1、第 1 页（共 22 页）2017 年上海市松江区高考数学一模试卷一填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 12 题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第 16 题每个空格填对得 4 分，第 712 题每个空格填对得 5 分，否则一律得零分1设集合 M=x|x2=x， N=x|lgx0，则 MN 2已知 a，bR，i 是虚数单位若 a+i=2bi，则（a+bi） 2= 3已知函数 f（x）=a x1 的图象经过（1，1）点，则 f1（3） 4不等式 x|x1|0 的解集为 5已知向量 =（sinx ，cosx） ， =（sinx，sinx ） ，则函数 f（x）= 的最小正周期为
2、 6里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道在由 2 名中国运动员和 6 名外国运动员组成的小组中，2 名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为 7按如图所示的程序框图运算：若输入 x=17，则输出的 x 值是 8设（1+x） n=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn，若 = ，则 n= 9已知圆锥底面半径与球的半径都是 1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是 cm 210设 P（x ，y）是曲线 C： + =1 上的点，F 1（4 ，0） ，F 2（4，0） ，则|PF1|+|PF2|的最大值 = 11已知函数 f（x ）= ，若 F（x）=f（x）
3、kx 在其定义域内有 3 个零点，则实数 k 12已知数列a n满足 a1=1，a 2=3，若|a n+1an|=2n（n N*） ，且a 2n1是递增数第 2 页（共 22 页）列、a 2n是递减数列，则 = 二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分.13已知 a，bR，则“ab0“是“ + 2”的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件14如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 P 在截面 A1DB 上，则线段
4、AP 的最小值等于（ ）A B C D15若矩阵 满足：a 11，a 12，a 21，a 220，1，且 =0，则这样的互不相等的矩阵共有（ ）A2 个 B6 个 C8 个 D10 个16解不等式（ ） xx+ 0 时，可构造函数 f（x）=（ ） xx，由 f（x）在xR 是减函数，及 f（x ） f（1） ，可得 x1用类似的方法可求得不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x30 的解集为（ ）A （0 ，1 B （1，1） C （ 1，1 D （ 1，0）三解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤第 3 页（共
5、22 页）17如图，在正四棱锥 PABCD 中，PA=AB=a，E 是棱 PC 的中点（1）求证：PCBD；（2）求直线 BE 与 PA 所成角的余弦值18已知函数 F（x）= ， （a 为实数） （1）根据 a 的不同取值，讨论函数 y=f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若对任意的 x1，都有 1f（x）3，求 a 的取值范围19上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔 ”兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记 O 点为塔基、P 点为塔尖、点 P 在地面上的射影为点 H在塔身 OP 射影所在直线上选点 A，使仰角 kHAP=45，
6、过 O 点与 OA 成 120的地面上选 B 点，使仰角HPB=45（点 A、B 、O 都在同一水平面上） ，此时测得OAB=27，A与 B 之间距离为 33.6 米试求：（1）塔高（即线段 PH 的长，精确到 0.1 米） ；（2）塔身的倾斜度（即 PO 与 PH 的夹角，精确到 0.1） 20已知双曲线 C： =1 经过点（2，3） ，两条渐近线的夹角为 60，直线第 4 页（共 22 页）l 交双曲线于 A、B 两点（1）求双曲线 C 的方程；（2）若 l 过原点，P 为双曲线上异于 A，B 的一点，且直线 PA、PB 的斜率kPA，k PB 均存在，求证：k PAkPB 为定值；（3）
7、若 l 过双曲线的右焦点 F1，是否存在 x 轴上的点 M（m，0） ，使得直线 l绕点 F1 无论怎样转动，都有 =0 成立？若存在，求出 M 的坐标；若不存在，请说明理由21如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的差都大于 2，则称这个数列为“H 型数列”（1）若数列a n为“H 型数列”，且 a1= 3，a 2= ，a 3=4，求实数 m 的取值范围；（2）是否存在首项为 1 的等差数列a n为“H 型数列”，且其前 n 项和 Sn 满足Snn 2+n（nN *）？若存在，请求出a n的通项公式；若不存在，请说明理由（3）已知等比数列a n的每一项均为正整数，且a n为“H 型数列
8、”，bn= an，c n= ，当数列b n不是“H 型数列 ”时，试判断数列c n是否为“H 型数列”，并说明理由2017 年上海市松江区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 12 题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第 16 题每个空格填对得 4 分，第 712 题每个空格填对得 5 分，否则一律得零分1设集合 M=x|x2=x， N=x|lgx0，则 MN 1 【考点】交集及其运算第 5 页（共 22 页）【分析】先求出集合 M 和 N，由此能求出 MN 【解答】解：集合 M=x|x2=x=0，1，N=x|lgx0 x|0x 1，M N
9、=1故答案为：12已知 a，bR，i 是虚数单位若 a+i=2bi，则（a+bi） 2= 34i 【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由已知等式结合复数相等的条件求得 a，b 的值，则复数 a+bi 可求，然后利用复数代数形式的乘法运算得答案【解答】解：由 a，bR，且 a+i=2bi，得，即 a=2，b=1a +bi=2i（a +bi） 2=（2i ） 2=34i故答案为：34i3已知函数 f（x）=a x1 的图象经过（1，1）点，则 f1（3） 2 【考点】反函数【分析】根据反函数的与原函数的关系，原函数的定义域是反函数的值域可得答案【解答】解：函数 f（x） =ax1 的图象经过（1
