1、水尾中学中考专项训练（压轴题）答案1 （四川模拟）如图，RtABC 内接于O ，ACB90，AC 2 ，BC 1以 AC 为一3边，在 AC 的右侧作等边ACD ，连接 BD，交O 于点 E，连接 AE，求 BD 和 AE 的长解：过 D 作 DFBC，交 BC 的延长线于 FACD 是等边三角形ADCDAC2 ，ACD603ACB90，ACF90DCF30，DF CD ，CF DF312 3 3BFBCCF134BD BF 2 DF 2 16 3 19AC2 ，BC1，AB 3 AC 2 BC 2 13BEDE BD， BDAB 2 AE 2 AD 2 AE 2即 13 AE 2 12 AE
2、 2 19 13 AE 2 19 12 AE 2两边平方得：13AE 21912AE 22 19(12 AE 2)整理得： 9，解得 AE 19(12 AE 2)719572 （四川模拟）已知 RtABC 中，ACB90，B60，D 为ABC 外接圆O 上 的中点AC （1）如图 1，P 为 的中点，求证：PAPC PD；ABC 3（2）如图 2，P 为 上任意一点， （1）中的结论还成立吗？请说明理由ABC （1）证明：连接 ADD 为 的中点，P 为 的中点AC ABC PD 为O 的直径，PAD90ABDCEOABDCEOFDAPOC B图 1DAPOC B图 2B60 ，APC60D
3、为 的中点，APDCPD30AC PAPD cos30 PDP 为 的中点，PA PCABC PAPC PD3（2）成立理由如下：延长 PA 到 E，使 EAPC，连接 DE、AD 、DC则EADPAD180PCDPAD180EADPCDD 为 的中点， AC AD CD ADCDEADPCD，ED PD过 D 作 DHPE 于 H由（1）知，APD30PHPD cos30 PD，PE2PH PD3PAEAPE，PA PC PD33 （湖北模拟）如图，AB 是 O 的直径，PA、PC 分别切 O 于 A、C ，CDAB 于D，PB 交 CD 于 E（1）求证：CEDE；（2）若 AB6，APC
4、 120，求图中阴影部分的面积（1）证明：连接 OP、OC、 BCPA、PC 是 O 的切线PAPC， PAOPCO90又 POPO ，RtPAORtPCOPOAPOC，AOC2POA又AOC2ABC，POAABC又PAOCDB90， PAOCDB PACD OABDPAB EDB90，PBAEBDPAB EDB， PAED BABDDAPOC BDAPOC BE HCA BD OP ECA BD OP EAB2OA ， PAED 2OABD 2PACDCD 2ED，CEDE（2）解：APC120，PAOPCO90AOC60，DCO30AB6，OAOC 3ODOC sin30 ，CD OC c
5、os30 32S 阴影 S 扇形 AOC SDOC 603 2360 12 32 324（上海模拟）如图，O 的半径为 6，线段 AB 与O 相交于点C、D，AC4，BODA，OB 与O 相交于点 E，设 OAx，CDy（1）求 BD 的长；（2）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域；（3）当 CEOD 时，求 AO 的长解：（1）OCOD，OCDODC ，OCAODBBOD A，OBD AOC， BDOC ODACOCOD6，AC4， ，BD9BD6 64（2）OBDAOC， AOCB又AA，ACOAOB， ABAO AOACABACCDBDy 13 ， y 13x x4y x 21
6、3140y 8，0 x 213 12，解得 2 x 1014 13定义域为 2 x 1013（3）OCOE，CEODCODBODAAOD 180AODC180CODOCD ADOADAO ，y 4x ， x 2134x14x22 （舍去负值）10AO22 10A BDCEOA BDCEO5 （北京模拟）如图，抛物线 y x 22x 与 x 轴负半轴交于点 A，顶点为 B，且对称轴与2mx 轴交于点 C（1）求点 B 的坐标（用含 m 的代数式表示） ；（2）D 为 BO 中点，直线 AD 交 y 轴于 E，若点 E 的坐标为（0，2） ，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点 M 在直线
7、 BO 上，且使得 AMC 的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线 BC 上，若以 A、M、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的坐标解：（1）y x 22x ( x m )2 m2m 2m 12 12抛物线的顶点 B 的坐标为（ m， m）12 12（2）令 x 22x 0，解得 x10，x 2m2m抛物线 y x 22x 与 x 轴负半轴交于点 A2mA（m，0）且 m0.过点 D 作 DFx 轴于 F由 D 为 BO 中点，DFBC，可得 CFFO CO12D BC12由抛物线的对称性得 ACOC， AFAO 34DFEO ，ADF AEO， DFEO AFAO由 E（0，2）
