1、第三章 消费者的选择 1. 已知一件衬衫的价格为 80 元，一份肯德基快餐的价格为 20 元，在某消费者关于这两种商品的效用最大化的均衡点上，一份肯德基快餐对衬衫的边际替代率 MRS 是多少？解答：用 X 表示肯德基快餐的份数；Y 表示衬衫的件数；MRS XY表示在维持效用水平不变的前提下，消费者增加一份肯德基快餐消费时所需要放弃的衬衫的消费数量。在该消费者实现关于这两种商品的效用最大化时，在均衡点上有边际替代率等于价格比，则有：20184XXYYPMRS它表明，在效用最大化的均衡点上，该消费者关于一份肯德基快餐对衬衫的边际替代率 MRS 为 0.25。2. 假设某消费者的均衡如图教材中第 9
2、6 页的图 322 所示。其中，横轴 OX1 和纵轴OX2 分别表示商品 1 和商品 2 的数量，线段 AB 为消费者的预算线，曲线 U 为消费者的无差异曲线，E 点为效用最大化的均衡点。已知商品 1 的价格 P12 元。(1)求消费者的收入；(2)求商品 2 的价格 P2；(3)写出预算线方程；(4)求预算线的斜率；(5)求 E 点的 MRS12 的值。解答：(1)横轴截距表示消费者的收入全部购买商品 1 的数量为 30 单位，且已知P12 元，所以，消费者的收入 M2 元3060 元。(2)图中纵轴截距表示消费者的收入全部购买商品 2 的数量为 20 单位，且由(1) 已知收入 M 60
3、元，所以，商品 2 的价格 P2 3（元） 。M20 6020(3)由于预算线方程的一般形式为 P 1X1P 2X2M所以本题预算线方程具体写为：2X 13X 260。(4)将(3)中的预算线方程进一步整理为 X2 X120。很清楚，预算线的斜率为 。23 23(5)在消费者效用最大化的均衡点 E 上，有 ，即无差异曲线斜率212PRS的绝对值即 MRS 等于预算线斜率的绝对值 。因此，MRS 12 。P1P2 P1P2 233.请画出以下各位消费者对两种商品(咖啡和热茶) 的无差异曲线，同时请对 (2)和(3)分别写出消费者 B 和消费者 C 的效用函数。(1)消费者 A 喜欢喝咖啡，但对喝
4、热茶无所谓。他总是喜欢有更多杯的咖啡，而从不在意有多少杯热茶。(2)消费者 B 喜欢一杯咖啡和一杯热茶一起喝，他从来不喜欢单独喝咖啡，或者单独喝热茶。(3)消费者 C 认为，在任何情况下，1 杯咖啡和 2 杯热茶是无差异的。(4)消费者 D 喜欢喝热茶，但不喜欢喝咖啡。解答：（1）根据题意，对消费者而言，热茶是中性商品，因此，热茶的消费数量不会影响消费者的效用水平。消费者的无差异曲线见图（）,箭头均表示效用水平增加的方向。 (2)根据题意，对消费者而言，咖啡和热茶是完全互补品，其效用函数是。消费者的无差异曲线见图（） 。12U=minx、（3）根据题意，对消费者 c 而言，咖啡和热茶是完全替代
5、品，其效用函数是。消费者的无差异曲线见图（） 。12（4 ）根据题意，对消费者 D 而言，咖啡是厌恶品。消费者 D 的无差异曲线图（d） 。,关于咖啡和热茶的不同消费者的无差异曲线4.对消费者实行补助有两种方法：一种是发给消费者一定数量的实物补助，另一种是发给消费者一笔现金补助，这笔现金额等于按实物补助折算的货币量。试用无差异曲线分析法，说明哪一种补助方法能给消费者带来更大的效用。 解答：一般说来，发给消费者现金补助会使消费者获得更大的效用。其原因在于：在现金补助的情况下，消费者可以按照自己的偏好来购买商品，以获得尽可能大的效用。如图所示。在图中，直线 AB 是按实物补助折算的货币量等于现金补
6、助情况下的预算线。在现金补助的预算线 AB 上，消费者根据自己的偏好选择商品 1 和商品 2 的购买量分别为 x 和*1x ，从而实现了最大的效用水平 U2，即在图 33 中表现为预算线 AB 和无差异曲线 U2*2相切的均衡点 E。在实物补助的情况下，则通常不会达到最大的效用水平 U2。因为，譬如，当实物补助两商品数量分别为 x11、x 21 的 F 点，或者为两商品数量分别为 x12 和 x22 的 G 点时，则消费者获得无差异曲线 U1 所表示的效用水平，显然， U1U2。5. 已知某消费者每年用于商品 1 和商品 2 的收入为 540 元，两商品的价格分别为P1=20 元和 P2=30
