1、概率论与数理统计作业集及答案第 1 章 概率论的基本概念1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢 3次,观察正面 H反面 T 出现的情形. 样本空间是:S= ;(2) 一枚硬币连丢 3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ;2.(1) 丢一颗骰子. A:出现奇数点,则 A= ;B:数点大于 2,则 B= .(2) 一枚硬币连丢 2次, A:第一次出现正面,则 A= ;B:两次出现同一面,则= ; C:至少有一次出现正面,则 C= .1 .2 随机事件的运算1. 设 A、B、C 为三事件,用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件:(1)A、B、C 都不发生表示为: .(2)A
2、 与 B都发生,而 C不发生表示为: .(3)A与 B都不发生,而 C发生表示为: .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为: .(5)A、B、C 中至少二个发生表示为: .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为: .2. 设 :则42:,31:,50: xxxS(1) , (2) , (3) AABA, (4) = , (5) = 。BB1 .3 概率的定义和性质1. 已知 ,则6.0)(,.)(,8.0)( PAAP(1) , (2)( )= , (3) = .BB)(BAP2. 已知 则 = .3.)(,7.)( )(1 .4 古典概型1. 某班有 30个同学,其中 8个女同学, 随机
3、地选 10个,求:(1)正好有 2个女同学的概率,(2)最多有 2个女同学的概率,(3) 至少有 2个女同学的概率.2. 将 3个不同的球随机地投入到 4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.1 .5 条件概率与乘法公式1丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1的概率是 。2. 已知 则 。,2/1)|(,3/1)|(,4/)( BAPBAP )(BAP1 .6 全概率公式1. 有 10个签,其中 2个“中” ,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个签,说明两人抽“中的概率相同。2. 第一盒中有 4个红球 6个白球,第二盒中有 5个红球 5个白球,随机地取一盒,
4、从中随机地取一个球,求取到红球的概率。1 .7 贝叶斯公式1 某厂产品有 70%不需要调试即可出厂,另 30%需经过调试,调试后有 80%能出厂,求(1)该厂产品能出厂的概率, (2)任取一出厂产品, 求未经调试的概率。2 将两信息分别编码为 A和 B传递出去,接收站收到时,A 被误收作 B的概率为 0.02,B被误收作 A的概率为 0.01,信息 A与信息 B传递的频繁程度为 3 : 2,若接收站收到的信息是 A,问原发信息是 A的概率是多少?1 .8 随机事件的独立性1. 电路如图,其中 A,B,C,D为开关。设各开关闭合与否相互独立,且每一开关闭合的概率均为 p,求 L与 R为通路(用
5、T表示)的概率。A B L RC D 2. 甲,乙,丙三人向同一目标各射击一次,命中率分别为 0.4,0.5和 0.6,是否命中,相互独立, 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。第 1章作业答案1 .1 1:(1) ;, THTHTS(2) 32102:(1) ;6,54,5,BA(2) 正正,正反 正正,反反 正正,正反,反正。C1 .2 1: (1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) CABCA;BA(6) 或 ;B2: (1) ;(2) ;(3)41:x32:x;43:xBA(4) 或 ;(5) 。10:xBA241:xBA1 .3 1: (1) =0.3,
6、(2) = 0.2, (3) = 0.7. 2: )(P)(BAP)(P(BAP=0.4.1 .4 1:(1) ,(2)( ,(3)1-( .10382/C10382921802/C)( 103921802/C)2: .341 .5 1:. 2/6; 2: 1/4。1 .6 1: 设 A表示第一人“中” ,则 P(A) = 2/10设 B表示第二人“中” ,则 P(B) = P(A)P(B|A) + P( )P(B| )A= 10298102两人抽“中的概率相同, 与先后次序无关。2: 随机地取一盒,则每一盒取到的概率都是 0.5,所求概率为:p = 0.5 0.4 + 0.5 0.5 = 0
7、.451 .7 1:(1)94% (2) 70/94; 2: 0.993;1 .8. 1: 用 A,B,C,D表示开关闭合,于是 T = ABCD,从而,由概率的性质及 A,B,C,D的相互独立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)= P(A)P(B) + P(C)P(D) P(A)P(B)P(C)P(D)4242pp2: (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38;(2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第 2 章 随机变量及其分布2.1 随机变量的概念,离散型