8、 ，B（ m， m） ，得 OE2，DF m12 12 14 ，m634抛物线的解析式为 y x 22x13ABCDOyxEABC Oyx备用图AC1BCMOyxABCDOyxEF（3）依题意，得 A（6，0） ，B（3，3） ，C （3，0）可得直线 OB 的解析式为 yx，直线 BC 为 x3作点 C 关于直线 BO 的对称点 C1（0，3） ，连接 AC1 交 BO 于 M，则 M 即为所求由 A（6，0） ，C 1（0，3） ，可得直线 AC1 的解析式为 y x312由 解得 点 M 的坐标为（2，2）由点 P 在抛物线 y x 22x 上，设 P（t， t 22t）13 13当 A
9、M 为平行四边形的一边时如右图，过 M 作 MGx 轴于 G，过 P 作 PHBC 于 H则 xGx M 2，x H x B 3可证AMGPQH，得 PHAG4t(3)4，t1P 1（1， ）73如右图，同理可得 PHAG43t4，t7P 2（7， ）73当 AM 为平行四边形的对角线时如右图，过 M 作 MHBC 于 H，过 P 作 PGx 轴于 G则 xH x B 3，x G x P t可证APGMQH ，得 AGMH1t(6)1，t5P 3（5， ）53综上，点 P 的坐标为 P1（1， ） ，P 2（7， ） ，P 3（5， ）73 73 536 （上海模拟）已知：如图，直线 yx15
10、 与 x 轴、y 轴分别相交于点 A 和点 B，抛物线y x 2bx c 经过 A、B 两点13（1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线的顶点为点 D，与 x 轴的另一个交点为点 C，对称轴与 x 轴交于点 H，求DAC 的面积；（3）若点 E 是线段 AD 的中点， CE 与 DH 交于点 G，点 P 在 y 轴的正半轴上，POH 是否能够与 CGH 相似？如果能，请求出点P 的坐标；如果不能，请说明理由AC1BCH MOPGyxQAC1BCHMOPGyxQAC1BCHMOPGyxQyBA xO解：（1）由题意，得 A（15，0） ，B（0，15）抛物线 y x 2bx c 经过 A、B
11、两点13 解得 抛物线的解析式为 y x 26x 1513（2）y x 26x 15 ( x9) 21213 13顶点 D 的坐标为（9，12）设 y0，则 ( x9) 212 013( x9) 236，x 13，x 215C（3，0） ，AC15312S DAC ACDH 12127212 12（3）点 E 是线段 AD 的中点，点 H 是线段 AC 的中点点 G 是DAC 的重心.， GH DH413若 ，则HPO CGHPOGH OHCH ，PO6PO4 96P 1（0，6）若 ，则PHO CGHPOCH OHGH ，PO PO6 94 272P 2（0， ）272POH 能够与 CGH
12、 相似，此时点 P 的坐标为 P1（0，6）或 P2（0， ）2727 （四川成都）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y xm（m 为常数）的图54yBA xOP1P2 OEGHC象与 x 轴交于点 A（3，0） ，与 y 轴交于点 C以直线 x1 为对称轴的抛物线 yax 2bxc（a，b，c 为常数，且 a0）经过 A，C 两点，并与 x 轴的正半轴交于点 B（1）求 m 的值及抛物线的函数表达式；（2）设 E 是 y 轴右侧抛物线上一点，过点 E 作直线 AC 的平行线交 x 轴于点 F是否存在这样的点 E，使得以 A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点
13、E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若 P 是抛物线对称轴上使ACP 的周长取得最小值的点，过点 P 任意作一条与 y 轴不平行的直线交抛物线于 M1（x 1，y 1） ，M 2（x 2，y 2）两点，试探究 是否为定值，M1PM2PM1M2并写出探究过程解：（1）一次函数 y xm 的图象与 x 轴交于点 A（3，0）54 ( 3 )m0，解得 m 54 154点 C 的坐标是（0， ）154抛物线 yax 2bx c 经过 A，C 两点，且对称轴为直线 x1 解得 抛物线的函数表达式为 y x 2 x 14 12 154（2）假设存在点 E，使得以 A，C ，E
14、，F 为顶点的四边形是平行四边形（）当 CEAF 时，点 E 在 x 轴上方，y E y C 154由 x 2 x ，解得 x10（舍去） ，x 2214 12 154 154E 1（2， ） ，此时 S ACE1F1 2 154 154 152（）当 AECF 时，点 E 在 x 轴下方，y E y C 154由 x 2 x ，解得 x11 ，x 21 （舍去）14 12 154 154 31 31OA B xyCx1OAB xyCx1F1E1E2F2HE 2（1 ， ）31154过 E2 作 E2H x 轴于 H，则 E2HF2COAHF 2AO 3，AF 27 31S ACF2E22S
15、ACF2AF 2CO 综上所述，存在符合条件的点 E1（2， ） ，E 2（1 ， ） ，使得以 A，C，E，F 为顶154 31 154点的四边形是平行四边形，相应的面积分别是 ，152（3）方法一：A，B 两点关于抛物线的对称轴 x1 对称APCPBPCP BC当 C、P、B 三点在一条直线上时，ACP 的周长取得最小值此时点 P 的坐标为（1，3）分别过点 M1，M 2 作直线 x 1 的垂线，垂足为 N1，N 2在 Rt M1PN1 中，由勾股定理得M1P 2M 1N12 PN12( x11 )2( y13 )2 y 1 x12 x1 ( x11 )2414 12 154 14即( x
