1、平行四边形竞赛试题总分 120 分，时间 120 分钟一、填空题（共 9 小题，每小题 3 分，满分 27 分）1在矩形 ABCD 中，已知两邻边 AD=12，AB=5，P 是 AD 边上异于 A 和 D 的任意一点，且PEBD，PF AC，E、F 分别是垂足，那么 PE+PF= _ 2如图，BD 是平行四边形 ABCD 的对角线，点 E、F 在 BD 上，要使四边形 AECF 是平行四边形，还需要增加的一个条件是 _ （填一个即可） 3如图，已知矩形 ABCD，对角线 AC、BD 相交于 O，AEBD 于 E，若 AB=6，AD=8，则 AE= _ _ 4如图，以ABC 的三边为边在 BC
2、的同一侧分别作三个等边三角形，即ABD、BCE、 ACF（1）四边形 ADEF 是 _ ；（2）当ABC 满足条件 _ 时，四边形 ADEF 为菱形； （3）当ABC 满足条件 _ 时，四边形 ADEF 不存在1 题 2 题 3 题 4 题5已知一个三角形的一边长为 2，这边上的中线为 1，另两边之和为 1+ ，则这两边之积为_ 6如图，在平行四边形 ABCD 中，EF BC，GHAB，EF、GH 的交点 P 在 BD 上，图中有 _ 对四边形面积相等；它们是 _ 7如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 O，AOB 的周长为 3+ ， ABC=60，则菱形ABCD 的面积为 _
3、8如图，矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，AE 平分BAD，交 BC 于 E，若EAO=15，则BOE的度数为 _ 度 9如图，矩形 ABCD 中，AB=8，BC=4，将矩形沿 AC 折叠，点 D 落在点 D处，则重叠部分AFC 的面积为 _ 6 题 7 题 8 题 9 题二、选择题（共 9 小题，每小题 3 分，满分 27 分）10如图，ABCD 中，ABC=75 ，AFBC 于 F，AF 交 BD 于 E，若 DE=2AB，则AED 的大小是（ ）A 60 B 65 C 70 D 7510 题 11 题 12 题 13 题211如图，正AEF 的边长与菱形 ABCD 的边长相等
4、，点 E、F 分别在 BC、CD 上，则B 的度数是（ ）A 70 B 75 C 80 D 9512如图，正方形 ABCD 外有一点 P，P 在 BC 外侧，并在平行线 AB 与 CD 之间，若 PA= ，PB=，PC= ，则 PD=（ ）A 2 B C 3 D13如图，平行四边形 ABCD 中，BC=2AB，CEAB 于 E，F 为 AD 的中点，若AEF=54，则B=（ ）A 54 B 60 C 66 D 7214四边形 ABCD 的四边分别为 a、b、c、d，其中 a、c 为对边，且满足 a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形一定是（ ）A 两组角分别相等的四边形 B 平行
5、四边形C 对角线互相垂直的四边形 D 对角线相等的四边形15周长为 68 的长方形 ABCD 被分成 7 个全等的长方形，如图所示，则长方形 ABCD 的面积为（ ）A 98 B 196 C 280 D 28415 题 16 题16如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 6m，A=120，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（ ）A 12m B 20m C 22m D 24m17在凸四边形 ABCD 中，ABCD，且 AB+BC=CD+DA，则（ ）A ADBC B ADBCC AD=BC D AD 与 BC 的大小关系不能确定18已知四边形 ABCD，从下列条件中：（ 1
6、）ABCD；（2）BCAD；（3）AB=CD；（4）BC=AD；（5） A=C；（6）B=D任取其中两个，可以得出“四边形 ABCD 是平行四边形”这一结论的情况有（ ）A 4 种 B 9 种 C 13 种 D 15 种三、解答题（共 10 小题，满分 66 分）19如图，在ADC 中，BAC=90，AD BC，BE、AF 分别是ABC、 DAC 的平分线，BE 和 AD交于 G，求证：GFAC 20设 P 为等腰直角三角形 ACB 斜边 AB 上任意一点，PE 垂直 AC 于点 E，PF 垂直 BC 于点 F，PG垂直 EF 于点 G，延长 GP 并在其延长线上取一点 D，使得 PD=PC，
7、试证：BCBD，且 BC=BD321如图，在等腰三角形 ABC 中，延长 AB 到点 D，延长 CA 到点 E，且 AE=BD，连接 DE如果AD=BC=CE=DE，求BAC 的度数22如图，ABC 为等边三角形，D、F 分别为 BC、AB 上的点，且 CD=BF，以 AD 为边作等边ADE（1）求证：ACDCBF；（2）点 D 在线段 BC 上何处时，四边形 CDEF 是平行四边形且DEF=3023如图，在 RtABC 中，AB=AC，A=90，点 D 为 BC 上任一点，DF AB 于 F，DEAC 于 E，M为 BC 的中点，试判断MEF 是什么形状的三角形，并证明你的结论24如图，在A
8、BC 中，点 O 是 AC 边上的一个动点，过点 O 作直线 MNBC，设 MN 交BCA 的角平分线于点 E，交BCA 的外角平分线于点 F（1）求证：EO=FO；（2）当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论425如图，在 RtABC 中，ABC=90，C=60，BC=2 ，D 是 AC 的中点，以 D 作 DEAC 与 CB 的延长线交于 E，以 AB、BE 为邻边作长方形 ABEF，连接 DF，求 DF 的长26阅读下面短文：如图，ABC 是直角三角形， C=90，现将 ABC 补成矩形，使 ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边
