1、1函数的基本性质基础知识：1.奇偶性（1）定义：如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f( x)=f (x)，则称 f(x)为奇函数；如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(x )=f(x)，则称 f(x)为偶函数。如果函数 f(x)不具有上述性质，则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称） 。（2）利用定义
2、判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定 f(x)与 f(x)的关系；作出相应结论：若 f(x ) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f(x ) =f(x) 或 f(x) f(x) = 0，则 f(x)是奇函数。（3）简单性质：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴成轴对称；设 ， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域上：()fxg12,D奇+奇=奇，奇 奇=偶，偶+ 偶=偶，偶 偶=偶，奇 偶=奇2.单调性（1）定义：一般地，设
3、函数 y=f(x)的定义域为 I， 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x 2，当 x1f(x2)） ，那么就说 f(x)在区间 D上是增函数（减函数） ；注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x 2；当 x1x2 时，总有 f(x1)f(x2)。（2）如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。（3）设复合函数 y= fg(x)，其中 u=g(x) , A 是 y= fg(x)定义域
4、的某个区间，B 是映射 g : xu=g(x) 的象集：若 u=g(x) 在 A 上是增（或减）函数，y= f(u)在 B 上也是增（或减）函数，则函数 y= 2fg(x)在 A 上是增函数；若 u=g(x)在 A 上是增（或减）函数，而 y= f(u)在 B 上是减（或增）函数，则函数 y= fg(x)在 A 上是减函数。（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤：任取 x1，x 2D，且 x1x2； 作差 f(x1)f(x 2)； 变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差 f(x1)f(x 2)的正负） ； 下结论（即指出函数 f(x
5、)在给定的区间 D 上的单调性） 。（5）简单性质奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；在公共定义域内：增函数 增函数 是增函数； 减函数 减函数 是减函数；)(xf)(xg)(xf)(xg增函数 减函数 是增函数； 减函数 增函数 是减函数。若函数 是偶函数，则 ；若函数 是偶函数，)(xfy)()(axfxf)(axfy则 .(af3.函数的周期性如果函数 yf(x)对于定义域内任意的 x，存在一个不等于 0 的常数 T，使得 f(xT)f(x)恒成立，则称函数 f(x)是周期函数， T 是它的一个周期.性质：如果 T 是函数 f(x)的周期，则 kT(kN
6、)也是 f(x)的周期.若周期函数 f(x)的周期为 T，则 （ ）是周期函数，且周期为 。(xf0|T若 ,则函数 的图象关于点 对称; 若aff)fy),2(a,则函数 为周期为 的周期函数.)()(x(x例题：1. 的递减区间是 ； 的单调递增区间是 。1xy )23(log21xy2.函数 的图象（ ）)12lg()xf3A.关于 轴对称 B. 关于 轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线 对称xy xy3.设 是定义在 上的奇函数，若当 时， ，则 )(fR0x)1(log)(3xxf)2(f。4.定义在 上的偶函数 满足 ，若 在 上递增，则（ )(xf )2()(ff )(f
7、0,）A. B C D以上都不对)5.()1f)5.()1f)5.()1f5.讨论函数 的单调性。x6.已知奇函数 是定义在 上的减函数,若 ，求实数 )(f)2(0)12()(mff的取值范围。7.已知函数 的定义域为 N，且对任意正整数 ，都有 。若)(xf x)()()xfff，求 。204)(f )0习题：题型一：判断函数的奇偶性1.以下函数：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；)0(1xy14xyxy2xy2log（5） ，(6) ；其中奇函数是 ，偶函数是 (log2y 2f，非奇非偶函数是 。2.已知函数 = ,那么 是( )(xf1xxfA.奇函数而非偶函数 B. 偶函数而
8、非奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既非奇函数也非偶函数题型二：奇偶性的应用1.已知偶函数 和奇函数 的定义域都是(-4,4),它们在 上的图像分别如)(xf)(xg0,4图（2-3）所示，则关于 的不等式 的解集是_。0)(xfyy=g(x)-42y=f(x)-24 0y0图 342.已知 ，其中 为常数，若 ，则5)(357dxcbaxf dcba, 7)(f_ 3.下列函数既是奇函数，又在区间 上单调递减的是（ ）1A. B. C. D.()sinfx()fx()2xfa2()lnxf4.已知函数 在 R 是奇函数，且当 时， ，则 时，)(fy0x0x的)(xf解析式为 。5.若
9、是偶函数,且当 时, ,则 的解集是（ ）f 0x1fx0fxA. B. C. D. 1x12或 212x题型三：判断证明函数的单调性1.判断并证明 在 上的单调性2)(xf),0(2.判断 在 上的单调性1)(xf 题型四：函数的单调区间1.求函数 的单调区间。20.7log(3)yx2.下列函数中，在 上为增函数的是（ ）,A. B. C. D.842xy )0(3axy12xy)(log21xy3.函数 的一个单调递增区间是（ ）f1)(A. B. C. D.,00,1,4.下列函数中，在(0，2)上为增函数的是( )A.y=-3x+1 B.y=|x+2| C.y= D.y=x2-4x+
10、3x45.函数 y= 的递增区间是( )245xA.(-，-2) B.-5，-2 C.-2，1 D.1，+)题型五：单调性的应用1.函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-，4)上是减函数，那么实数 a 的取值范围是( ) A.3，+ ) B.(-，-3 C.-3 D.(-，5 2.已知函数 f(x)=2x2-mx+3，当 x(-2，+)时是增函数，当 x(-，-2)时是减函数，5则 f(1)等于( )A.-3 B.13 C.7 D.由 m 而决定的常数3.若函数 在 R 上单调递增，则实数 a, b 一定满足的条件是（ ）7)(23bxaxfA B. C D0203032132b
11、4.函数 恒成立，则 b 的最小值为 。1)(,23)( xfxxf 若5.已知偶函数 f(x)在(0，+)上为增函数，且 f(2)=0，解不等式 flog 2(x2+5x+4)0。题型六：周期问题1.奇函数 以 3 为最小正周期， ，则 为( )f 3)1(f47fA.3 B.6 C.-3 D.-62.设 f(x)是定义在 R 上以 6 为周期的函数， f(x)在(0,3)内单调递增，且 y=f(x)的图象关于直线 x =3 对称，则下面正确的结论是( )A.f(1.5)f(3.5)f(6.5) B.f(3.5)f(1.5)f(6.5)C.f(6.5)f(3.5)f(1.5) D.f(3.5)f(6.5)f(1.5)3.已知 为偶函数,且 ,当 时, ,则xf20x2（ ）206A2006 B4 C D4414.设 是 上的奇函数， ，当 时， ，则)(xf),)(2(xff0xf)(等于_5.475.已知函数 f(x)对任意实数 x,都有 f(xm)f(x), 求证:2m 是 f(x)的一个周期.6、已知函数 f(x)对任意实数 x,都有 f(mx) f(mx)，且 f(x)是偶函数,求证:2m 是 f(x)的一个周期.7、函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(1) 3，对任意的 xR，均有 f(x4)f(x)f，求 f(2001)的值.
