1、 第二章 随机向量的分布和数字特征的习题课一：选择题：1. 若随机变量 的分布函数为 与 则 a ,b取值为（ 21,X)(1xF)(2）时，可使 F(x)=a -b 为某随机变量的分布函数。)(xF)(A.3/5,-2/5 B.2/3,2/3 C.-1/2,3/2 D.1/2,-3/2分析：由分布函数在的极限性质，不难知 a,b应满足 a-b=1,只有选项 A正确。 答案 选：A2. 设 X (x),且 (-x)= (x),其分布函数为 F(x),则对任意实数 a, F(-a)=( )。 A.1- d B. - d C.F(a) D.2F(a)-1x0)(21ax0)(分析：是偶函数，可结合
2、标准正态分布来考虑； d ax0)(F(a)F(0)；F(0)0.5；F(a)F(-a)=1 答案 选：Bx3.设 X N( , ),则随着 的增大， P(|X- |1p2 12答案 选： A5. 设 是随机变量且 ，则对任意常数 ，X )0,()(,)(2XDE c（ ）成立。 22)(. ccEA 22)()(. EcB)(XC X分析： 答案 选： D由 ，得2)(,)(DE 222)(EDE)2cXcX222 )(c)()( 22E222X显然 )()(cX二：题空题1. 设在每次伯努里试验中，事件 A发生的概率均为 p,则在 n次伯努里试验中，事件 A至少发生一次的概率为（ ） ，至
3、多发生一次的概率为（ ） 。答案 填：(1-(1-p) ); (1-p) +np(1-p) )nn1n由伯努里概型的概率计算公式， ，据题意可知，事件 A至少发生一次的概率为 或 ，knknkpC)1( nnpC)1(0事件 A至多发生一次的概率为 = +knkkKN)(10 n)(011)(nnpC2. 设随机变量 Y在区间1，6上服从均匀分布，则方程有实根的概率为（ ） 。012x分析：方程 有实根当且仅当 0，即|Y| 2,012Yx则 P(|Y| 2)= d =0.8 答案 填：0.8 6253. 设 X ，对 X的三次独立重复观察中， 其 他,0)(xxf事件 X 0.5出现的次数为
4、随机变量 Y,则 PY=2=( )。分析： PX 0.5=0.25,Y服从 B(3,0.25)分布,则 PY=2= = 答案 填: 75.023C6496494. 设 XB(2,p),YB(3,p),且 PX 1= ,则 PY 1=( )。5分析：由 PX 1=1-PX=0= = ，可得 p= ,则 PY 1=1-2p931PY=0= 答案 填： 2719715.设随机变量 X服从均值为 10，标准差为 0.02的正态分布，设 （ x） 为标准正态分布函数，已知 （2.5）=0.993 8,则 X 落在区间（9.95,10.05）内的概率为（ ） 。分析：P9.95x10.05=P9.95-1
5、0x-1010.05-10=P-2.5(x-10)/0.022.5=(2.5)-(-2.5)= 2(2.5)-1=2*0.9938-1=1.9876-1=0.9876答案 填：0.98766. 设随机变量 X的概率密度为 其 他,06,3921,31)(xxf若 k使得 P X k =2/3,则 k的取值范围是（ ） 。分析： 19231)(,6 319231920)(,331)(,1)(,00,630 33103200 dttxFx xxdttttdtxFxxtxFxx答案 填：1，37. 设随机变量 Xf(x)= ,- x+, 则 X F(x)=( )。|21xe答案 填： 0,21)(x
6、eFx分析：当 x 0时 ， F(x)= d dxtf)(xt当 x 0时，F(x)= d d dxtf)(021tete0xe18. 设 XU(0,2),则 Y= 在(0,4)内的概率密度 （ ） 。2X)(yfY答案 填： 41分析：当 0 y 4时， )()(2 yFXPyYPyF XY 此时， =f fFx 211)() 4注：由于 Y= 在(0,4)内是单调函数，可直接用公式做！2X9. 设 X的分布函数 ,则 A=( ),P |x| 210sin)(xAxF 6=( )。答案 填：1； 2110. 设 X的分布函数 F(x)为：, 则 X的概率分布为（ ） 。318.014)(xx
