1、第 1 页 共 19 页一元二次方程拓展提高题1、已知 ，则 的值是 .0252x213x2、已知 ，则 .14a_04472aa3、若 ，且 ， ，则 .b05252b_ba4、已知方程 没有实数根，则代数式 .432ax _21682a5、已知 ，则 y 的最大值为 .y66、已知 ， ， ，则（ ）0cba20cA、 B、 C、 D、ba3ba4ba7、已知 ， ，则 .8162 _c8、已知 ，则 .02m2063m9、已知 ， ，则 .4ba42c_ba10、若方程 的二根为 ， ，且 ， ，则 ( )02qpx1x21x03qp2xA、小于 1 B、等于 1 C、大于 1 D、不能
2、确定11、已知 是方程 的一个根，则 的值为 .42312、若 ，则 （ ）32x 2087923xxA、2011 B、2010 C、2009 D、200813、方程 的解为 .214、已知 ，则 的最大值是（ ）062yxxy22A、14 B、15 C、16 D、1815、方程 恰有 3 个实根，则 （ ）m|2 mA、1 B、1.5 C、2 D、2.516、方程 的全体实数根之积为（ ）97322xxA、60 B、 C、10 D、60 1017、关于 x 的一元二次方程 （a 为常数）的两根之比 ，则52 3:2:1x（ ）12x第 2 页 共 19 页A、1 B、2 C、 D、21231
3、8、已知是 、 方程 的两个实根，则 .01x _3419、若关于 x 的方程 只有一解，求 a 的值。aa2中考真题1、若 ，则 的值为（ ）1x3x2、已知实数 、 满足 ， ，且 ，则 的值为（ 0120132132）A、1 B、3 C、3 D、103、实数 x、y 满足方程 ，则 y 最大值为（ ）0122 yxyxA、 B、 C、 D、不存在2 44、方程 的所有整数解的个数是（ ）13xA、2 B、3 C、4 D、55、已知关于 x 的方程 的两根分别为 和 1，则方程 的两根02cba302acxb为（ ）A、 和 1 B、 和 1 C、 和 D、 和3 16、实数 x、y 满足
4、 ，记 ，则 u 的取值范围是（ ）22yx22yxuA、 B、 C、 D、32u36121u7、已知实数 m，n 满足 ， ，则 .02920292 mnn_n9、已知方程 的两实根的平方和等于 11，k 的取值是（ ）12kxxA、 或 1 B、 C、1 D、33310、设 a，b 是整数，方程 有一个实数根是 ，则 .02bax47_ba13、已知方程 的一根小于 ，另外三根皆大于 ，求 a 的取值范围。4x 2114、已知关于 x 的方程 有实数根 ， 且 ，试问：y 值是否有最02kx1x2321x大值或最小值，若有，试求出其值，若没有，请说明理由。第 3 页 共 19 页15、求所
5、有有理数 q，使得方程 的所有根都是整数。012qxq一元二次方程培优题及参考答案1、已知 ，则 的值是（ D ）0252x213xA、2001 B、2002 C、2003 D、2004答案：D解析：由 得：0252x042x 204241123 xxx归纳：本题解决的方法是通过降次达到化简的目的。2、已知 ，则 .024a_104722aa答案：2002解析：由 得： ， ，121242a2041原式 004704aa归纳：本题解决的方法是通过降次达到化简的目的。3、若 ，且 ， ，则 .1ab25527b_ba答案： 57解析：由 得：052b0712051bb ，即 把 a 和 作为一元
6、二次方程 的两根1ab 0725x 57归纳：本题是通过构造一元二次方程的两根，利用根与系数的关系解决问题。4、已知方程 没有实数根，则代数式 .0432ax _21682aa答案：2考点：根的判别式。分析：由方程 没有实数根，得 ，求的 a 的范围，然后根据此范0432ax 0围化简代数式。第 4 页 共 19 页解答：解：已知方程 没有实数根0432ax ，即 ， ，得042a86242a则代数式 |168 归纳：本题考查了一元二次方程根的判别式。当 时，方程没有实数根。同时考查了一0元二次不等式的解法、二次根式的性质和绝对值的意义。5、已知 ，则 y 的最大值为 .xy62答案： 897
7、考点：二次函数的最值。专题：计算题；换元法分析：此题只需先令 ，用 x 表示 t，代入求 y 关于 t 的二次函数的最值即可。06tx解答：令 ，tx2t则 81242112622 ttty又 ，且 y 关于 t 的二次函数开口向下，则在 处取得最大值0t t即 y 最大值为 ，即 81297归纳：本题考查了二次函数的最值，关键是采用换元法，将 用 t 来表示进行解题比x6较简便。6、已知 ， ， ，则（ ）0cba2a0cA、 B、 C、 D、b3ba4ba答案：B考点：根的判别式。专题：综合题。分析：由 ， ， ，得到 a，b 两个负数，再由 ， ，0cba2a0c cbaa2这样可以把
