必修五解三角形常考题型.doc

1、必修五解三角形常考题型1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理【典型题剖析】考察点 1：利用正弦定理解三角形例 1 在 ABC 中，已知 A:B:C=1:2:3,求 a :b :c.A例 2 在 ABC 中，已知 c= + ，C=30，求 a+b 的取值范围。26考察点 2：利用正弦定理判断三角形形状例 3 在ABC 中， tanB= tanA，判断三角形 ABC 的形状。2a2b例 4 在ABC 中，如果 ，并且 B 为锐角，试判断此三角形的lglsinlg2acB形状。考察点 3：利用正弦定理证明三角恒等式例 5 在ABC 中，求证 .2220coscoscosabaABCA例 6

2、在ABC 中，a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边，C=2B，求证 .2cba考察点 4：求三角形的面积例 7 在ABC 中，a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边，若 ,求252,cos4BaCABC 的面积 S.例 8 已知ABC 中 a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边，ABC 的外接圆半径为 12，且, 求ABC 的面积 S 的最大值。3C考察点 5：与正弦定理有关的综合问题例 9 已知ABC 的内角 A,B 极其对边 a,b 满足 求内角 Ccott,abAB例 10 在ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a,b,c,且 c=10, ，求 a,b 及cos4

3、3AbBaABC 的内切圆半径。易错疑难辨析易错点 利用正弦定理解题时，出现漏解或增解【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有：（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，出现漏解或增解；（2）在判断三角形的形状时，出现漏解的情况。例 1（1） 在ABC 中， 23,60,;abAB求（2） 在ABC 中， 求易错点 忽略三角形本身的隐含条件致错【易错点解析】解题过程中，忽略三角形本身的隐含条件，如内角和为 180等造成的错误。例 2 在ABC 中，若 求 的取值范围。3,CBcb高考真题评析例 1（2010广东高考）已知 a，b，c 分别是ABC 的三个内角 A，

4、B，C 所对的边，若则,3,2,abACBsin_例 2（2010北京高考）如图 1-9 所示，在ABC 中，若 21,3,bcC则 _.a图 1-9A BC231 a例 3（2010湖北高考）在ABC 中， 则 等于（ ）15,0,6,abAcosB2.3A2.3B6.3C.D例 4（2010天津高考）在ABC 中， cos.AB（1）求证 ；（2）若 ，求 的值。1cos3in431.1.2 余弦定理典型题剖析考察点 1： 利用余弦定理解三角形例 1：已知ABC 中， 求 A，C 和 。3,30,bcBa例 2：ABC 中，已知 ，求 A，B，C26,3,4abc考察点 2： 利用余弦定理

5、判断三角形的形状例 3：在ABC 中，已知 且 ，试判断3,abcab2cosinsiABCABC 的形状。例 4：已知钝角三角形 ABC 的三边 求 k 的取值范围。,2,4,akbc考察点 3：利用余弦定理证明三角形中的等式问题例 5 在中，a,b,c 分别是角 A，B，C 的对边，（1）求证 （2）求证cos;abc221cos.CAaabc例 6 在 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c。A（1）求证 （2）求证2sin;abcosinBA考察点 4：正余弦定理的综合应用例 7：在 中，已知ABC31,0,baC求 .AB例 8：设 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c

6、，已知A 223,bcabc（1）求 A 的大小；（2）求 的值。2sincosiBC例 9：设 得到内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且A cos3,in4.BbA（1）求边长 a；（2）若 的面积 S=10，求 的周长 。ACl易错疑难解析易错点 利用余弦定理判断三角形的形状时出现漏解情况【易错点辨析】在等式两边同时约去一个因式时，需要十分小心，当该因式恒正或恒负时可以约去，一定要避免约去可能为零的因式而导致漏解。例 1：在 中，已知 试判断 的形状ABCcos,aAbBAC易错点 易忽略题中的隐含条件而导致错误【易错点辨析】我们在解题时要善于应用题目中的条件，特别是隐含条件，全

7、面、细致地分析问题，如下列题中的 ba 就是一个重要条件。例 2：在 中，已知 求 。ABC2,15,CA高考真题评析例 1：（2011.山东模拟）在 中，D 为 BC 边上一点，ABC若 则3,2,135,BCDA2,AB_.D例 2：（2010.天津高考）在 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若则 A 等于（ ）,sinsi,abcA30 B.60 C.120 D.150例 3：（2010.北京高考）某班设计了一个八边形的班徽（如图 1-14 所示） ，它由腰长为1，顶角为 a 的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）A. B.2sincos2si

8、n3cosaC. D. 31a21例 4：（2010.安徽高考）设 是锐角三角形，a，b，c 分别是内角 A，B，C 所对边长，ABC且 。2 2sinisinsin3A（1）求角 A 的值；（2）若 ，求 b，c（其中 bc）1,7a例 5：（陕西高考）如图 1-15 所示，在 中，已知 B=45，D 是 BC 边上一点，ABCAD=10，AC=14，DC=6，求 AB 的长。ABCD图 1-15例 6：（2010.江苏高考）在锐角 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若Acos,baC求 的值。tntAB必修五解三角形常考题型1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理【典型题

9、剖析】考察点 1：利用正弦定理解三角形例 1 在 ABC 中，已知 A:B:C=1:2:3,求 a :b :c.A【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。解：:1:23,A.,6 13:sin:sini:sni:2.632BCBCab而【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。例 2 在 ABC 中，已知 c= + ，C=30，求 a+b 的取值范围。2【点拨】 此题可先运用正弦定理将 a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。解：C=30，c= + ，由正弦定理得

10、：6 26,sinisini30abcABC a=2( + )sinA,b=2( + )sinB=2( + )sin（150-A）.2226a+b=2( + )sinA+sin(150-A)= 2( + )2sin75cos(75-A)=6cos(75-A)2 当 75-A=0，即 A=75时，a+b 取得最大值 =8+4 ；263 A=180-(C+B)=150-B,A150，0A150,-7575-A75，cos75cos(75-A)1， cos75= = + .2626426综合可得 a+b 的取值范围为( + ,8+4 3考察点 2：利用正弦定理判断三角形形状例 3 在ABC 中， t

11、anB= tanA，判断三角形 ABC 的形状。2a2b【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断ABC 的形状。解：由正弦定理变式 a=2RsinA,b=2RsinB 得：,22sinsinRiRicocoBAAsi,即 ， ，i B或.2B或 为等腰三角形或直角三角形。AC【解题策略】 “在ABC 中，由 得A=B”是常犯的错误，应认真体会上sin2iA述解答过程中“A=B 或A+B= ”的导出过程。例 4 在ABC 中，如果 ，并且 B 为锐角，试判断此三角形的lglsilg2acB形状。【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断ABC的形状。解： .2lgsinl2,sinBB又B 为锐角，B=45.由 ll,.2caca得由正弦定理，得 ,sinAC 代入上式得：18045,A2sini135C2sin3cos13ii,Ccs0,945.AAB为 等 腰 直 角 三 角 形 。考察点 3：利用正弦定理证明三角恒等式例 5 在ABC 中，求证 .2220coscoscosabaABCA【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将 转化22bc， ，