7、F分析：其分布函数的图形是阶梯形，故 x是离散型的随机变量答案： P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.4,P(X=3)=0.2.11. 设随机变量 X的概率密度函数 则 E(X)=( ),1)(12xexf=( ).)(XD分析：由 X的概率密度函数可见 X N(1, ),则 E(X)=1， =21)(XD. 答案 填：1； .2112. 设随机变量 X服从参数为 2的泊松分布，且 Z=3X-2, 则 E(X)=( ). 答案 填：4 13. 设 X N(2， )且 P2X4=0.3,则 PX0=（ ） 。2即 ,则3.021)0(22042 P 8.02.1X答案 填：0.214. 设
8、随机变量 X服从参数为 1的指数分布,则 （ ）.)(2XeE分析：首先知道 EX1，关键求 E（e - 2X ）答案 填： 3415. 设 X表示 10次独立重复射击命中目标的次数且每次命中率为0.4,则 =（ ） 。2E分析： X B(10,0.4),则 4.186.2)()(22 XDEX答案 填：18.416. 设随机变量 在区间 上服从均匀分布；随机变量X2,10,)sgn(XY则 （ ） 。DY答案 填： 9817. 设一次试验的成功率为 ，进行 100 此独立重复试验，当p（）时 ，成功次数的标准差的值最大，最大值为（ ） 。p解：据题意可知， ，即)1(0)(pXD令 ，得 且
9、21)(10)(ppXD 02p21（答案： 5)2()( 5)(;XD） 18. 设 ，则 （ ） 。其 它0110)(xxfX)(XD解： 101)()()()( ddfE132x0321x 001222 )()()()( ddxfXE01324x614032x。 答案 填： )()(22EXXD 6119. 设随机变量 服从参数为 的泊松（Poisson）分布，且已知，则 （ ） 。)2(1XE分析：参数为 的泊松（Poisson）分布的期望和方差均为 。由 ，得到 E(X2)-3EX+2=1, 2310)2(1XE答案 填：120.设随机变量 X 的方差为 2，则根据切比雪夫不等式有（
10、 ） 。2|)(|EP答案 填： 2121.设 ，则利用切贝谢夫不等式可知2)(,)(XDE（ ） 。3XP据切贝谢夫不等式： 2)(|)(| XDEP由 ，得 答案：填 2)(,)(XDE 91)3(2XP91三：计算题：1.设随机变量 X在区间2，5上服从均匀分布，求对 X进行的三次独立观测中，至少有两次的观测值大于 3的概率。解：P(X3)= d = , 则所求概率即为531x2 27031223C2. 设某仪器有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）均服从同一指数分布，其参数为 1/600，求在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率。解：设随机变量 表示第
11、 i只元件的使用寿命,i=1,2,3,iX则 P 200= d 得所求概率为： i2060e1x31e1 - 13103103)( eC3. 设随机变量 X的概率密度函数 ，求随机变量 Y=1-)()2xfX的概率密度函数。3X解： Y的分布函数为 )1(1)( 33yXPyPyYFY = )(3F则 )(yfY )(3)1( 22 yfyXXY= y)-(1)-3(62注：由于是单调函数，可直接用公式做！4. 设随机变量 X的概率密度 = ， x 0，求 Y= 的概率)(xfXeXe密度 。)(yfY解：当 y 1时， 0)(yYPFY当 y1 时， )(lnleyFXPXX由于 ，则知当 y 1时， =0, 当 y 1时， =)(fYyY )(yfY (fY2y注：由于 Y= 在(1,)内是单调函数，可直接用公式做！Xe5. 设随机变量 X的概率分布为 P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,写出其分布函数 F(x)。答案：当 x1 时， F(x)=0; 当 1 x2 时， F(x)=0.2; 当 2 x3 时 ， F(x)=0.5;当 3 x时 ， F(x)=1 6. 设随机变量 X在区间1，2上服从均匀分布，求 Y= 的概率密Xe2度 f(y)。答案：当 时， f(y)= ，当 y在其他范围内取值时， f(y)42ey21=0.
