1、2017 年中考备考专题复习：二次函数一、单选题（共 12 题；共 24 分）1、已知二次函数 y=x2+x+c 的图象与 x 轴的一个交点为（1,0），则它与 x 轴的另一个交点坐标是( ) A、（1，0）B、（1，0）C、（2，0）D、（2，0）2、 如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式 ax2+bx+c0 的解集是（ ）A、-1x5B、x5C、x-1 且 x5D、x-1 或 x53、（2016 德州）下列函数中，满足 y 的值随 x 的值增大而增大的是（ ） A、y= 2xB、y=3x 1C、y= D、y=x 24、（2016 宁波）已知函数 y=ax22a
2、x1（a 是常数，a0），下列结论正确的是（ ） A、当 a=1 时，函数图象过点（ 1，1）B、当 a=2 时，函数图象与 x 轴没有交点C、若 a0，则当 x1 时，y 随 x 的增大而减小D、若 a0，则当 x1 时，y 随 x 的增大而增大5、（2016 滨州）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移 3 个单位长度，然后绕原点选择 180得到抛物线 y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（ ） A、y= （ x ） 2 B、y= （x+ ） 2 C、y= （x ） 2 D、y= （ x+ ） 2+ 6、（2016 黄石）以 x 为自变量的二次函数 y=x22（b2）x+b 21
3、的图象不经过第三象限，则实数b 的取值范围是（ ） A、b B、b1 或 b1C、b2D、1b27、（2016 兰州）二次函数 y=x22x+4 化为 y=a（xh） 2+k 的形式，下列正确的是（ ） A、y= （ x1） 2+2B、y=（x1） 2+3C、y=（x2） 2+2D、y= （ x2） 2+48、（2016 毕节市）一次函数 y=ax+b（a0）与二次函数 y=ax2+bx+c（a0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A、B、第 3 页 共 28 页 第 4 页 共 28 页C、D、9、（2016 呼和浩特）已知 a2，m 22am+2=0，n 22an+2=0，则（m
4、1） 2+（n1） 2 的最小值是（ ） A、6B、3C、3D、010、（2016 绍兴）抛物线 y=x2+bx+c（其中 b，c 是常数）过点 A（2，6），且抛物线的对称轴与线段 y=0（1x3）有交点，则 c 的值不可能是（ ） A、4B、6C、8D、1011、（2016 湖北）一次函数 y=ax+b 和反比例函数 y= 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数 y=ax2+bx+c 的图象大致为（ ） A、B、C、D、12、（2016 安顺）某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为 3 米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同其中的一个小正方形 ABCD
5、如图乙所示，DG=1 米，AE=AF=x 米，在五边形 EFBCG 区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积 y 与 x 的函数图象大致是（ ） A、B、C、D、二、填空题（共 5 题；共 5 分）13、如果函数 是关于 x 的二次函数, 则 k=_ 。 14、（2016 河南）已知 A（0，3），B （2，3）是抛物线 y=x2+bx+c 上两点，该抛物线的顶点坐标是_ 15、（2016 大庆）直线 y=kx+b 与抛物线 y= x2 交于 A（x 1 ， y1）、B（x 2 ， y2）两点，当OAOB 时，直线 AB 恒过一个定点，该定点坐标为_ 16、（2016 十堰）已知关于 x
6、的二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点（ 2，y 1），（1，y 2），（1，0），且 y10y 2 ， 对于以下结论：abc0；a+3b+2c0 ；对于自变量 x 的任意一个取值，都有 x2+x ；在2x 1中存在一个实数 x0 ， 使得 x0= ，其中结论错误的是_ （只填写序号） 17、（2016 菏泽）如图，一段抛物线：y= x（x2）（0x2）记为 C1 ， 它与 x 轴交于两点O，A 1；将 C1 绕 A1 旋转 180得到 C2 ， 交 x 轴于 A2；将 C2 绕 A2 旋转 180得到 C3 ， 交 x轴于 A3；如此进行下去，直至得到 C6 ， 若点 P（11，m）