7、 元，该消费者的效用函数为 U=3X1X ，该消费者每年购买这两种商品的数量各应是多少？每年从中获得总效用是多少？解答： 2121236MUX把已知条件和 值带入下面均衡条件12U， 12PM得方程组：212360540X解方程得，X 1=9，X 2=12, U=3X1X =38882 26. 假设某商品市场上只有 A、B 两个消费者，他们的需求函数各自为 Q 204P 和dAQ 30 5P。dB(1)列出这两个消费者的需求表和市场需求表。(2)根据(1)，画出这两个消费者的需求曲线和市场需求曲线。解答：(1)由消费者 A 和 B 的需求函数可编制消费 A 和 B 的需求表。至于市场的需求表的
8、编制可以使用两种方法，一种方法是利用已得到消费者 A、B 的需求表，将每一价格水平上两个消费者的需求数量加总来编制市场需求表；另一种方法是先将消费者 A 和 B 的需求函数加总来求得市场需求函数，即市场需求函数 Qd Q Q (204P) (305P)dA dB509P ， 然后运用所得到的市场需求函数 Qd509 P 来编制市场需求表。按以上方法编制的需求表如下所示。P A 的需求量 QdA A 的需求量 QdB 市场需求量 Q + QdA dB0 20 30 501 16 25 412 12 20 323 8 15 234 4 10 145 0 5 56 0 0(2)由(1)中的 3 张需
9、求表，所画出的消费者 A 和 B 各自的需求曲线以及市场的需求曲线如图 34 所示。在此，需要特别指出的是，市场需求曲线有一个折点，该点发生在价格 P5 和需求量 Qd5 的坐标点位置。关于市场需求曲线的这一特征，可以从两个角度来解释：一个角度是从图形来理解，市场需求曲线是市场上单个消费者需求曲线的水平加总，即在 P5的范围，市场需求曲线由两个消费者需求曲线水平加总得到；而当 P5 时，只有消费者B 的需求曲线发生作用，所以，P5 时，B 的需求曲线就是市场需求曲线。另一个角度是从需求函数看，在 P5 的范围，市场需求函数 QdQ Q (204P)(30 5P)dA dB509P 成立；而当
10、P5 时，只有消费者 B 的需求函数才构成市场需求函数，即Qd305P。市场需求函数是：Q =市场需求曲线为折线，在折点左，只有 B 消费者的需求量；在折点右边，是 AB 两个消费者的需求量。7.假定某消费者的效用函数为 ，两商品的价格分别为 P1，P 2，消费者的收85231XU入为 M。分别求该消费者关于商品 1 和商品 2 的需求函数。解：根据消费者效用最大化的均衡条件： ，其中，由已知的效用函数21M0 P6305P 5P 6509P 0P 5可得： ，85231XU852113XdTUM832125XdTUM于是，整理得： 即有 （1）,521P2P以（1）式代入约束条件 ，有，X2
11、1 PX21135解得： ，代入（1）式得183PMX285PM所以，该消费者关于两商品的需求函数为 ，13X285P8.令某消费者的收入为 M，两商品的价格为 P1、P 2。假定该消费者的无差异曲线是线性的，且斜率为-a。求：该消费者的最优商品组合。解：预算线方程为 ，其斜率为 ，12PX12由消费者的无差异曲线是线性的，且斜率为-a 可知： 1122MURSa该消费者的最优商品组合有以下三种情况，其中第一、二种情况属于边角解。（1）如果 ，如图 1，这时，效用最大化的均衡点位于横轴，它表示此时的最优12Pa解是一个边角解，预算线和无差异曲线的交点。最优的商品组合 ， 全部210,MXP支出
12、都购买横轴代表的商品。该效用水平在图中用以实线表示的无差异曲线标出。显然，该效用水平高于在既定的预算线上的其他任何一个商品组合所能达到的效用水平。（2）如果 ，如图 2，这时，效用最大化的均衡点位于纵轴，它表示此时的最优12Pa解是一个边角解，预算线和无差异曲线的交点。最优的商品组合 ， 全120,MXP部支出都购买纵轴代表的商品。该效用水平在图中用以实线表示的无差异曲线标出。显然，该效用水平高于在既定的预算线上的其他任何一个商品组合所能达到的效用水平。（3）如果 ，无差异曲线与预算线重叠，效用最大化的均衡点可以是预算线上任12Pa何一点的商品组合。此时所达到的最大效用水平在图中用以实线表示的