16、11 )24( 4y 1 )，将其代入 ，得 M1P 2( 5y 1 )2M 1P5y 1 （y 15）同理 M2P5 y2 由 M1N1M 2N2，得M 1PN1M 2PN2 ，即 M1PM2P N1PN2P 5 y15 y2 3 y1y2 3整理得 y1y24( y1 y2 )15 1M1PM2PM1M2 (5 y1)(5 y2)(5 y1) (5 y2) y1y2 5(y1 y2) 2510 (y1y2)故 是定值，其值为 1M1PM2PM1M2方法二：同方法一得点 P 的坐标为（1，3）设过点 P 的直线表达式为 y kx3k联立 消去 y，整理得 x 2( 4k2 )x( 4k3 )
17、0x 1x 224k ，x 1x2( 4k3 )由 y1kx 13k ，y 2kx 23 k，得 y1y 2k ( x1x 2 )M 1P 2M2P 2( x11 )2( y13 )2( x21 )2( y23 )2( x11 )2k 2( x11 )2( x21 )2k 2( x21 )2( k 21 )2( x11 )2( x21 )2( k 21 )2( x1x2x 1x 21 )216( k 21 )2M1M22( x1x 2 )2( y1y 2 )2( k 21 )( x1x 2 )2OAB xyCx1M1 N1M2N2( k 21 )( x1x 2 )24x 1x216( k 21
18、 )2M 1P 2M2P 2M 1M22，即 M1PM2PM 1M2故 是定值，其值为 1M1PM2PM1M28（四川雅安）在直角坐标系中，已知抛物线 yax 2bxc 与 x 轴交于点 A（1，0）和点B，顶点为 P（1）若点 P 的坐标为（1，4） ，求此时抛物线的解析式；（2）若点 P 的坐标为（1，k） ，k 0，点 Q 是 y 轴上一个动点，当 k 为何值时，QBQP 取得最小值 5；（3）试求满足（2）时动点 Q 的坐标解：（1）由题意，设抛物线的解析式为 ya( x1 )24将 A（1，0）代入上式，得 a1抛物线的解析式为 y( x1 )24（2）作点 P（1，k ）关于 y
19、轴的对称点 P（1，k ）QPQP 抛物线顶点为 P（1，k ） ，抛物线的对称轴为 x1抛物线与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B，B （3，0）若 QBQP 最小，即 QBQP 最小则 B、Q、P 三点共线，即 PB5又 AB134，连接 PA，则 PAABP AB 是直角三角形，P A 35 2 4 2k3（3）由（2）知，BOQ BAP ，即 ，OQ BOBA OQAP 34 OQ3 94动点 Q 的坐标为（0， ）9410 （四川乐山）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（m，m ） ，点 B 的坐标为（n，n） ，抛物线经过 A、O 、B 三点，连接 OA、OB、AB，线段
20、 AB 交 y 轴于点 C已知实数 m、n（mn）分别是方程 x 22x 30 的两根（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 为线段 OB 上的一个动点（不与点 O、B 重合） ，直线 PC 与抛物线交于 D、E两点（点 D 在 y 轴右侧） ，连接 OD、BD 当 OPC 为 等 腰 三 角 形 时 ， 求 点 P 的 坐 标 ；ByQAPO xx 1POExyABDPC 求 BOD 面 积 的 最 大 值 ， 并 写 出 此 时 点 D 的 坐 标 解：（1）解方程 x 22x 30，得 x11，x 23m n，m1，n3A（1，1） ，B（3，3）抛物线过原点，设抛物线的解析式为 yax
21、 2bx 解得 a ，b 12 12抛物线的解析式为 y x 2 x12 12（2）设直线 AB 的解析式为 ykxb 解得 k ，b 12 32直线 AB 的解析式为 y x 12 32C 点坐标为（0， ）32直线 OB 过点 O（0，0） ，B（3，3）直线 OB 的解析式为 yxOPC 为等腰三角形，OCOP 或 OPPC 或 OCPC设 P（x ，x）（i）当 OCOP 时，x 2(x )2 94解得 x1 ，x 2 （舍去） ，P 1（ ， ）（ii）当 OPPC 时，点 P 在线段 OC 的中垂线上，P 2（ ， ）34 34（iii ）当 OCPC 时，x 2( x )2 32 94解得 x1 ，x 20（舍去） ，P 3（ ， ）32 32 32P 点坐标为 P1（ ， ）或 P2（ ， ）或 P3（ ， ）34 34 32 32过点 D 作 DGx 轴，垂足为 G，交 OB 于 Q，过 B 作 BHx 轴，垂足为 H设 Q（x，x） ，则 D（x ， x 2 x）12 12DQ x 2 xx x 2 x12 12 12 32S BOD S ODQ SBDQ DQOG DQGH DQ( OGGH )12 12 12 ( x 2 x )3 ( x )2 12 12 32 34 32 27160x 3OExyABDPC QG H