8、随机变量1 一盒中有编号为 1,2,3,4,5 的五个球,从中随机地取 3 个,用 X 表示取出的 3 个球中的最大号码., 试写出 X 的分布律 .2 某射手有 5发子弹,每次命中率是 0.4,一次接一次地射击,直到命中为止或子弹用尽为止,用 X表示射击的次数, 试写出 X 的分布律。2.2 10分布和泊松分布1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数 X 是服从 =4 的泊松分布,求(1)每分钟恰有 1 次呼叫的概率;(2)每分钟只少有 1 次呼叫的概率;(3)每分钟最多有 1 次呼叫的概率;2 设随机变量 X 有分布律: X 2 3 , Y(X), 试求:p 0.4 0.6(1)P(X
9、=2,Y 2); (2)P(Y2); (3) 已知 Y2, 求 X=2 的概率。2.3 贝努里分布1 一办公室内有 5 台计算机,调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为 0.6,计算机是否被使用相互独立,问在同一时刻(1) 恰有 2 台计算机被使用的概率是多少?(2) 至少有 3 台计算机被使用的概率是多少?(3) 至多有 3 台计算机被使用的概率是多少?(4) 至少有 1 台计算机被使用的概率是多少?2 设每次射击命中率为 0.2,问至少必须进行多少次独立射击,才能使至少击中一次的概率不小于 0.9 ?2.4 随机变量的分布函数1 设随机变量 X 的分布函数是: F(x) = 15.0x
10、(1)求 P(X0 ); P ;P(X1),(2) 写出 X 的分布律。1X2 设随机变量 X 的分布函数是: F(x) = , 求(1)常数 A, (2) P .01xA21X2.5 连续型随机变量1 设连续型随机变量 的密度函数为: 他其0)(kf(1)求常数 的值;(2)求 X的分布函数 F(x),画出 F(x) 的图形,k(3)用二种方法计算 P(- 0.50.5).)(f)(xf2.6 均匀分布和指数分布1 设随机变量 K 在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 4 + 4Kx + K + 2 = 02x有实根的概率。2 假设打一次电话所用时间(单位:分)X 服从 的指数分布
11、,如某人正好在你前.0面走进电话亭,试求你等待:(1)超过 10 分钟的概率;(2)10 分钟 到 20 分钟的概率。2.7 正态分布1 随机变量 XN (3, 4), (1) 求 P(22), P(X3);(2) 确定 c,使得 P(Xc) = P(Xc)。2 某产品的质量指标 X 服从正态分布,=160,若要求 P(120X200)0.80,试问 最多取多大?2.8 随机变量函数的分布1 设随机变量 的分布律为; X 0 1 2 p 0.3 0.4 0.3Y = 2X 1, 求随机变量 的分布律。2 设随机变量 的密度函数为: ,X他其0)()xxf;求随机变量 Y 的密度函数。23. 设
12、随机变量 服从(0, 1)上的均匀分布, ,求随机变量 Y 的密度函数。XYln2第 2章作业答案2.1 1: X 3 4 5 p 0.1 0.3 0.62: X 1 2 3 4 5 p 0.4 0.60.4 0.60.60.4 0.60.60.60.4 0.60.60.60.612.2 1: (1) P(X = 1) = P(X1) P(X2) = 0.981684 0.908422 = 0.073262,(2) P(X1) = 0.981684,(3) P(X1) = 1 - P(X2) = 1 0.908422 = 0.091578。2:(1) 由乘法公式:P(X=2,Y2) = P(X
13、=2) P(Y 2 | X=2)= 0.4 ( )= 22ee(2)由全概率公式:P(Y2) = P(X=2) P(Y 2 | X=2) + P(X=3) P(Y2 | X=3)= 0.45 + 0.6 = 0.27067 + 0.25391 = 0.52458 2e317(3)由贝叶斯公式:P(X=2|Y2)= 516.0248.7)(,YPX2.3 1: 设 X 表示在同一时刻被使用的台数,则 X B(5, 0.6),(1) P( X = 2 ) = (2) P(X 3 ) = 3254.06C 545235 .06C(3) P(X 3 ) = 1 - (4)P(X 1 ) = 1 - 5
14、.2: 至少必须进行 11 次独立射击.2.4 1:(1)P(X0 )=0.5; P = 0.5;P(X1) = 0.5,0X(2) X 的分布律为: X -1 1 P 0.5 0.52: (1) A = 1, (2) P =1/6212.5 1:(1) , (2) ;k10)(2xxF(3)P(- 0.5X0.5) = ;412)(5.00.5.0 xddf或= F(0,5) F(-0.5) = 。2: (1) (2)他其01/)(exxf 2ln1)(XP2.6 1: 3/5 2: 42)()2.7 1:(1) 0.5328, 0.9996, 0.6977, 0.5;(2) c = 3,
15、2:31.25。2.8 1: Y - 1 1 3 p 0.3 0.4 0.32: , 3: ;他其010)()(yyfY 0021)(/yeyfY第 3 章 多维随机变量3.1 二维离散型随机变量1. 设盒子中有 2 个红球,2 个白球,1 个黑球,从中随机地取 3 个,用 X 表示取到的红球个数,用 Y 表示取到的白球个数,写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。2. 设二维随机变量 的联合分布律为: X Y 0 1 2 ),(X试根椐下列条件分别求 a 和 b 的值; 0 0.1 0.2 a (1) ; 1 0.1 b 0.26.0)1(P(2) ; (3)设 是 的分布函数, 。5