7、在第 6 段抛物线 C6 上，则m=_三、综合题（共 6 题；共 81 分）18、（2016 宁夏）在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=4 ，动点 Q 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度，沿 AB 向点 B 移动；同时点 P 从点 B 出发，仍以每秒 1 个单位的速度，沿 BC 向点 C 移动，连接 QP，QD，PD 若两个点同时运动的时间为 x 秒（0x3），解答下列问题：(1)设QPD 的面积为 S，用含 x 的函数关系式表示 S；当 x 为何值时，S 有最大值？并求出最小值；(2)是否存在 x 的值，使得 QPDP？试说明理由 19、（2016 菏泽）在平面直角坐标系 xOy 中
8、，抛物线 y=ax2+bx+2 过 B（2，6），C（2，2）两第 7 页 共 28 页 第 8 页 共 28 页点(1)试求抛物线的解析式； (2)记抛物线顶点为 D，求 BCD 的面积； (3)若直线 y= x 向上平移 b 个单位所得的直线与抛物线段 BDC（包括端点 B、C）部分有两个交点，求 b 的取值范围 20、（2016 百色）正方形 OABC 的边长为 4，对角线相交于点 P，抛物线 L 经过 O、P、A 三点，点 E 是正方形内的抛物线上的动点(1)建立适当的平面直角坐标系，直接写出 O、P、A 三点坐标；求抛物线 L 的解析式； (2)求OAE 与OCE 面积之和的最大值
9、21、（2016 漳州）如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B（3，0），与 y 轴交于点C（0，3）(1)求抛物线的解析式； (2)若点 M 是抛物线在 x 轴下方上的动点，过点 M 作 MNy 轴交直线 BC 于点 N，求线段 MN 的最大值； (3)在（2）的条件下，当 MN 取得最大值时，在抛物线的对称轴 l 上是否存在点 P，使PBN 是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 22、（2016 梅州）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=x2+bx+c 过 A，B，C 三点，点 A的坐标是（3，0），点 C 的坐标是（ 0
10、， 3），动点 P 在抛物线上(1)b=_，c=_ ，点 B 的坐标为_；（直接填写结果） (2)是否存在点 P，使得ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由； (3)过动点 P 作 PE 垂直 y 轴于点 E，交直线 AC 于点 D，过点 D 作 x 轴的垂线垂足为 F，连接EF，当线段 EF 的长度最短时，求出点 P 的坐标 23、（2016 包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx2（a0 ）与 x 轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C，其顶点为点 D，点 E 的坐标为（0，1），该抛物
11、线与 BE 交于另一点 F，连接 BC(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为 y=a（xh） 2+k 的形式； (2)若点 H（1， y）在 BC 上，连接 FH，求 FHB 的面积； (3)一动点 M 从点 D 出发，以每秒 1 个单位的速度平沿行与 y 轴方向向上运动，连接 OM，BM，设运动时间为 t 秒（t0），在点 M 的运动过程中，当 t 为何值时， OMB=90？ (4)在 x 轴上方的抛物线上，是否存在点 P，使得 PBF 被 BA 平分？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 第 11 页 共 28 页 第 12 页 共 28 页答案解析部分一、单选
12、题【答案】D 【考点】解一元二次方程-因式分解法，抛物线与 x 轴的交点，图象法求一元二次方程的近似根，二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】二次函数 y=x2+x+c 的图象与 x 轴的一个交点为（1，0) ，0=1+1+c，c=-2，y=x2+x-2，当 y=0 时，x2+x-2=0，解得 x1=1，x 2=-2故另一个交点坐标是（-2，0)故选 D【 分析 】 先将已知交点坐标代入二次函数的解析式求出 c 值，再当 y=0 时，求出关于 x 的一元二次方程的解，就可以求出另一个交点坐标【答案】D 【考点】二次函数与不等式（组） 【解析】【解答】由图象得：对称轴是 x=2，其中一个点
13、的坐标为（5，0），图象与 x 轴的另一个交点坐标为（-1 ，0）利用图象可知：ax2+bx+c0 的解集即是 y0 的解集，x -1 或 x5故选：D【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与 x 轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c0 的解集 【答案】B 【考点】反比例函数的性质，二次函数的性质，一次函数的性质 【解析】【解答】解：A、在 y=2x 中，k= 20，y 的值随 x 的值增大而减小；B、在 y=3x1 中，k=3 0，y 的值随 x 的值增大而增大；C、在 y= 中， k=10，y 的值随 x 的值增大而减小；D、二次函数 y=x2 ， 当 x0 时，y 的值随
