1、概率论与数理统计作业集及答案第 1 章 概率论的基本概念1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢 3次，观察正面 H反面 T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢 3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ；2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= .(2) 一枚硬币连丢 2次， A：第一次出现正面，则 A= ；B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= .1 .2 随机事件的运算1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A
2、 与 B都发生,而 C不发生表示为： .(3)A与 B都不发生,而 C发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .(5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .2. 设 ：则42:,31:,50: xxxS（1） ， （2） ， （3） AABA， （4） = ， （5） = 。BB1 .3 概率的定义和性质1. 已知 ，则6.0)(,.)(,8.0)( PAAP(1) , (2)( )= , (3) = .BB)(BAP2. 已知 则 = .3.)(,7.)( )(1 .4 古典概型1. 某班有 30个同学,其中 8个女同学, 随机
3、地选 10个,求:(1)正好有 2个女同学的概率,(2)最多有 2个女同学的概率,(3) 至少有 2个女同学的概率.2. 将 3个不同的球随机地投入到 4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.1 .5 条件概率与乘法公式1丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1的概率是 。2. 已知 则 。,2/1)|(,3/1)|(,4/)( BAPBAP )(BAP1 .6 全概率公式1. 有 10个签，其中 2个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中的概率相同。2. 第一盒中有 4个红球 6个白球，第二盒中有 5个红球 5个白球，随机地取一盒，
4、从中随机地取一个球，求取到红球的概率。1 .7 贝叶斯公式1 某厂产品有 70%不需要调试即可出厂，另 30%需经过调试，调试后有 80%能出厂，求（1）该厂产品能出厂的概率， （2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。2 将两信息分别编码为 A和 B传递出去，接收站收到时，A 被误收作 B的概率为 0.02，B被误收作 A的概率为 0.01，信息 A与信息 B传递的频繁程度为 3 : 2，若接收站收到的信息是 A，问原发信息是 A的概率是多少？1 .8 随机事件的独立性1. 电路如图，其中 A,B,C,D为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为 p,求 L与 R为通路（用
5、T表示）的概率。A B L RC D 2. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为 0.4,0.5和 0.6，是否命中，相互独立， 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。第 1章作业答案1 .1 1：（1） ；, THTHTS（2） 32102：（1） ；6,54,5,BA（2） 正正，正反 正正，反反 正正，正反，反正。C1 .2 1： (1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) CABCA；BA(6) 或 ；B2： (1) ；(2) ；(3)41:x32:x；43:xBA（4） 或 ；（5） 。10:xBA241:xBA1 .3 1： (1) =0.3,
6、(2) = 0.2, (3) = 0.7. 2： )(P)(BAP)(P(BAP=0.4.1 .4 1：(1) ,(2)( ,(3)1-( .10382/C10382921802/C）（ 103921802/C）2： .341 .5 1：. 2/6； 2： 1/4。1 .6 1： 设 A表示第一人“中” ，则 P(A) = 2/10设 B表示第二人“中” ，则 P(B) = P(A)P(B|A) + P( )P(B| )A= 10298102两人抽“中的概率相同, 与先后次序无关。2： 随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是 0.5，所求概率为：p = 0.5 0.4 + 0.5 0.5 = 0
7、.451 .7 1：（1）94% （2） 70/94； 2： 0.993；1 .8. 1： 用 A,B,C,D表示开关闭合，于是 T = ABCD,从而，由概率的性质及 A,B,C,D的相互独立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)= P(A)P(B) + P(C)P(D) P(A)P(B)P(C)P(D)4242pp2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38；(2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第 2 章 随机变量及其分布2.1 随机变量的概念，离散型