8、a，b 看作方程 的两根，根据根的判别式得到 ，解得x 042，然后由 得到 .2cc2ba解答： ， ， ， ，00c0ab0c ，bac2可以把 a，b 看作方程 22cx第 5 页 共 19 页 ，解得 ，即024c2c2bac2ba点评：本题考查了一元二次方程根的判别式：如方程有两个实数根，则 也考查了一0元二次方程根与系数的关系以及绝对值的含义。7、已知 ， ，则 .8ba0162c_cba答案：0考点：因式分解的应用；非负数的性质：偶次方。分析：本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口。由 可得 ；将其代入 得：8ba8b
9、a0162cab；此时可发现 正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质016822cb 162求出 b、c 的值，进而可求得 a 的值；然后代值运算即可。解答： 8a又 ，即0162 016822cb042cb ， 4bc4aa归纳：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法8、已知 ，则 .012m_2063m答案： 5考点：因式分解的应用。专题：整体思想。分析：根据已知条件可得到 ，然后整体代入代数式求值计算即可。12解答： 012mm原式 2056062 点评：这里注意把要求的代数式进行局部因式分解，根据已知条件，整体代值计算。9、已知 ， ，则 .4b
10、a42c_ba答案：0考点：拆项、添项、配方、待定系数法。专题：计算题分析：先将字母 b 表示字母 a，代入 ，转化为非负数和的形式，根据非负数042cb的性质求出 a、b、c 的值，从而得到 的值。解答： 44代入 ，可得（ ，即0202cb02cb ， bcaa归纳：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法。解题关键是将代数式转化为非负数和的形式。第 6 页 共 19 页10、若方程 的二根为 ， ，且 ， ，则 ( )02qpx1x21x03qp2xA、小于 1 B、等于 1 C、大于 1 D、不能确定答案：A考点：根与系数的关系专题：计算题分析：方程
11、的二根为 ， ，根据根与系数的关系及已知条件即可求解。02qpx1x2解答：方程 的二根为 ， ，px21 qx21 ， 1x33211 212x2x 1归纳：本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握 ， 是方程1x2的两根时， ， 02qpxpx21 qx2111、已知 是方程 的一个根，则 的值为 .042 3答案： 5考点：因式分解的应用。专题：整体思想。分析：根据已知条件可得到 ，即 然后整体代入代数式求值计算即0412412可。解答： 是方程 的一个根 ，即2x 02412原式 541122 点评：这里注意把要求的代数式进行局部因式分解，根据已知条件，整体代值计算。12、若 ，
12、则 （ ）32x208729234xxA、2011 B、2010 C、2009 D、2008答案：B考点：因式分解的应用专题：计算题；整体思想分析：将 化简为 ，整体代入 变形的式132x0132x 2087129234xx子 ，计算即可求解2522 x解答： ，即 2 234x0131313222 x归纳：本题考查因式分解的运用，注意运用整体代入法求解。第 7 页 共 19 页13、方程 的解为 .232x答案： 3考点：利用方程的同解原理解答。专题：计算题。 解答： 232x两边同时平方得： 492x整理得： 再平方得： 解得：23492x8132x归纳：本题考查将无理方程通过平方的方式转
13、化为有理方程解答。14、已知 ，则 的最大值是（ ）0622yxxy22A、14 B、15 C、16 D、18答案：B考点：完全平方公式。分析：由 得 代入 ，通过二次函数的最值，求0622yxx62xy22出它的最大值。解答： 化为 ， ， 故22 22 290328xyx二次函数开口向下，当 时表达式取得最大值4由于 所以 时此时 ，表达式取得最大值：153030y点评：本题是中档题，考查曲线与方程的关系，直接利用圆锥曲线解答比较麻烦，利用转化思想使本题的解答比较简洁，注意二次函数闭区间是的最大值的求法。15、方程 恰有 3 个实根，则 （ ）mx2|2 mA、1 B、1.5 C、2 D、
