1、概率论与数理统计习题二答案1.一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1，2，3，4，5，在其中同时取 3 只，以 表示取出的 3X只球中的最大号码，写出随机变量 的分布律.X【解】 的可能取值为 ，其取不同值的概率为X,24333555C10.,40.,0.6CCPPP故所求分布律为X 3 4 5P 0.1 0.3 0.62.设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样，以 X 表示取出的次品个数，求：（1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图；(3) .3,1,1,122PPX【解】 的可能取值为 ，其取不同值的概率为02312211 3 3
2、5 5 5CCC, , .PXPXPX故 的分布律为0 1 2235235135（2） 当 时，0x()0FxPXx当 时， 1235当 时，2x 4() 1xxPX当 时，02FPX故 的分布函数X0,2135()4,2xFxx(3) 12()(,3543)(10512(1)234)(1)(0.5PXFPXPXF3.射手向目标独立地进行了 3 次射击，每次击中率为 0.8，求 3 次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求 3 次射击中至少击中 2 次的概率.【解】设 表示 3 次射击中击中目标的次数.则 的可能取值为 0，1，2，3，显然X其取不同值的概率为(,0.8)Xb3 1232
3、 3(0.).8,C.8().96C04051PP 故 的分布律为X0 1 2 30.008 0.096 0.384 0.512分布函数 0,.81()14,2.3,xFxx3 次射击中至少击中 2 次的概率为 20.896PXPX4.（1） 设随机变量 X 的分布律为，!kxa其中 k=0，1，2， 0 为常数，试确定常数 a.（2） 设随机变量 X 的分布律为， k=1，2，N，aPxk试确定常数 a.【解】 （1） 由分布律的性质知 001e!kkXa:故 (2) 由分布律的性质知 11NNkkaPX即 .5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.6,0.7,今各投 3 次，求：（1）
4、两人投中次数相等的概率;（2） 甲比乙投中次数多的概率.【解】设 、 分别表示甲、乙投中次数，则 ,XY(0.6)Xb(3,0.7)Yb(1) 0,1,2,3PYPPXY+3121233(0.4)C.6(4).7()33C(.)4(.)(.6)(2) ,0,0,0XYXYY213132PPPX123233C0.6(4).C(.6)4(.)213.6()C(.6)4.7()=0.2433270706.设某机场每天有 200 架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为 0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于 0
5、.01(每条跑道只能允许一架飞机降落) ？【解】设 为某一时刻需立即降落的飞机数，则 ，设机场需配备 条X(20,.)XbN跑道，根据题意有 .1PN即 20201C(.).98.kkkN利用泊松定理近似计算 2.4.np442011ee0.!kkkNNPX查表得 N9.故机场至少应配备 9 条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有 1000 辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2 的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设 X 表示出事故的次数，则 Xb（1000，0.0001）(2)1(0)(1)PPX.e8.已知在五
6、重贝努里试验中成功的次数 X 满足 PX=1=PX=2，求概率 PX=4.【解】设在每次试验中成功的概率为 p，则142355C()(1)p故 所以 .45210()C(3PX9.设事件 A 在每一次试验中发生的概率为 0.3，当 A 发生不少于 3 次时，指示灯发出信号，（1） 进行了 5 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2） 进行了 7 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】设 表示指示灯发出信号B（1） 设 X 表示 5 次独立试验中 A 发生的次数，则 。(5,0.3)XB所求概率为 553()C(.)7.168kkPX(2) 令 Y 表示 7 次独立试验中 A 发生的次
7、数，则 ，所求概率为(,0.3)YB773()(0.).529kkBY10.某公安局在长度为 t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数 X 服从参数为 的泊松分布，t而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1） 求某一天中午 12 时至下午 3 时没收到呼救的概率；（2） 求某一天中午 12 时至下午 5 时至少收到 1 次呼救的概率.【解】 t（1） 31.521.50e,0,2!kPX从而 32(0)e.1PX(2) 5.22.50e,01,!k2.5(1)()19811.设 PX=k= , k=0,1,2kp22CPY=m= , m=0,1,2,3,444)(分别为随机变量 X，Y 的概率分
8、布，如果已知 PX1= ，试求 PY1.59【解】因为 ，所以 .5(1)9(1)即 ，可得 240()9Pp.3p从而 465(0)()0.82471YP12.某教科书出版了 2000 册，因装订等原因造成错误的概率为 0.001，试求在这 2000 册书中恰有 5 册错误的概率.【解】令 X 为 2000 册书中错误的册数，则 Xb(2000,0.001).利用泊松定理近似计算,20.12np55549520 e(.).0.18!PC13.进行某种试验，成功的概率为 ，失败的概率为 .以 X 表示试验首次成功所需31试验的次数，试写出 的分布律，并计算 取偶数的概率。XX【解】 的可能取值
9、为 ， 的分布律为1,2 13(),2,4kP取偶数的概率为 2pPXX 32113()()44k: 2145():14.有 2500 名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为 0.002，每个参加保险的人在 1 月 1 日须交 12 元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取 2000 元赔偿金.求：（1） 保险公司亏本的概率;（2） 保险公司获利分别不少于 10000 元、20000 元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.（1） 在 1 月 1 日，保险公司总收入为 250012=30000 元.设 1 年中死亡人数为 ，则 ，则所求概率为X(250,.
