 0,f,0flim，故： 0,fxy,fli0y，故： ,fy于是
3、：0x,02x,f 23xy,y,f 22y8.05 求下列函数的一阶和二阶导数：（1） 2xlnz；解： 2yxz,y222 11x， 222 yx1yxz2222 yyyz （2） .解：xlnz,xy1y xlny1xlnyxyxz lzy112 y222 8.06 求函数 2当 03.,.,时的全增量和全微分。解：1) 6941203.1.03.1, 2z，67.012,z74.,2)2322x yxy2322yz1.90,2z,56.091,2zyx 0286.3.56.12zdy03.y1x,2 8.07 设.0yx,f232；证明：在点 0 处连续且偏导数存在，但不可微分.证明：
4、1) 231230，于是： 0yxlim230y即： 0,fy,xflim0y; 即： ,f在点 ,O连续lix, 0li0yfy即： ,f在 ,O处的偏导数存在，且 ,fx3) 假设 y在点 0处可微，则有：dyfdy0y 又 2320yxfyx *22 2223200yxyxdffyxyx 书中 18 页已证明： 0ylim不存在，故(*) 式在 0y时极限不存在，即： x0yxdf不能表示为 22的高阶无穷小，于是， ,在处不可微分。8.08 设 yu，而 ty,t都是可微函数，求 dtu.解：xlnxdtutxdt y18.09 设 w,vfz具有连续偏导数，而 w,v,u；求 z,。
5、解： wzvzuuwzuvzuz8.10 设 yxe,f，其中 f具有连续的二阶偏导数，求 yxz2.解：2121uxz1y231y21y1y2 23 213yy2 fefefxfexuu 8.11 设 uvz,sin,vcoxu.试求z和 .解：将 两边同时对 ,y 求偏导数 1yvsineyuvcose0xx1u将 vsinexu两边同时对 , 求偏导数 2yvcoseyusie1xxnu联立 2,式得：sinx,vcosxuu vcoeyine于是: xvzuxzuuevsinsusicoecoeinyyu uu 8.12 求螺旋线 bz,sia,cx在点 0,a处的切线法平面方程.解：
6、 0,0,az,Tb,acos,n切线方程： ay，即： zyx法平面方程： 0zbx，即： 08.13 在曲面 z上求一点，使这点处的法线垂直于平面 9zy3，并写出这法线的方程.解：曲面 xyz在点 0z,处的法线向量为： 1,xyn0平面 93的法向量为： 1,30当n 0时,曲面 在点 z,yx处的法线垂直于平面,此时, 0, 0 , 0于是,点 ,1即为所求,此时,所求法线方程为: 13z38.13 设 x 轴正向到方向 l的转角为 ，求函数 22yxy,f在点 1,沿方向 l的方向导数。并分别确定转角 ，使这导数有：（1）最大值；（2）最小值；（3）等于 0。解：yxf,y2f,
7、f,1,1, 于是,函数 x在点 ,沿方向 l的方向导数为: 42yff sinsicosincol当 4时, 有最大值 2; 45时, lf有最小值 ;3或7时,0fl.8.15 求函数 2zyxu在椭球面1czbax22上点 00zyxM处沿外法线的方向导数.解: 椭球面上点处的法线向量为: 2020,yn, 其方向余弦为:420420czbyaxcos, 420420czbyaxos, 420420czbyaxos0uz0uy0uxzyx ,uu,u 000于是,函数 在点 0处沿n的方向导数为: coscoscoslf 000 uzuyux42042042042020 czbyaxcz
8、byaxzbya (因 00z,yxu在椭圆球面上 )8.16 求平面1543和柱面 1yx2的交线上与 xoy平面距离最短的点.解：平面与柱面的交线到 xoy面上的最短距离为函数4y3x-15=z的条件x2y1下的最小值 ,作 Lagrne函数：51-x3y42令: xLyxxy253041解得条件驻点x=45y,3,最小值z=512。于是点 53,即为所求。8.17 在第一卦限内作椭球面1czbyax22的切平面，使该切面与三坐标面所围成的四面体的体积最小。求这切面的切点，并求此最小体积。解：设 Mx,yz00为椭球面上在第一象限内的点。椭球面在处的法向量为：nxaybzc202,切平面为
