1、2017 中考试题汇编-二次函数(2017 贵州铜仁)25 （14 分）如图，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A（ 1，0） ，B（0， 2） ，并与 x 轴交于点 C，点 M 是抛物线对称轴 l 上任意一点（点M，B，C 三点不在同一直线上） （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在抛物线上找出两点 P1，P 2，使得MP 1P2 与MCB 全等，并求出点P1，P 2 的坐标；（3）在对称轴上是否存在点 Q，使得BQC 为直角，若存在，作出点 Q（用尺规作图，保留作图痕迹） ，并求出点 Q 的坐标【分析】 （1）利用待定系数法求二次函数的表达式；（2）分三种情况：当P 1MP2
2、CMB 时，取对称点可得点 P1，P 2 的坐标；当BMCP 2P1M 时，构建P 2MBC 可得点 P1，P 2 的坐标；P 1MP2 CBM，构建MP 1P2C，根据平移规律可得 P1，P 2 的坐标；（3）如图 3，先根据直径所对的圆周角是直角，以 BC 为直径画圆，与对称轴的交点即为点 Q，这样的点 Q 有两个，作辅助线，构建相似三角形，证明BDQ1Q 1EC，列比例式，可得点 Q 的坐标【解答】解：（1）把 A（1，0） ，B （0，2）代入抛物线 y=x2+bx+c 中得：，解得： ，抛物线所表示的二次函数的表达式为：y=x 2x2；（2）如图 1，P 1 与 A 重合，P 2 与
3、 B 关于 l 对称，MB=P 2M，P 1M=CM，P 1P2=BC，P 1MP2 CMB，y=x 2x2=（x ） 2 ，此时 P1（1， 0） ，B（ 0， 2） ，对称轴：直线 x= ，P 2（1，2） ；如图 2，MP 2BC ，且 MP2=BC，此时，P 1 与 C 重合，MP 2=BC，MC=MC ， P2MC=BP 1M，BMCP 2P1M，P 1（2，0） ，由点 B 向右平移 个单位到 M，可知：点 C 向右平移 个单位到 P2，当 x= 时，y=（ ） 2 = ，P 2（ ， ） ；如图 3，构建MP 1P2C，可得P 1MP2CBM ，此时 P2 与 B 重合，由点 C
4、 向左平移 2 个单位到 B，可知：点 M 向左平移 2 个单位到 P1，点 P1 的横坐标为 ，当 x= 时，y= （ ） 2 =4 = ，P 1（ ， ） ，P 2（0，2） ；（3）如图 3，存在，作法：以 BC 为直径作圆交对称轴 l 于两点 Q1、Q 2，则BQ 1C=BQ 2C=90；过 Q1 作 DEy 轴于 D，过 C 作 CEDE 于 E，设 Q1（ ，y） （y0） ，易得BDQ 1Q 1EC， ， = ，y2+2y =0，解得：y 1= （舍） ，y 2= ，Q 1（ ， ） ，同理可得：Q 2（ ， ） ；综上所述，点 Q 的坐标是：（ ， ）或（ ， ） 【点评】本题
5、考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、圆周角定理以及三角形全等的性质和判定，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用二次函数的对称性解决三角形全等问题；（3）分类讨论本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用二次函数的对称性，再结合相似三角形、方程解决问题是关键(2017 湖南 )27 （12 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 为边 AB 上一动点，连结 CE 并将其绕点 C 顺时针旋转 90得到 CF，连结 DF，以 CE、CF 为邻边作矩形 CFGE，GE 与 AD、AC 分别交于点 H、M ，GF 交 CD 延
6、长线于点N（1）证明：点 A、D、F 在同一条直线上；（2）随着点 E 的移动，线段 DH 是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；（3）连结 EF、MN，当 MNEF 时，求 AE 的长【分析】 （1）由DCFBCE ，可得CDF=B=90，即可推出CDF+CDA=180，由此即可证明（2）有最小值设 AE=x，DH=y ，则 AH=1y，BE=1x，由ECBHEA，推出 = ，可得 = ，推出 y=x2x+1=（x ） 2+ ，由 a=10，y 有最小值，最小值为 （3）只要证明CFNCEM ，推出FCN= ECM，由MCN=45 ，可得FCN=ECM=BCE=22.5 ，在
7、BC 上取一点 G，使得 GC=GE，则BGE 是等腰直角三角形，设 BE=BG=a，则 GC=GE= a，可得 a+ a=1，求出 a 即可解决问题；【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形，CD=CB，BCD=B=ADC=90 ，CE=CF，ECF=90，ECF=DCB ，DCF=BCE，DCFBCE，CDF=B=90，CDF+CDA=180，点 A、D、F 在同一条直线上（2）解：有最小值理由：设 AE=x，DH=y，则 AH=1y，BE=1x，四边形 CFGE 是矩形，CEG=90，CEB +AEH=90CEB+ ECB=90，ECB= AEH，B=EAH=90，ECB HEA