10、)b203114PPX由于 n 很大，p 很小， =np=5，故用泊松定理近似计算，有 5140e().069!kk(2) P(保险公司获利不少于 10000)3021)(1)XPX510e.986305!kk即保险公司获利不少于 10000 元的概率在 98%以上P（保险公司获利不少于 20000） (3020)(5)PXPX50e.619!kk即保险公司获利不少于 20000 元的概率约为 62%15.已知随机变量 X 的密度函数为f(x)=Ae|x|, a 时，F （x ）=1即分布函数 0,0()1,xFxaa18.设随机变量 X 在2，5 上服从均匀分布 .现对 X 进行三次独立观测
11、，求至少有两次的观测值大于 3 的概率.【解】XU2,5 ，即 1,25()30xfx其 他53()dPX故所求概率为 233120C()()7p19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X（以分钟计）服从指数分布 .某顾客在窗1()5E口等待服务，若超过 10 分钟他就离开.他一个月要到银行 5 次，以 Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出 Y 的分布律，并求 PY1.【解】依题意知 ，即其密度函数为1()5XE51e,0()xf该顾客未等到服务而离开的概率为 2510()edxPX,即其分布律为2(5e)Yb225525()C(e),1,3410(e)0.67kkYP20.
12、某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间 X服从 N（40，10 2） ；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间 X 服从 N（50，4 2）.（1） 若动身时离火车开车只有 1 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（2） 又若离火车开车时间只有 45 分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】 （1） 若走第一条路，XN （40，10 2） ，则406(6) (2)0.971xPX若走第二条路，XN（50，4 2） ，则 506(60) (2.5)09384XP故走第二条路乘上火车的把握大些.（2） 若 XN（40，10 2） ，则 05(45) (0.5)
13、6911X若 XN（50，4 2） ，则 4() (.2)XP1(.25)0.16故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设 XN（3，2 2） ，（1） 求 P2X5，P 4X10，PX2 ，PX3;（2） 确定 c 使 PXc=PXc.【解】 （1） 2353(5)211()()0.843.6950.328(1)XPXP70.962(|)()(2)PXPX332151520.69.380.697(3)()().2XP-(2) 由 得 ()Xc32cXcP即 ， ，故 .312cc30.52c3c22.由某机器生产的螺栓长度（cm）XN （10.05,0.06 2）,规定长度在 10.050.
14、12 内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】 10.5.(|10.5|.2)6XPP()2()0.4523.一工厂生产的电子管寿命 X（小时）服从正态分布 N（160， 2） ，若要求P120 X2000.8，允许 最大不超过多少？【解】 126106(120)P 40420.8故 031.5.924.设随机变量 X 分布函数为F（x）= e,(),00.xtAB,（1） 求常数 A，B；（2） 求 PX2，PX3；（3） 求分布密度 f（x ）.【解】 （1）由 得00lim()1li()xxF1AB（2） 2(2)ePX331()1)eF(3) e,0()xfx25.设随机变量 X 的概率密度为f（x ）= .,0,212,他x求 X 的分布函数 F（x ） ，并画出 f（x）及 F（x）.