14、 x 的值增大而减小；当 x0 时，y 的值随 x 的值增大而增大故选 B【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的性质考虑 4 个选项的单调性，由此即可得出结论本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质以及二次函数的性质，解题的关键是根据函数的性质考虑其单调性本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉各类函数的性质及其图象是解题的关键 【答案】D 【考点】二次函数的图象，二次函数的性质 【解析】【解答】解：A、当 a=1，x= 1 时，y=1+21=2，函数图象不经过点（ 1，1），故错误；B、当 a=2 时，=424（2）（ 1）=80，函数图象与 x 轴有两个交点，故错误；C、抛
15、物线的对称轴为直线 x= =1，若 a0，则当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，故错误；D、 抛物线的对称轴为直线 x= =1，若 a0，则当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，故正确；故选 D【分析】把 a=1，x= 1 代入 y=ax22ax1，于是得到函数图象不经过点（1，1），根据 =80，得到函数图象与 x 轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线 x= =1 判断二次函数的增减性本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 【答案】A 【考点】二次函数图象与几何变换 【解析】【解答】解：抛物线的解析式为：y=x 2+5x+6，绕原点选择 180变为，y=x 2
16、+5x6，即 y=（x ） 2+ ，向下平移 3 个单位长度的解析式为 y=（x ） 2+ 3=（x ） 2 故选 A【分析】先求出绕原点旋转 180的抛物线解析式，求出向下平移 3 个单位长度的解析式即可本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键 【答案】A 【考点】二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系 【解析】【解答】解：二次函数 y=x22（b2）x+b 21 的图象不经过第三象限，抛物线在 x 轴的上方或在 x 轴的下方经过一、二、四象限，当抛物线在 x 轴的上方时，二次项系数 a=1，抛物线开口方向向上，b210，=2（b2） 24（
17、b 21）0，解得 b ；当抛物线在 x 轴的下方经过一、二、四象限时，设抛物线与 x 轴的交点的横坐标分别为 x1 ， x2 ， x1+x2=2（b2）0，b 210，=2（b2） 24（b 21）0，b2 0， b210， 由得 b ，由 得 b2，此种情况不存在，b ，故选 A【分析】由于二次函数 y=x22（b2）x+b 21 的图象不经过第三象限，所以抛物线在 x 轴的上方或在 x 轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口方向向上，由此可以确定抛物线与 x 轴有无交点，抛物线与 y 轴的交点的位置，由此即可得出关于 b 的不等式组，解不等式组即可求解此题主要考查了二次
18、函数的图象和性质，解题的关键是会根据图象的位置得到关于b 的不等式组解决问题 【答案】B 【考点】二次函数的三种形式 【解析】【解答】解：y=x 22x+4 配方，得y=（x1 ） 2+3，故选：B【分析】根据配方法，可得顶点式函数解析式本题考查了二次函数的三种形式，配方法是解题关键 【答案】C 【考点】一次函数的图象，二次函数的图象 【解析】【解答】解：A、由抛物线可知， a0，由直线可知，故本选项错误； B、由抛物线可知，a0，x= 0，得 b0，由直线可知，a0，b0，故本选项错误；C 、由抛物线可知，a0，x= 0，得 b0，由直线可知，a0，b0，故本选项正确；D、由抛物线可知，a0
19、，x= 0，得 b0，由直线可知，a0，b0 故本选项错误故选 C【分析】本题可先由一次函数 y=ax+b 图象得到字母系数的正负，再与二次函数 y=ax2+bx+c 的图象相比较看是否一致本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法 【答案】A 【考点】根与系数的关系，二次函数的最值 【解析】【解答】解：m 22am+2=0，n 22an+2=0，m，n 是关于 x 的方程 x22ax+2=0 的两个根，m+n=2a，mn=2，（ m1） 2+（n1） 2=m22m+1+n22n+1=（m+n） 22mn2（m+n）+2=4a 244a+2=4（a ） 23，a2