8、随机变量1 一盒中有编号为 1，2，3，4，5 的五个球，从中随机地取 3 个，用 X 表示取出的 3 个球中的最大号码., 试写出 X 的分布律 .2 某射手有 5发子弹，每次命中率是 0.4，一次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用 X表示射击的次数, 试写出 X 的分布律。2.2 10分布和泊松分布1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数 X 是服从 =4 的泊松分布，求(1)每分钟恰有 1 次呼叫的概率；(2)每分钟只少有 1 次呼叫的概率；(3)每分钟最多有 1 次呼叫的概率；2 设随机变量 X 有分布律： X 2 3 , Y(X), 试求：p 0.4 0.6（1）P(X
9、=2,Y 2)； (2)P(Y2)； (3) 已知 Y2, 求 X=2 的概率。2.3 贝努里分布1 一办公室内有 5 台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为 0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻(1) 恰有 2 台计算机被使用的概率是多少？(2) 至少有 3 台计算机被使用的概率是多少？(3) 至多有 3 台计算机被使用的概率是多少？(4) 至少有 1 台计算机被使用的概率是多少？2 设每次射击命中率为 0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于 0.9 ？2.4 随机变量的分布函数1 设随机变量 X 的分布函数是： F(x) = 15.0x
10、（1）求 P(X0 )； P ；P(X1)，(2) 写出 X 的分布律。1X2 设随机变量 X 的分布函数是： F(x) = , 求（1）常数 A, (2) P .01xA21X2.5 连续型随机变量1 设连续型随机变量 的密度函数为： 他其0)(kf（1）求常数 的值；（2）求 X的分布函数 F(x)，画出 F(x) 的图形，k（3）用二种方法计算 P(- 0.50.5).)(f)(xf2.6 均匀分布和指数分布1 设随机变量 K 在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 4 + 4Kx + K + 2 = 02x有实根的概率。2 假设打一次电话所用时间（单位：分）X 服从 的指数分布
11、，如某人正好在你前.0面走进电话亭，试求你等待：（1）超过 10 分钟的概率；（2）10 分钟 到 20 分钟的概率。2.7 正态分布1 随机变量 XN (3, 4), (1) 求 P(22), P(X3)；(2) 确定 c，使得 P(Xc) = P(Xc)。2 某产品的质量指标 X 服从正态分布，=160，若要求 P(120X200)0.80，试问 最多取多大？2.8 随机变量函数的分布1 设随机变量 的分布律为； X 0 1 2 p 0.3 0.4 0.3Y = 2X 1, 求随机变量 的分布律。2 设随机变量 的密度函数为： ，X他其0)()xxf；求随机变量 Y 的密度函数。23. 设
12、随机变量 服从（0， 1）上的均匀分布， ，求随机变量 Y 的密度函数。XYln2第 2章作业答案2.1 1： X 3 4 5 p 0.1 0.3 0.62： X 1 2 3 4 5 p 0.4 0.60.4 0.60.60.4 0.60.60.60.4 0.60.60.60.612.2 1： (1) P(X = 1) = P(X1) P(X2) = 0.981684 0.908422 = 0.073262,(2) P(X1) = 0.981684,(3) P(X1) = 1 - P(X2) = 1 0.908422 = 0.091578。2：(1) 由乘法公式：P(X=2,Y2) = P(X
13、=2) P(Y 2 | X=2)= 0.4 ( )= 22ee（2）由全概率公式：P(Y2) = P(X=2) P(Y 2 | X=2) + P(X=3) P(Y2 | X=3)= 0.45 + 0.6 = 0.27067 + 0.25391 = 0.52458 2e317（3）由贝叶斯公式：P(X=2|Y2)= 516.0248.7)(,YPX2.3 1： 设 X 表示在同一时刻被使用的台数，则 X B(5, 0.6),(1) P( X = 2 ) = (2) P(X 3 ) = 3254.06C 545235 .06C(3) P(X 3 ) = 1 - (4)P(X 1 ) = 1 - 5
14、.2： 至少必须进行 11 次独立射击.2.4 1：（1）P(X0 )=0.5； P = 0.5；P(X1) = 0.5，0X(2) X 的分布律为： X -1 1 P 0.5 0.52： (1) A = 1, (2) P =1/6212.5 1：（1） ， （2） ；k10)(2xxF（3）P(- 0.5X0.5) = ；412)(5.00.5.0 xddf或= F(0,5) F(-0.5) = 。2： （1） （2）他其01/)(exxf 2ln1)(XP2.6 1： 3/5 2： 42)()2.7 1：(1) 0.5328, 0.9996, 0.6977, 0.5；(2) c = 3，
15、2：31.25。2.8 1： Y - 1 1 3 p 0.3 0.4 0.32： ， 3： ；他其010)()(yyfY 0021)(/yeyfY第 3 章 多维随机变量3.1 二维离散型随机变量1. 设盒子中有 2 个红球，2 个白球，1 个黑球，从中随机地取 3 个，用 X 表示取到的红球个数，用 Y 表示取到的白球个数，写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。2. 设二维随机变量 的联合分布律为： X Y 0 1 2 ),(X试根椐下列条件分别求 a 和 b 的值； 0 0.1 0.2 a (1) ； 1 0.1 b 0.26.0)1(P(2) ； (3)设 是 的分布函数， 。5