8、， = ， = ，y=x 2x+1=（x ） 2+ ，a=10，y 有最小值，最小值为 DH 的最小值为 （3）解：四边形 CFGE 是矩形，CF=CE，四边形 CFGE 是正方形，GF=GE， GFE=GEF=45，NMEF ，GNM= GFE，GMN=GEF，GMN= GNM，GN=GM，FN=EM，CF=CE，CFN=CEM，CFNCEM，FCN=ECM， MCN=45，FCN=ECM=BCE=22.5 ，在 BC 上取一点 G，使得 GC=GE，则BGE 是等腰直角三角形，设BE=BG=a，则 GC=GE= a，a+ a=1，a= 1，AE=ABBE=1 （ 1）=2 【点评】本题考查
9、四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题(2017 辽宁 )28 （14 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y= x2+bx+c的图象与坐标轴交于 A，B，C 三点，其中点 A 的坐标为（3，0） ，点 B 的坐标为（4，0） ，连接 AC，BC动点 P 从点 A 出发，在线段 AC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 作匀速运动；同时，动点 Q 从点 O 出发，在线段 OB 上以每秒 1 个单位长度的速
10、度向点 B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为 t 秒连接 PQ（1）填空：b= ，c= 4 ；（2）在点 P， Q 运动过程中，APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在 x 轴下方，该二次函数的图象上是否存在点 M，使PQM 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间 t；若不存在，请说明理由；（4）如图，点 N 的坐标为（ ，0） ，线段 PQ 的中点为 H，连接 NH，当点Q 关于直线 NH 的对称点 Q恰好落在线段 BC 上时，请直接写出点 Q的坐标【分析】 （1）设抛物线的解析式为 y=a（x+3） （x4） 将 a= 代入
11、可得到抛物线的解析式，从而可确定出 b、c 的值；（2）连结 QC先求得点 C 的坐标，则 PC=5t，依据勾股定理可求得AC=5，CQ 2=t2+16，接下来，依据 CQ2CP2=AQ2AP2 列方程求解即可；（3）过点 P 作 DEx 轴，分别过点 M、Q 作 MDDE、QEDE ，垂足分别为 D、E ，MD 交 x 轴与点 F，过点 P 作 PGx 轴，垂足为点 G，首先证明PAGACO，依据相似三角形的性质可得到 PG= t，AG= t，然后可求得PE、DF 的长，然后再证明MDP PEQ，从而得到 PD=EQ= t，MD=PE=3+t，然后可求得 FM 和 OF 的长，从而可得到点
12、M 的坐标，然后将点 M 的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（4）连结：OP，取 OP 的中点 R，连结 RH，NR ，延长 NR 交线段 BC 与点Q首先依据三角形的中位线定理得到RH= QO= t，RHOQ，NR= AP= t，则 RH=NR，接下来，依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明 NH 是QNQ的平分线，然后求得直线 NR 和BC 的解析式，最后求得直线 NR 和 BC 的交点坐标即可【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 y=a（x+3） （x4） 将 a= 代入得：y=x2+ x+4，b= ，c=4（2）在点 P、 Q 运动过程中，APQ 不可能是直角三角形理由如下：连结 QC
13、在点 P、Q 运动过程中，PAQ、PQA 始终为锐角，当APQ 是直角三角形时，则APQ=90将 x=0 代入抛物线的解析式得：y=4 ，C（ 0，4） AP=OQ=t，PC=5t，在 RtAOC 中，依据勾股定理得： AC=5，在 RtCOQ 中，依据勾股定理可知：CQ 2=t2+16，在 RtCPQ 中依据勾股定理可知： PQ2=CQ2CP2，在 RtAPQ 中，AQ 2AP2=PQ2，CQ 2CP2=AQ2AP2，即（ 3+t） 2t2=t2+16（5t） 2，解得： t=4.5由题意可知：0t4，t=4.5 不合题意，即 APQ 不可能是直角三角形（3）如图所示：过点 P 作 DEx 轴，分别过点 M、Q 作 MDDE 、QEDE ，垂足分别为D、E， MD 交 x 轴与点 F，过点 P 作 PGx 轴，垂足为点 G，则 PGy 轴，E=D=90PGy 轴，PAGACO ， = = ，即 = = ，PG= t，AG= t，PE=GQ=GO+OQ=AOAG+OQ=3 t+t=3+ t，DF=GP= tMPQ=90 ，D=90，DMP + DPM=EPQ+DPM=90，DMP=EPQ