20、，当 a=2 时，（m 1） 2+（n1） 2 有最小值，（ m1） 2+（n1） 2 的最小值=4（a ） 2+3=4（2 ） 23=6，故选 A【分析】根据已知条件得到 m，n 是关于 x 的方程 x22ax+2=0 的两个根，根据根与系数的关系得到 m+n=2a，mn=2，于是得到 4（a ） 23，当 a=2 时，（ m1） 2+（n 1） 2 有最小值，代入即可得到结论本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键 【答案】A 【考点】二次函数的性质 【解析】【解答】解：抛物线 y=x2+bx+c（其中 b，c 是常数）过点 A（2，6），且抛物线的对称
21、轴与线段 y=0（1x3）有交点，第 15 页 共 28 页 第 16 页 共 28 页 解得 6c14，故选 A【分析】根据抛物线 y=x2+bx+c（其中 b，c 是常数）过点 A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1x3）有交点，可以得到 c 的取值范围，从而可以解答本题本题考查二次函数的性质、解不等式，解题关键是明确题意，列出相应的关系式 【答案】C 【考点】一次函数的图象，反比例函数的图象，二次函数的图象 【解析】【解答】解：一次函数 y=ax+b 经过一、二、四象限，a0，b0，反比例函数 y= 的图象在一、三象限，c0，a0，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的开口向下
22、，b 0， 0，c0，与 y 轴的正半轴相交，故选 C【分析】根据一次函数的图象的性质先确定出 a、b 的取值范围，然后根据反比例函数的性质确定出 c 的取值范围，最后根据二次函数的性质即可做出判断本题主要考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的性质，掌握相关性质是解题的关键 【答案】A 【考点】二次函数的图象，二次函数的应用 【解析】【解答】解：S AEF= AEAF= x2 ， SDEG= DGDE= 1（3x）= ， S 五边形 EFBCG=S 正方形 ABCDSAEFSDEG=9 x2 = x2+ x+ ，则 y=4（ x2+ x+ ）=2x 2+2x+30，AEAD，x 3，综上可得
23、：y=2x 2+2x+30（0x3）故选：A【分析】先求出AEF 和DEG 的面积，然后可得到五边形 EFBCG 的面积，继而可得 y 与 x 的函数关系式本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是求出 y 与 x 的函数关系式，对于有些题目可以不用求出函数关系式，根据走势或者特殊点的值进行判断 二、填空题【答案】0 【考点】二次函数的定义 【解析】【解答】函数 y=(k-1)xk-k+2+kx-1 是关于 x 的二次函数，k-10 且 k2-k+2=2，解得 k=0 或 k=1，k=0故答案为 0【分析】根据二次函数的定义得到 k-10 且 k2-k+2=2，然后解不等式和方程即可得到
24、k 的值 【答案】（1，4） 【考点】二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：A（ 0，3），B （2，3）是抛物线 y=x2+bx+c 上两点，代入得： ，解得：b=2，c=3，y=x2+2x+3=（x1） 2+4，顶点坐标为（1，4），故答案为：（1，4）【分析】把 A、B 的坐标代入函数解析式，即可得出方程组，求出方程组的解，即可得出解析式，化成顶点式即可本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能求出函数的解析式是解此题的关键 【答案】（0，4） 【考点】二次函数的性质，一次函数的性质 【解析】【解答】解：直线 y=kx+b 与抛物线 y= x
25、2 交于 A（x 1 ， y1）、B （x 2 ， y2）两点， kx+b= ，化简，得 x 24kx4b=0，x1+x2=4k，x 1x2=4b，又 OAOB， ，解得，b=4，即直线 y=kx+4，故直线恒过顶点（0，4），故答案为：（0，4）【分析】根据直线 y=kx+b 与抛物线 y= x2 交于 A（x 1 ， y1）、B（x 2 ， y2）两点，可以联立在一起，得到关于 x 的一元二次方程，从而可以得到两个之和与两根之积，再根据 OAOB，可以求得 b 的值，从而可以得到直线 AB 恒过的定点的坐标本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件
