1、第二章 行列式习题解答1.决定以下 9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性：1）134782695；解： ，偶排列；2）217986354；解： ，偶排列；3）987654321；解： ，偶排列.2.选择 与 使1） 成偶排列；解： 与 一个为 3，另一个为 8，而 是奇排列，由对换的性质因此有 ；2） 成奇排列.解： 与 一个为 3，另一个为 6，而 是奇排列，因此有 .3.写出把排列 变成排列 的那些对换.解：4.决定排列 的逆序数，并讨论它的奇偶性.解：1 与其他数构成 个逆序，2 与其他数构成 个逆序, 与其他数构成 2个逆序， 与 构成 1个逆序，故.当 或 （ 为正整数）时，排列为
2、偶排列；当 或（ 为正整数）时，排列为奇排列.5.如果排列 的逆序数为 ，排列 的逆序数是多少？解： 中任意两个数码 与 必在而且仅在两个排列或 中之一构成逆序， 个数码中任取两个的不同取法有个，因此两个排列的逆序总数为 ，所以排列 的逆序数为 .6.在 6级行列式中， 这两项应带有什么符号？解： ，因此项 带正号；，因此项 带正号.7.写出四级行列式中所有带有负号并且包含因子 的项.解：因为 ，因此所求的项为.8.按定义计算行列式：1） ； 2） ；3） .解：1）该行列式含有的非零项只有 ，带的符号为，值为 ，因此原行列式等于 .2）该行列式含有的非零项只有 ，带的符号为 ，值为 ，因此原
3、行列式等于 .3）该行列式含有的非零项只有 ，带的符号为，值为 ，因此原行列式等于 .9.由行列式定义证明：. 证明：行列式的一般项为 ，列指标 只能在 1,2,3,4,5中取不同值，故 中至少有一个要取 3,4,5中之一，而从而每一项中至少包含一个零因子，故每一项的值均为零，因此行列式的值为零.10.由行列式定义计算中 与 的系数，并说明理由.解：行列式元素中出现 的次数都是 1次的，因此含 项每一行都要取含的,因此含 项仅有 ，其系数为 2，符号为正， 的系数为 2.类似的含 项仅有 ，其系数为 1，符号为负， 的系数为 .11.由，证明：奇偶排列各半.证明：行列式每一项的绝对值为 1，行
4、列式的值为零，说明带正号项的个数等于带负号项的个数.由定义，当项的行指标按自然顺序排列时，项的符号由列指标排列的奇偶性所确定，奇排列时带负号，偶排列带正号.因此奇偶排列各半.12.设，其中 为互不相同的数.1）由行列式定义，说明 是一个 次多项式；2）由行列式性质，求 的根.解：1）在行列式 中只有第一行含有 ，出现 最高次数为 次，由为互不相同的数可得其系数不为零，因此 是一个 次多项式；2）用 分别代 ，均出现了两行相同，因此行列式为 0.即为 的全部根.13.计算下面的行列式：1） ； 2） ；3） ； 4） ；5） ； 6） .解：1）该行列式中每行元素的和为 1000的倍数，第 2列
5、与第三列相差100，因此可以先把第 2列和第 3列分别加到第 1列，然后第 2列减去第 3列后可得.3）4）.5）显然当 或 时均有两行元素相同，因此行列式为 0.当 时6）.14.证明：证明：15.算出下列行列式的全部代数余子式：1) ； 2） .解：1）.2）16.计算下面的行列式1）17.计算下列 级行列式：1） ； 2）3） ；4） ； 5） .解 1）按第一列展开得也可以按定义计算，非零项只有两项 及 值分别为和 ，符号分别为 和 ，因此原行列式=2） 解：当 时，行列式等于 ；当 时原行列式 ；当 时，从第二列起，每一列减去第一列得：原行列式=3）解：从第二列起，每一列都加到第一列然后提取因子得4）解：从第二行起每一行减去第一行，然后交换 1,2两行后化为三角形得：.也可以除第 2行外，每一行都减去第 2行，然后化为三角形计算.5)解：从第 2列起每一列都加到第 1列，然后按第一列展开得到：.18.证明：1）证明：从第 2列起，每一列的 倍加到第一列即可得：2.证明：当 时结论显然成立，当 时，第一行的 加到第二行，然后第二行的 加到第三行，依次类推可得：