9、上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形 ACBD 和矩形AEFB（如图）解答问题：（1）设图中矩形 ACBD 和矩形 AEFB 的面积分别为 S1、S 2，则 S1 _ S 2（填“”“ =”或“ ”） （2）如图，ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画_ 个，利用图把它画出来（3）如图，ABC 是锐角三角形且三边满足 BCACAB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 _ 个，利用图把它画出来（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？27如图，在ABC 中， C=90，点 M 在 BC 上，且 BM=AC，N 在 AC 上
10、，且 AN=MC，AM 与BN 相交于 P，求证： BPM=4528如图，在锐角ABC 中，AD、CE 分别是 BC、AB 边上的高，AD、CE 相交于 F，BF 的中点为P，AC 的中点为 Q，连接 PQ、DE（1）求证：直线 PQ 是线段 DE 的垂直平分线；（2）如果ABC 是钝角三角形，BAC90，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明5参考答案与试题解析一、填空题（共 9 小题，每小题 4 分，满分 36 分）1在矩形 ABCD 中，已知两邻边 AD=12，AB=5，P 是 AD 边上异于 A 和 D 的任意一点，且PEBD，PFAC，E、F
11、分别是垂足，那么 PE+PF= 考点： 矩形的性质；等腰三角形的性质。368876 专题： 几何图形问题。分析： 首先过 A 作 AGBD 于 G根据等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，则 PE+PF=AG利用勾股定理求得 BD 的长，再根据三角形的面积计算公式求得 AG 的长，即为 PE+PF 的长解答： 解：如图，过 A 作 AGBD 于 G，则 SAOD= ODAG，S AOP+SPOD= AOPF+ DOPE= DO（PE+PF） ，SAOD=SAOP+SPOD，PE+PF=AG，等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，PE+PF=AGAD=12，AB=
12、5，BD= =13， ， 故答案为： 点评： 本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的面积计算解决本题的关键是明白等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高62 （2003宁波）如图， BD 是平行四边形 ABCD 的对角线，点 E、F 在 BD 上，要使四边形 AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是 BE=DF （填一个即可）考点： 平行四边形的判定。368876 专题： 开放型。分析： 要使四边形 AECF 也是平行四边形，可增加一个条件：BE=DF解答： 解：使四边形 AECF 也是平行四边形，则要证四边形的两组对边相等，或两组对边分别平行，如果 BE=DF，则有：
13、ADBC，ADF=CBE，AD=BC，BE=DF，ADFBCE，CE=AF，同理，ABECFD，CF=AE，四边形 AECF 是平行四边形故答案为：BE=DF点评： 本题考查了平行四边形的判定，是开放题，答案不唯一，本题利用了平行四边形和性质，通过证ADF BCE，ABECFD ，得到 CE=AF，CF=AE 利用两组对边分别相等来判定平行四边形3如图，已知矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 O，AE BD 于 E，若 AB=6，AD=8 ，则AE= 4.8 考点： 矩形的性质。368876 专题： 计算题。7分析： 矩形各内角为直角，在直角ABD 中，已知 AB、AD，根据勾股定
14、理即可求 BD 的值，根据面积法即可计算 AE 的长解答： 解：矩形各内角为直角，ABD 为直角三角形在直角ABD 中，AB=6 ，AD=8则 BD= =10，ABD 的面积 S= ABAD= BDAE，AE= =4.8故答案为 4.8点评： 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了三角形面积的计算，本题中根据勾股定理求 BD 的值是解题的关键4如图，以ABC 的三边为边在 BC 的同一侧分别作三个等边三角形，即ABD、BCE、ACF（1）四边形 ADEF 是 平行四边形 ；（2）当ABC 满足条件 AB=AC 时，四边形 ADEF 为菱形；（3）当ABC 满足条件 AB=AC=BC 时