26、，知道两条直线垂直时，它们解析式中的 k 的乘积为1 【答案】 【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：由题意二次函数图象如图所示，a0b0，c 0，abc0，故正确a+b+c=0，c=ab，a+3b+2c=a+3b2a2b=ba，又 x=1 时，y0，ab+c0，bac，cO ，ba 可以是正数，a+3b+2c0，故错误故答案为 函数 y= x2+x= （x 2+ x）= （x+ ） 2 ， 0， 函数 y有最小值 ， x2+x ，故正确y=ax2+bx+c 的图象经过点（1，0），a+b+c=0，c=ab，令 y=0 则 ax2+bxab=0，设它
27、的两个根为 x1 ， 1，x11= = ，x 1= ，2x 1x 2 ， 在 2 x1 中存在一个实数 x0 ， 使得 x0= ，故正确，【分析】 正确画出函数图象即可判断错误因为 a+b+c=0，所以 a+3b+2c=a+3b2a2b=ba，又 ab+c0，所以 bac ，故 ba 可以是正数，由此可以周长判断正确利用函数 y= x2+x= （x 2+ x）= （x+ ） 2 ，根据函数的最值问题即可解决 令 y=0 则 ax2+bxab=0，设它的两个根为 x1 ， 1，则 x11= = ，求出 x1 即可解决问题本题考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键
28、是灵活应用二次函数的性质解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题 【答案】-1 【考点】二次函数图象与几何变换，抛物线与 x 轴的交点 【解析】【解答】解：y= x（x2）（0x2），配方可得 y=（x1） 2+1（0x2），顶点坐标为（1，1），A1 坐标为（ 2，0）C2 由 C1 旋转得到，OA1=A1A2 ， 即 C2 顶点坐标为（3，1），A 2（4，0）；照此类推可得，C 3 顶点坐标为（ 5，1），A 3（6，0）；C4 顶点坐标为（7， 1），A 4（8，0）；C5 顶点坐标为（9，1），A 5（10，0）；C6 顶点坐标为（11， 1），A 6（12，
29、0）；m=1故答案为：1第 19 页 共 28 页 第 20 页 共 28 页【分析】将这段抛物线 C1 通过配方法求出顶点坐标及抛物线与 x 轴的交点，由旋转的性质可以知道 C1 与 C2 的顶点到 x 轴的距离相等，且 OA1=A1A2 ， 照此类推可以推导知道点 P（11，m）为抛物线 C6 的顶点，从而得到结果本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标 三、综合题【答案】（1）解：四边形 ABCD 为矩形，BC=AD=4，CD=AB=3 ，当运动 x 秒时，则 AQ=x，BP=x ，BQ=ABAQ=3x，CP=BCBP=4 x，SADQ= ADAQ= 4x=
30、2x，S BPQ= BQBP= （3x）x= x x2 ， SPCD= PCCD= （4x）3=6 x，又 S 矩形 ABCD=ABBC=34=12，S=S 矩形 ABCDSADQSBPQSPCD=122x（ x x2）（6 x）= x22x+6= （x2） 2+4，即 S= （x2） 2+4，S 为开口向上的二次函数，且对称轴为 x=2，当 0 x2 时，S 随 x 的增大而减小，当 2x3 时，S 随 x 的增大而增大，又当 x=0 时，S=5，当 S=3 时，S= ，但 x 的范围内取不到 x=0，S 不存在最大值，当 x=2 时，S 有最小值，最小值为 4（2）解：存在，理由如下：由（
31、1）可知 BQ=3x，BP=x，CP=4x，当 QPDP 时，则BPQ+ DPC=DPC+PDC，BPQ=PDC，且B= C，BPQPCD， ，即 ，解得 x= （舍去）或 x= ，当 x= 时 QPDP 【考点】二次函数的最值，矩形的性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）可用 x 表示出 AQ、BQ、BP、CP，从而可表示出 SADQ、S BPQ、S PCD的面积，则可表示出 S，再利用二次函数的增减性可求得是否有最大值，并能求得其最小值；（2）用 x 表示出 BQ、BP、PC，当 QPDP 时，可证明BPQCDP，利用相似三角形的性质可得到关于 x 的方程，可求得 x 的值本
32、题为四边形的综合应用，涉及知识点有矩形的性质、二次函数的最值、相似三角形的判定和性质及方程思想等在（1）中求得 S 关于 x 的关系式后，求S 的最值时需要注意 x 的范围，在（2）中证明三角形相似是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中 【答案】（1）解：由题意 解得 ，抛物线解析式为 y= x2x+2（2）解：y= x2x+2= （x 1） 2+ 顶点坐标（1， ），直线 BC 为 y=x+4，对称轴与 BC 的交点 H（1，3），SBDC=SBDH+SDHC= 3+ 1=3（3）解：由 消去 y 得到 x2x+42b=0，当=0 时，直线与抛物线相切，1 4（42b）=0，b= ，当直线 y= x+b 经过点 C 时， b=3，当直线 y= x+b 经过点 B 时， b=5，直线 y= x 向上平移 b 个单位所得的直线与抛物线段 BDC（包括端点 B、C）部分有两个交点，