10、，1）点，可得：1=a1，解得：a=2f（ x）=2 x1那么：f 1（3）的值即为 2x1=3 时，x 的值第 6 页（共 22 页）由 2x1=3，解得：x=2 f 1（3）=2故答案为 24不等式 x|x1|0 的解集为 （0 ，1）（1，+） 【考点】绝对值不等式的解法【分析】通过讨论 x 的范围，去掉绝对值号，求出不等式的解集即可【解答】解：x|x1|0 ，x0，|x 1|0，故 x10 或 x10，解得：x1 或 0x1，故不等式的解集是（0，1）（1，+） ，故答案为：（0，1）（1，+） 5已知向量 =（sinx ，cosx） ， =（sinx，sinx ） ，则函数 f（x）
11、= 的最小正周期为 【考点】平面向量数量积的运算【分析】由平面向量的坐标运算可得 f（x ） ，再由辅助角公式化积，利用周期公式求得周期【解答】解： =（sinx，cosx） ， =（sinx，sinx ） ，f（ x）= =sin2xsinxcosx= = T= 故答案为：6里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道在由 2 名中国第 7 页（共 22 页）运动员和 6 名外国运动员组成的小组中，2 名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为 【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】先求出基本事件总数 n= ，再求出 2 名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为 m= ，由此能求出 2 名中
12、国运动员恰好抽在相邻泳道的概率【解答】解：里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道在由 2 名中国运动员和 6 名外国运动员组成的小组中，基本事件总数 n= ，2 名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为 m= ，2 名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为 p= = = 故答案为： 7按如图所示的程序框图运算：若输入 x=17，则输出的 x 值是 143 【考点】程序框图【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 x，k 的值，当 x=143 时满足条件 x115，退出循环，输出 x 的值为 143，即可得解【解答】解：模拟程序的运行，可得x=17， k=0执行循环体，x=35，k=
13、1不满足条件 x115，执行循环体，x=71 ，k=2不满足条件 x115，执行循环体，x=143 ，k=3满足条件 x115，退出循环，输出 x 的值为 143故答案为：143第 8 页（共 22 页）8设（1+x） n=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn，若 = ，则 n= 11 【考点】二项式系数的性质【分析】利用二项式定理展开可得：（1+x）n= + x3+=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn，比较系数即可得出【解答】解：（1+x） n= + x3+=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn，又 = ， = ， = ，n 2=9，则 n=11故答案为：119已知圆锥底
14、面半径与球的半径都是 1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是 cm 2【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【分析】由已知求出圆锥的母线长，代入圆锥的侧面积公式，可得答案【解答】解：由题意可知球的体积为： 13= cm3，圆锥的体积为： 12h= hcm3，因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等，所以 = h，所以 h=4cm，圆锥的母线：l= = cm故圆锥的侧面积 S=rl= cm2，故答案为： 10设 P（x ，y）是曲线 C： + =1 上的点，F 1（4 ，0） ，F 2（4，0） ，则|PF1|+|PF2|的最大值 = 10 第 9 页（共 22 页）【考点】
15、曲线与方程【分析】先将曲线方程化简，再根据图形的对称性可知|PF 1|+|PF2|的最大值为10【解答】解：曲线 C 可化为： =1，它表示顶点分别为（5，0） ，（0，3）的平行四边形，根据图形的对称性可知|PF 1|+|PF2|的最大值为 10，当且仅当点 P 为（0，3）时取最大值，故答案为 1011已知函数 f（x ）= ，若 F（x）=f（x）kx 在其定义域内有 3 个零点，则实数 k （0 ， ） 【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】问题转化为 f（x ）和 y=kx 有 3 个交点，画出函数 f（x）和 y=kx 的图象，求出临界值，从而求出 k 的范围即可【解答】解：若
16、F（x）=f（x ） kx 在其定义域内有 3 个零点，即 f（x）和 y=kx 有 3 个交点，画出函数 f（x）和 y=kx 的图象，如图示：，点（2，0）到直线 y=kx 的距离 d= =1，解得：k= ，第 10 页（共 22 页）故：0k ；故答案为：（0， ） 12已知数列a n满足 a1=1，a 2=3，若|a n+1an|=2n（n N*） ，且a 2n1是递增数列、a 2n是递减数列，则 = 【考点】数列的极限【分析】依题意，可求得 a3a2=22，a 4a3=23，a 2na2n1=22n1，累加求和，可得 a2n= 22n，a 2n1=a2n+22n1= + 22n；从而可求得 的值【解答】解：a 1=1，a 2=3，|a n+1an|=2n（nN *） ，a 3a2=22，又a 2n1是递增数列、 a2n是递减数列，a 3a2=4=22；同理可得，a 4a3=23，a5a4=24，a6a5=25，a2n1a2n2=22n2，a2na2n1=22n1，a 2n=（a 2na2n1）+（a 2n1a2n2）+（a 3a2）+（a 2a1）+a1=1+2+（2 223+24+22n222n1）=3+ = 22n2= 22n；a 2n1=a2n+22n1= + 22n；