14、2.5答案：C考点： 解一元二次方程-公式法 ；绝对值；一元二次方程的解。专题：解题方法。分析：因为方程中带有绝对值符号，所以讨论方程的根分两种情况：当 时，原方程为0x；当 时，原方程为 mx22 0xmx22解答：当 时，原方程为： ，化为一般形式为： 22m用求根公式得： 142m当 时，原方程为： ，化为一般形式为：0xx2 02x第 8 页 共 19 页用求根公式得： 124mx方程的根恰为 3 个，而当 时，方程的 3 个根分别是 ， ， 21x023x归纳：本题考查未知数的取值范围，以确定字母系数 m 的值。16、方程 的全体实数根之积为（ ）97322xxA、60 B、 C、1
15、0 D、60 10答案：A考点：换元法解分式方程。专题：换元法。分析：设 ，原方程化成 ，再整理成整式方程求解即可。yx732 23y解答：设 ，则 ，解得 ，031y32当 时， ，解得1y1732x2x当 时， ，解得 或32 5 6052归纳：本题考查了用换元法解分式方程，解次题的关键是把 看成一个整体来计732x算，即换元法思想。17、关于 x 的一元二次方程 （a 为常数）的两根之比 ，则052x 3:2:1（ ）12xA、1 B、2 C、 D、212答案：C考点：一元二次方程根与系数的关系及求解。解答：设 的两根分别为 ， ，由根与系数的关系得：052axk23，3k23k ， 2
16、1a21454212112 xxx归纳：本题考查了用根与系数的关系解决问题，关键是利用公式巧妙变形。18、已知是 、 方程 的两个实根，则 .02x _34答案：5考点：根与系数的关系；代数式求值；完全平方公式。专题：计算题。第 9 页 共 19 页分析：由方程的根的定义，可知 ，移项，得 ，两边平方，整理得01212；由一元二次方程根与系数的关系，可知 ；将两式分别代入324 ，即可求出其值。解答： 是方程 的根 012x012 12 324 又 、 方程 的两个实根2 513234 归纳：本题主要考查了方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系。难度中等。关键是利用方程根的定义及完全平方公
17、式将所求代数式降次，再结合根与系数的关系求解。19、若关于 x 的方程 只有一解，求 a 的值。xaa1122答案： 或0a考点：解分式方程。分析：先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出 a 的值。解答：原方程化为 0132xax（1）当 时，原方程有一个解，0a2（2）当 时，方程 ，总有两个不同的实数根，由题意知必有一01452a个根是原方程的增根，从原方程知增根只能是 0 或 1，显然 0 不是的根，故 ，得 1x2a综上可知当 时，原方程有一个解， ， 时， 0a2xa2x归纳：本题考查了解分式方程。注意：
18、分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能足转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方20、已知二次函数 满足 且 对一切实数恒02acbxxf 01f21xf成立，求 的解析式。02acbxf考点：函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质。专题：综合题。分析：取 ，由 ，能够求出 的值；由 ，知 ，1x21f 1f01f01cba所以 ，由 ，对一切实数恒成立，知 ，即2bcaxf xcbax2对一切实数恒成立，由此能求出 的表达式。012x f第 10 页 共 19 页解答：解：（1）二次函数
19、满足 且02acbxxf 01f21xf取 ，得 所以x21f 1f 01cbabca ，对一切实数恒成立 对一切实数恒成立xf012cxba 04102acba60c ， 6 当且仅当 时，等式成立 1221ac41ca412xxf点评：本题考查二次函数的性质的综合应用，考查函数解析式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数恒成立条件的灵活运用。21、已知 .02acbxxf（1）对任意 ， ，当 有 ，求证： 两个不相等的122121xff 21xffx实根且有一根在（ ， ）内。x（2）若 在（ ， ）内有一根为 m 且 .若 的对21ff1x2 121x0xf称轴为 .求证： .0x0mx考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；二次函数的性质；等差数列的性质专题：计算题；转化思想分析：（1）通过计算一元二次方程的判别式大于 0，可得方程有两个不相等的实数根；设方程对应的函数为 ，由 ，可得方程有一个根属于（ ， ） xg021xg 1x2（2）由题意可得 ，即 ，由于 ffmf0221 mbxma，故 ，由 证得结121x212xab 21210 xx论。解答：证明：（1） 21ffxcbxacbacbxaxf2122整理得： 0122 x