15、，四边形 ADEF 不存在考点： 等边三角形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定。368876 专题： 证明题。分析： （1）先证明ABC DBE， ABCFEC，则 DE=AC=AF，FE=AB=AD ，则四边形ADEF 是个平行四边形；（2）当 AB=AC 时，四边形 ADEF 为菱形；（3）当 AB=AC=BC 时，四边形 ADEF 不存在解答： 解：（1）四边形 ADEF 是个平行四边形在 ABC 和DBE 中，BC=BE，BA=BD，DBE=ABC（与ABE 之和都等于 60） ，ABCDBE，DE=AC，在ABC 和FEC 中，BC=EC，CA=CF， ACB=FCE（都为 60角
16、与= ACE 之和） ，ABCFEC，FE=AB，DE=AC=AF， FE=AB=AD，四边形 ADEF 是个平行四边形；（2）当ABC 为等腰三角形并且不是等边三角形时，即 AB=AC 时，8由第（1）题中可知四边形 ADEF 的四边都相等，此时四边形 ADEF 是菱形；（3）当ABC 为等边三角形时，即 AB=AC=BC 时，四边形 ADEF 中的 A 点与 E 点重合，此时以 A、D、E、F 为顶点的四边形不存在点评： 本题考查了平行四边形、菱形的判定以及等边三角形的性质5已知一个三角形的一边长为 2，这边上的中线为 1，另两边之和为 1+ ，则这两边之积为 考点： 勾股定理的逆定理；勾
17、股定理。368876 专题： 探究型。分析： 先根据三角形的一边长为 2，这边上的中线为 1 判断出此三角形是直角三角形，在设另两边分别为 x、y 两用完全平方公式可用 x2+y2 表示出 xy 的值，再由勾股定理即可求出 x2+y2，进而可求出 xy 的值解答： 解： 三角形的一边长为 2，这边上的中线为 1，可知这边上的中线等于这条边的一半，此三角形是个直角三角形，斜边为 2，设另两边分别为 x、y，两边之和 x+y=1+ ，（ x+y） 2=（1+ ） 2=4+2 ，xy=2+ ，又 直角三角形两直角边的平方等于斜边的平方，x2+y2=4，xy=2+ 2= 故答案为： 点评： 本题考查的
18、是勾股定理的逆定理及勾股定理，根据已知条件判断出三角形的形状是解答此题的关键，解答此题时不要根据另两边之和为 1+ 即可盲目的设一边为 1，另一边为 6如图所示，在平行四边形 ABCD 中，EFBC ，GHAB，EF、GH 的交点 P 在 BD 上，图中有 5 对四边形面积相等；它们是 AEPG 与PHCF、EFCB 与ABHG、GHCD 与EFDA、梯形ABPG 与梯形 BCFP、四边形 PHCD 与四边形 AEPD 考点： 平行四边形的性质。368876 分析： 由题意可证四边形 EPHB 为平行四边形，再根据平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，从而求解解答： 解： EFBC，GH
19、AB，9四边形 EPBH 为平行四边形，BP 为平行四边形 EPBH 的对角线，EBP 与BHP 的面积相等，BD 为平行四边形 ABCD 的对角线，ABD 与BCD 面积相等，PD 为平行四边形 PFDG 的对角线，GPD 与PFD 面积相等，AEPG 与PHCF 面积相等；EFCB 与ABHG 面积相等；GHCD 与EFDA 面积相等、梯形 ABPG 与梯形 BCFP、梯形 PHCD 与梯形 AEPD共 5 对，故答案为：5，AEPG 与PHCF 、EFCB 与ABHG、GHCD 与EFDA、梯形 ABPG 与梯形 BCFP、梯形 PHCD 与梯形 AEPD点评： 此题主要考查平行四边形的
20、性质及其面积公式，比较简单7如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 O， AOB 的周长为 3+ ，ABC=60 ，则菱形ABCD 的面积为 考点： 菱形的性质；勾股定理。368876 专题： 计算题。分析： 根据ABC=60 可以求得 ABO=30，即 AB=2AO，设 AO=x，则 AB=2x，根据勾股定理即可求得 OB= x，求得 x 的值即可求得 AC，BD 的长度，即可计算菱形 ABCD 的面积解答： 解：菱形对角线即角平分线ABC=60可以求得 ABO=30，即 AB=2AO，设 AO=x，则 AB=2x，则 OB= = x，即（3+ ）x=3+即 x=1，菱形的对角线
21、长为 2、2 ，故菱形 ABCD 的面积为 S= 22 =2 故答案为 2 点评： 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形对角线互相垂直且平分一组对角的性质，本题中根据勾股定理求 x 的值是解题的关键8如图，矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，AE 平分 BAD，交 BC 于 E，若EAO=15 ，则BOE 的度数为 75 度10考点： 矩形的性质；等边三角形的判定与性质。368876 专题： 计算题。分析： 根据矩形的性质可得BOA 为等边三角形，得出 BA=BO，又因为 BAE 为等腰直角三角形，BA=BE，由此关系可求出 BOE 的度数解答： 解： AE 平分BAD，BAE=EAD=45，又知EAO=15，OAB=60，OA=OB，BOA 为等边三角形，BA=BO，BAE=45， ABC=90，BAE 为等腰直角三角形，BA=BEBE=BO，EBO=30，BOE=BEO，此时BOE=75故答案为 75点评： 此题综合考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、矩形的性质等知识点9如图，矩形 ABCD 中，AB=8，BC=4 ，将矩形沿 AC 折叠，点 D 落在点 D处，则重叠部分AFC 的面积为 10 考点： 勾股定理；全等三角形的判定与性质。368876