16、.2|Y)(xFY5.0)1(F3.2 二维连续型随机变量1. 的联合密度函数为:)(X、 他其0,)(),( yxykyf求(1)常数 k;(2)P(X1/2,Y1/2);(3) P(X+Y1);(4) P(X1/2)。2 的联合密度函数为:)(Y、 他其 0,1),( xyxkyxf求(1)常数 k;(2)P(X+Y1);(3) P(X1/2)。3.3 边缘密度函数1. 设(X, Y) 的联合密度函数如下,分别求 与 的边缘密度函数。XY yxyxyxf ,)1(),(222. 设(X, Y) 的联合密度函数如下,分别求 与 的边缘密度函数。XY他其0),(xyeyxfx3.4 随机变量的
17、独立性1. (X, Y) 的联合分布律如下, X Y 1 2 3 试根椐下列条件分别求 a 和 b 的值; 1 1/6 1/9 1/18(1) ; 2 a b 1/93/1)(YP(2) ; (3)已知 与 相互独立。5.02|X2. (X,Y) 的联合密度函数如下,求常数 c,并讨论 与 是否相互独立?XY他其01,),(2yxcyxf*3.5 多个随机变量的函数的分布*3.6 几种特殊随机变量函数的分布第 3章作业答案3.1 1: X Y 1 2 2: (1) a=0.1 b=0.31 0.4 0.3 0.7 (2) a=0.2 b=0.22 0.3 0. 0.3 (3) a=0.3 b=
18、0.10.7 0.3 1 3.2 1:(1) k = 1;(2) P(X1/2, Y1/2) = 1/8;(3) P(X+Y1) = 1/3;(4) P(X1/2) = 3/8 。2:(1) k = 8;(2) P(X+Y1) = 1/6;(3) P(X1/2) = 1/16。3.3 1: ; xxdyxxfX )1(2)1()(22; yyfY )()()( 2222: ; ;0)(xexfX 0yeyfY3.4 1: (1)a=1/6 b=7/18; (2) a=4/9 b=1/9;(3)a = 1/3, b = 2/9。 2: c = 6, X 与 Y 相互独立。第 4 章 随机变量的数
19、字特征4.1 数学期望1盒中有 5个球,其中 2个红球,随机地取 3个,用 X表示取到的红球的个数,则 EX是:(A)1; (B)1.2; (C)1.5; (D)2.2. 设 有密度函数: , 求 ,并求X083)(2xf他其 4)1(,2(),2XEXE大于数学期望 的概率。)(XE3. 设二维随机变量 的联合分布律为: X Y 0 1 2 ,Y已知 , 0 0.1 0.2 a 65.0)(则 a 和 b 的值是: 1 0.1 b 0.2(A)a=0.1, b=0.3 ; (B)a=0.3, b=0.1; (C)a=0.2, b=0.2; (D )a=0.15, b=0.25。4设随机变量
20、(X, Y) 的联合密度函数如下:求 。)1(,XYE他其020,1),( yxyxf4.2 数学期望的性质1设 X 有分布律: X 0 1 2 3 则 是:)32(XEp 0.1 0.2 0.3 0.4(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2. 设 有 ,试验证 ,但 与),(Y他其0145),(2yxyxf )()(Y不相互独立。4.3 方差1丢一颗均匀的骰子,用 X 表示点数,求 .DXE,2 有密度函数: ,求 D(X).X04/)1()xf 他其 20x4.4 常见的几种随机变量的期望与方差1 设 , ,相互独立,则 的值分别是:)2()6.,3(BY )2(),(YXDE(
21、A)-1.6 和 4.88; (B)-1 和 4; (C)1.6 和 4.88; (D)1.6 和-4.88.2. 设 , 与 有相同的期望和方差,求 的值。),(),(NbaUXXYba,(A) 0 和 8; (B) 1 和 7; (C) 2 和 6; (D) 3 和 5.4.5 协方差与相关系数1随机变量 (X,Y) 的联合分布律如下:试求协方差 和相关系数 ,),(YXCovXYX Y 1 0 1 .0 0.2 0.1 01 0.1 0.3 0.32设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下:试求协方差 和相关系数 ,),(YXCovXY他其010,),( yxyxf4.6 独立性与不
22、相关性 矩1下列结论不正确的是( )(A) 与 相互独立,则 与 不相关;XYXY(B) 与 相关,则 与 不相互独立;(C) ,则 与 相互独立;)()(E(D) ,则 与 不相关;,yfxyfYX2若 ,则不正确的是( )0)(OV(A) ;(B) ;)(E )()(YEXY(C) ;(D ) ;)(YXDD3 ( )有联合分布律如下,试分析 与 的相关性和独立性。YX,X Y 1 0 1 .1 1/8 1/8 1/80 1/8 0 1/81 1/8 1/8 1/84 是 与 不相关的( ))()(E(A)必要条件;(B)充分条件:(C)充要条件;(D)既不必要,也不充分。5. 是 与 相互独立的( ))()(YXE(A) 必要条件;(B)充分条件:( C)充要条件;( D)既不必要,也不充分。6. 设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下:试验证 与 不相关,但不独立。XY他其014/21),(2yxyxf第 4章作业答案4.1 1: B; 2:3/2, 2, 3/4, 37/64; 3: D; 4: 2/3,4/3,17/9;4.2 1: D;