13、无差异曲线标出。9.假定某消费者的效 用函数为 ，其0.53UqM中， 为某商品的消费量，M 为收入。求： （1）该消费者的需求函数；q（2）该消费者的反需求函数；（3）当 时的消费者剩余。,42pq解：（1）商品的边际效用为 ，货币的边际效用为0.5Uq 3UM为实现消费者均衡， ，则， ，即消费者的需求函数0.53Mpp216p（2）根据需求函数 ，可得反需求函数2136qq（3）消费者剩余142043CSd401310. 设某消费者的效用函数为柯布道格拉斯类型的，即 ，商品 x 和商品 yyxU的价格分别为 Px 和 Py，消费者的收入为 M， 和 为常数，且 。1（1 ）求该消费者关于
14、商品 x 和商品 y 的需求函数。（2 ）证明当商品 x 和商品 y 的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，消费者对两商品的需求量维持不变。（3 ）证明消费者效用函数中的参数 和 分别为商品 x 和商品 y 的消费支出占消费者收入的份额。解：（1）由消费者的效用函数 ，算得：yxU1yxUMyx消费者的预算约束方程为 MyPxX根据消费者效用最大化的均衡条件 ，代入已知条件，解方程组得：yxUXx，即分别为消费者关于商品 x 和商品 y 的需求函数。/xyPM，（2）商品 x 和商品 y 的价格以及消费者的收入同时变动一个比例，相当于消费者的预算线变为 ，其中 为一非零常数。此时消费者效用
15、最大化的均衡条件为 ，由于 ，故该方程组化为MyPxUXx0，显然，当商品 x 和商品 y 的价格以及消费者的收入同时变动一个比例MyPxUXx时，消费者对两商品的需求关系维持不变。（3）由消费者的需求函数可得： ，式中参数 为商品 x 的/xyPM， 消费支出占消费者收入的份额和参数 为商品 y 的消费支出占消费者收入的份额。11假定肉肠和面包是完全互补品。人们通常以一根肉肠和一个面包卷为比率做一个热狗，并且已知一根肉肠的价格等于一个面包卷的价格。（1 ）求肉肠的需求的价格弹性。（2 ）求面包卷对肉肠的需求的交叉弹性。（3 ）如果肉肠的价格是面包卷的价格的两倍，那么肉肠的需求的价格弹性和面包
16、卷对肉肠的需求的交叉弹性各是多少？（1）令肉肠的需求为 X，面包卷的需求为 Y，相应的价格为 Px、P Y ，且有 Px=PY该题目的效用论最大化问题可以写为： maxU(X，Y)=min(X，Y)s.t.PxX+PYY=M解上述方程有：X=Y= 1=2XXYMPP由此可得肉肠的需求的价格弹性为： e dx=- 21XXPM（ ）(2)面包对肉肠的需求交叉弹性为：e xy= PY21X（ ）(3)maxU(X，Y)=min(X，Y)s.t.PxX+PYY=M如果 Px=2PY,X=Y, 解上述方程有：X=Y= 12=3XXYXMPP可得肉肠的需求价格弹性为：e dx= 21X（ ）面包对肉肠的
17、需求交叉弹性为：e yx= XPY213XPM（ ）12.已知某消费者的效用函数为 UX 1X2，两商品的价格分别为 P14，P 22，消费者的收入是 M80。现在假定商品 1 的价格下降为 P12。求：(1)由商品 1 的价格 P1 下降所导致的总效应，使得该消费者对商品 1 的购买量发生多少变化？(2)由商品 1 的价格 P1 下降所导致的替代效应，使得该消费者对商品 1 的购买量发生多少变化？ (3)由商品 1 的价格 P1 下降所导致的收入效应，使得该消费者对商品 1 的购买量发生多少变化？ 解答：利用图解答此题。在图中，当 P14，P 22 时，消费者的预算线为 AB，效用最大化的均
18、衡点为 a。当 P12，P 22 时，消费者的预算线为 AB，效用最大化的均衡点为 b。图 37（1）先考虑均衡点 a。根据效用最大化的均衡条件12MUPX得： 解得: X 220 ,X 11021480X最优效用水平为 U 1X 1X21020 200再考虑均衡点 b。当商品 1 的价格下降为 P12 时，与上面同理，根据效用最大化的均衡条件得： 解得: X 2=X1202180从 a 点到 b 点商品 1 的数量变化为 X1201010，这就是 P1 变化引起的商品 1 消费量变化的总效应。(2)为了分析替代效应，作一条平行于预算线 AB且相切于无差异曲线 U1 的补偿预算线FG，切点为