16、.2|Y)(xFY5.0)1(F3.2 二维连续型随机变量1. 的联合密度函数为：)(X、 他其0,)(),( yxykyf求（1）常数 k；（2）P(X1/2,Y1/2)；(3) P(X+Y1)；(4) P(X1/2)。2 的联合密度函数为：)(Y、 他其 0,1),( xyxkyxf求（1）常数 k；（2）P(X+Y1)；(3) P(X1/2)。3.3 边缘密度函数1. 设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求 与 的边缘密度函数。XY yxyxyxf ,)1(),(222. 设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求 与 的边缘密度函数。XY他其0),(xyeyxfx3.4 随机变量的
17、独立性1. (X, Y) 的联合分布律如下， X Y 1 2 3 试根椐下列条件分别求 a 和 b 的值； 1 1/6 1/9 1/18(1) ； 2 a b 1/93/1)(YP(2) ； （3）已知 与 相互独立。5.02|X2. (X,Y) 的联合密度函数如下，求常数 c，并讨论 与 是否相互独立？XY他其01,),(2yxcyxf*3.5 多个随机变量的函数的分布*3.6 几种特殊随机变量函数的分布第 3章作业答案3.1 1： X Y 1 2 2： (1) a=0.1 b=0.31 0.4 0.3 0.7 (2) a=0.2 b=0.22 0.3 0. 0.3 (3) a=0.3 b=
18、0.10.7 0.3 1 3.2 1：(1) k = 1；(2) P(X1/2, Y1/2) = 1/8；(3) P(X+Y1) = 1/3；(4) P(X1/2) = 3/8 。2：(1) k = 8；(2) P(X+Y1) = 1/6；(3) P(X1/2) = 1/16。3.3 1： ； xxdyxxfX )1(2)1()(22； yyfY )()()( 2222： ； ；0)(xexfX 0yeyfY3.4 1： （1）a=1/6 b=7/18； (2) a=4/9 b=1/9；（3）a = 1/3, b = 2/9。 2： c = 6, X 与 Y 相互独立。第 4 章 随机变量的数
19、字特征4.1 数学期望1盒中有 5个球，其中 2个红球，随机地取 3个，用 X表示取到的红球的个数，则 EX是：（A）1； （B）1.2； （C）1.5； （D）2.2. 设 有密度函数： , 求 ,并求X083)(2xf他其 4)1(,2(),2XEXE大于数学期望 的概率。)(XE3. 设二维随机变量 的联合分布律为： X Y 0 1 2 ,Y已知 ， 0 0.1 0.2 a 65.0)(则 a 和 b 的值是： 1 0.1 b 0.2（A）a=0.1, b=0.3 ； （B）a=0.3, b=0.1； （C）a=0.2, b=0.2； （D ）a=0.15, b=0.25。4设随机变量
20、(X, Y) 的联合密度函数如下：求 。)1(,XYE他其020,1),( yxyxf4.2 数学期望的性质1设 X 有分布律： X 0 1 2 3 则 是：)32(XEp 0.1 0.2 0.3 0.4（A）1； （B）2； （C）3； （D）4.2. 设 有 ，试验证 ，但 与),(Y他其0145),(2yxyxf )()(Y不相互独立。4.3 方差1丢一颗均匀的骰子，用 X 表示点数，求 .DXE,2 有密度函数： ，求 D(X).X04/)1()xf 他其 20x4.4 常见的几种随机变量的期望与方差1 设 , ,相互独立，则 的值分别是：)2()6.,3(BY )2(),(YXDE（
21、A）-1.6 和 4.88； （B）-1 和 4； （C）1.6 和 4.88； （D）1.6 和-4.88.2. 设 ， 与 有相同的期望和方差，求 的值。),(),(NbaUXXYba,（A） 0 和 8； （B） 1 和 7； （C） 2 和 6； （D） 3 和 5.4.5 协方差与相关系数1随机变量 (X,Y) 的联合分布律如下：试求协方差 和相关系数 ，),(YXCovXYX Y 1 0 1 .0 0.2 0.1 01 0.1 0.3 0.32设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下：试求协方差 和相关系数 ，),(YXCovXY他其010,),( yxyxf4.6 独立性与不
22、相关性 矩1下列结论不正确的是（ ）（A） 与 相互独立，则 与 不相关；XYXY（B） 与 相关，则 与 不相互独立；（C） ，则 与 相互独立；)()(E（D） ，则 与 不相关；,yfxyfYX2若 ，则不正确的是（ ）0)(OV（A） ；（B） ；)(E )()(YEXY（C） ；（D ） ；)(YXDD3 （ ）有联合分布律如下，试分析 与 的相关性和独立性。YX,X Y 1 0 1 .1 1/8 1/8 1/80 1/8 0 1/81 1/8 1/8 1/84 是 与 不相关的（ ）)()(E（A）必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。5. 是 与 相互独立的（ ）)()(YXE（A） 必要条件；（B）充分条件：（ C）充要条件；（ D）既不必要，也不充分。6. 设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下：试验证 与 不相关，但不独立。XY他其014/21),(2yxyxf第 4章作业答案4.1 1： B； 2：3/2, 2, 3/4, 37/64； 3： D； 4： 2/3，4/3，17/9；4.2 1： D；