9、：0-a200 即：xybzc0221切平面在三个坐标轴上的截距分别为 02xa， yb， 02zc，该四面体体积为：v2016又因点 ux,yz00在椭球面上 3202020 czbyaxczba,当且仅当 abc20213时等号成立。于是：xyz（当xayc00 ， ， 30z时等号成立） 。于是：v2bc2016, 当b000 ， ， 3时等号成立。故当平面的切点为a3,时,切平面与坐标面所围成的四面体的体积最小,为32abc。第九章 重积分9.01 计算下列二重积分：（1） Dydsinx)(，其中 D 是顶点分别为（0，0） ， （1，0） ， （1，2）和（0，1）的梯形闭区域；解
10、：区域 D: 10+D01xydsin)(dysin)x1(2sinco1sinco23 )1x(di)1x()()(cs0102 (2) D2d)yx(其中 D 是闭区域： x,iy0；解： xsin02d)(3ysi02940xcos2 xcos31dxsini )(d2c0 002| （3） D22dyxR，其中 D 是圆周 Rxyx2所围成的闭区域；解： cos,),(Rr0rD2s022 rddyxy=x+121D xx0 1y=sinx01xx2+y2=Rx0 R xyDD34R1R3cosd)(21sin3diR)r(3210232cosR022/3（4） D2d9y6x3，其中
11、 D 是闭区域： 22yx解：区域 D: 00,r D2R0 2232 dr9sinr6corsinris 002002242699ddrrRRR9.02 交换下列二次积分的顺序：（1） )4y(21-0dxf,d解：Dyy(,)(),12440x,x2, 40024)4y(1 2dy),(fd,fd（2） 2y301,解： 31,x)(,x),(D,y23021y010y dx),(fd),(f20x3,yxy0 231D1D12 x-2 0Dyy=2x+4244（3） 2x10dy)f(,d解： Dx(,),1012D2其中 x10 yy2 2(,),D10xd)(fd,f21y0y 22
12、 dxf),(,9.03 证明: a0x)m(ax)-m(aa dfee证明: ,Dy)(defxdefxdyamamaD0( ()x)a(0ax)xa(mfe(，证 毕 。9.04 把积分 Ddyxf),(表为极坐标形式的二次积分，其中积分区域 D 是1y2，解： Dxyx(,),21曲线 的极坐标方程： rtgsec曲线 的极坐标方程：区域 D 在极坐标系下有： D123其中:40,tsecr0),(1 4,r),(,43,tgsecr0),(D32 0tgsecdsinr,ofdxy,f43cs)ir,(f43tgsec0rd)sin,or(f9.05 把积分 dxyzf),(化为三次积
13、分，其中积分域是由曲面 2z， 2及平面 y=1,z=0 所围成的闭区域D2 xy120 1 x20aDyxy=xaD10y=11yxy=x2D3D21-1xyzo解：区域 在 xOy 面投影为 Dxy它由抛物线 2xy与 1围成fzd(,)2yx0y0 dz),(fd221x9.06 计算下列三重积分：（1） dxyz2,其中 是两个球： 22Rzy和 Rz2yx2（R0）的公共部分。解： 0,3,cosR2r0),r(20,3,r),r(zdxydrdR2023220cosinsrrdrR03220cosin645251813607594873232035ddRcosinsinco（2） dv1zyxz22)ln(,其中 是由球面 1zyx2所围成的闭区域。解：区域 ： 关于坐标面均对称（特别就平面 o）而被积函数fxyz(,)ln()221关于 z 为奇函数0dvzyx（3）2)(，其中 是由 xOy 平面上曲线 x2y绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 x=5 所围成的闭区域。解：区域 ：0,1r0,5x2r 52r1022 dxdvzy)(50