19、c 点。在均衡点 c，总效用保持不变，同时满足边际效用均等法则，X 1，X 2 满足即 120MUPT120XTU有 X1X 2。将 X1X 2 代入效用约束等式 U1X 1X2200，解得 X1X 21014， 从 a 点到 c 点的商品 1 的数量变化为 X110104，这就是 P1 变化引起的商品 1 消费量变化的替代效应。(3)至此可得，从 c 点到 b 点的商品 1 的数量变化为 X120106，这就是 P1 变化引起的商品 1 消费量变化的收入效应。13.某消费者是一个风险回避者，他面临是否参与一场赌博的选择：如果他参与这场赌博，他将以 5%的概率获得 10 000 元，以 95%
20、的概率获得 10 元；如果他不参与这场赌博，他将拥有 509.5 元。那么，他会参与这场赌博吗？为什么？解答：该风险回避的消费者不会参与这场赌博。因为如果该消费者不参与这场赌博，那么，在无风险条件下，他可拥有一笔确定的货币财富量 509.5 元，其数额刚好等于风险条件下的财富量的期望值 10 0005%1095%509.5 元。由于他是一个风险回避者，所以在他看来，作为无风险条件下的一笔确定收入 509.5 元的效用水平，一定大于风险条件下这场赌博所带来的期望效用。14. 基数效用论者是如何推导需求曲线的？答： 基数效用论通过边际效用递减规律及消费者效用最大化的均衡条件来推导需求曲线。基数效用
21、论认为，消费者对某种商品愿意支付的需求价格取决于其边际效用。商品的边际效用越大，消费者为购买一单位该商品所愿意支付的价格就越高，反之就越低。由于边际效应递减规律的作用，随着消费者对同一件商品消费量的连续增加，该商品的边际效用是递减的，相应地，消费者愿意支付的价格也随之降低，因此，商品价格和其需求量之间呈反方向变动关系，即需求曲线是向右下方倾斜的。根据消费者均衡条件分析。消费者均衡条件为：MU/P=。它表示消费者最优购买选择应使最后一元货币购买商品所带来的边际效用应和一元货币的边际效用相等。该等式表明，随着同一种商品购买量的增加，由于其边际效用 MU 是递减的，在货币的边际效用 不变的前提下，商
22、品需求价格 P 同比例于 MU 的递减而下降，MU 递减对应 Q 增加。15. 用图说明序数效用论者对消费者均衡条件的分析，以及在此基础上对需求曲线的推导。解答：要点如下：(1) 序数效用论用无差异曲线和预算线分析消费者均衡。无差异曲线是用来表示消费者偏好相同的两种商品的全部组合点的轨迹，其斜率的绝对值可以用商品的边际替代率MRS 来表示。如图，若用横轴表示 X1，纵轴表示 X2，MRS= ，预算线表示在消费者21收入和商品价格给定的条件下，消费者全部收入所能购买到的两种商品的全部组合，其斜率为 。12P消费者效用最大化的均衡点发生在一条给定的预算线与无数条无差异曲线中的一条相切的切点上，于是
23、，消费者效用最大化的均衡条件为：均衡点在预算线上，商品数量组合满足预算线方程、无差异曲线和预算线斜率相等，即：序数效用论消费者均衡条件是：211XPMRSP(2) 序数效用论使用价格消费曲线（P.C.C.）推导需求曲线，价格消费曲线是在其他条件不变的前提下，与某一种商品的不同价格水平相联系的消费者效用最大化的均衡点的轨迹。令一种商品的价格发生变化，预算线发生变化，形成一系列新的消费者消费的均衡点，把这些均衡的链接成线，便可以得到该商品的价格消费曲线。在得到价格消费曲线的基础上，将一种商品的不同价格水平和相应的最优需求量之间的一一对应关系描绘在同一坐标平面上，就可以得到需求曲线。显然，需求曲线一
24、般斜率为负，向右下方倾斜,表示商品的价格和需求量成反方向变化；而且，在需求曲线上与每一价格水平相对应的需求量都是在该价格水平上给消费者带来最大效用的最优消费数量。16. 分别用图分析正常物品、低档物品和吉芬物品的替代效应和收入效应，并进一步说明这三类物品的需求曲线的特征。解答：要点如下：(1)当一种商品的价格发生变化时所引起的该商品需求量的变化可以分解为两个部分，它们分别是替代效应和收入效应。替代效应是指仅考虑商品相对价格变化所导致的该商品需求量的变化，而不考虑实际收入水平(即效用水平不变)变化对需求量的影响。收入效应则相反，它仅考虑实际收入水平( 即效用水平) 变化导致的该商品需求量的变化，而不考虑相对价格变化对需求量的影响。无论是分析正常物品还是低档物品，甚至吉芬物品的替代效应和收入效应，都需要运用的一个重要分析工具即补偿预算线。（2）正常物品的替代效应和收入效应。图中，初始的消费者效用最大化的均衡点为 a点，相应的正常物品的需求为 x11。价格 P1 下降以后的效用最大化的均衡点为 b 点，相应的需求量为 x12。即 P1 下降的总效应为 x11x12，且为增加量，故有总效应与价格成反方向变化。
