1、第十五讲 二次函数的综合题及应用【重点考点例析】考点一：确定二次函数关系式例 1 （2017牡丹江）如图，已知二次函数 y=x2+bx+c过点 A（1，0），C（0，-3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点 P使ABP 的面积为 10，请直接写出点 P的坐标思路分析：（1）利用待定系数法把 A（1，0），C（0，-3）代入）二次函数 y=x2+bx+c中，即可算出 b、c 的值，进而得到函数解析式是y=x2+2x-3；（2）首先求出 A、B 两点坐标，再算出 AB的长，再设 P（m，n），根据ABP 的面积为 10可以计算出 n的值，然后再利用二次函数解析式计算出 m的值即可
2、得到 P点坐标解：（1）二次函数 y=x2+bx+c过点 A（1，0），C（0，-3）， ， 解得 ，03bc3bc二次函数的解析式为 y=x2+2x-3；（2）当 y=0时，x 2+2x-3=0，解得：x 1=-3，x 2=1；A（1，0），B（-3，0），AB=4，设 P（m，n），ABP 的面积为 10， AB|n|=10，2解得：n=5，当 n=5时，m 2+2m-3=5，解得：m=-4 或 2，P（-4，5）（2，5）；当 n=-5时，m 2+2m-3=-5，方程无解，故 P（-4，5）（2，5）；点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数图象
3、经过的点必能满足解析式对应训练1（2017湖州）已知抛物线 y=-x2+bx+c经过点 A（3，0），B（-1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标考点二：二次函数与 x轴的交点问题例 2 （2017苏州）已知二次函数 y=x2-3x+m（m 为常数）的图象与 x轴的一个交点为（1，0），则关于 x的一元二次方程 x2-3x+m=0的两实数根是（ ）Ax 1=1，x 2=-1 Bx 1=1，x 2=2 Cx 1=1，x 2=0 Dx 1=1，x 2=3对应训练2（2013株洲）二次函数 y=2x2+mx+8的图象如图所示，则 m的值是（ ）A-8 B8C8 D6考点三：二次函数
4、的实际应用例 3 （2017 营口）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克 20元，市场调查发现，该产品每天的销售量 y（千克）与销售价 x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80设这种产品每天的销售利润为 w元（1）求 w与 x之间的函数关系式（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克 28元，该农户想要每天获得 150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？思路分析：（1）根据销售额=销售量销售价单 x，列
5、出函数关系式；（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；（3）把 y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求 x，根据 x的取值范围求 x的值解：（1）由题意得出：w=（x-20）y=（x-20）（-2x+80）=-2x2+120x-1600，故 w与 x的函数关系式为：w=-2x 2+120x-1600；（2）w=-2x 2+120x-1600=-2（x-30） 2+200，-20，当 x=30时，w 有最大值w 最大值为 200答：该产品销售价定为每千克 30元时，每天销售利润最大，最大销售利润 200元（3）当 w=150时，可得方程-2（x-30）
6、2+200=150解得 x =25，x 2=35 3528，x 2=35不符合题意，应舍去 答：该农户想要每天获得 150元的销售利润，销售价应定为每千克 25元点评：本题考查了二次函数的运用关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性质解决问题对应训练3 （2017武汉）科幻小说实验室的故事中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：温度 x/ -4 -2 0 2 4 4.5 植物每天高度增长量 y/mm 41 49 49 41 25 19.75 由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量 y是温度 x的函数，且这
7、种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；（2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？（3）如果实验室温度保持不变，在 10天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm，那么实验室的温度 x应该在哪个范围内选择？请直接写出结果3解：（1）选择二次函数，设 y=ax2+bx+c（a0），x=-2 时，y=49，x=0时，y=49，x=2时，y=41， ， 解得 ，4291abc1249abc所以，y 关于 x的函数关系式为 y=-x2-2x+49；不选另外两个函数的理由：点（0，49）不可能在反比例函
8、数图象上，y 不是 x的反比例函数，点（-4，41）（-2，49）（2，41）不在同一直线上，y 不是 x的一次函数；（2）由（1）得，y=-x 2-2x+49=-（x+1） 2+50，a=-10，当 x=-1时，y 有最大值为 50，即当温度为-1时，这种作物每天高度增长量最大；（3）10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm，平均每天该植物高度增长量超过 25mm，当 y=25时，-x 2-2x+49=25，整理得，x 2+2x-24=0，解得 x1=-6，x 2=4，在 10天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm，实验室的温度应保持在-6x4考点四：二次函数综合性题目例
9、 4 （2017自贡）如图，已知抛物线 y=ax2+bx-2（a0）与 x轴交于 A、B 两点，与 y轴交于 C点，直线 BD交抛物线于点 D，并且 D（2，3），tanDBA= 12（1）求抛物线的解析式；（2）已知点 M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形 BMCA面积的最大值；（3）在（2）中四边形 BMCA面积最大的条件下，过点 M作直线平行于 y轴，在这条直线上是否存在一个以 Q点为圆心，OQ 为半径且与直线 AC相切的圆？若存在，求出圆心 Q的坐标；若不存在，请说明理由思路分析：（1）如答图 1所示，利用已知条件求出点 B的坐标，然后用待定系数法求出抛
10、物线的解析式；（2）如答图 1所示，首先求出四边形 BMCA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）本题利用切线的性质、相似三角形与勾股定理求解如答图 2所示，首先求出直线 AC与直线 x=2的交点 F的坐标，从而确定了RtAGF 的各个边长；然后证明 RtAGFRtQEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点 Q的坐标解：（1）如答图 1所示，过点 D作 DEx 轴于点 E，则DE=3，OE=2tanDBA= = ，EB2BE=6，OB=BE-OE=4，B（-4，0）点 B（-4，0）、D（2，3）在抛物线 y=ax2+bx-2（a0）上， ， 解得 ，164ab132ab抛
11、物线的解析式为：y= x2+ x-21（2）抛物线的解析式为：y= x2+ x-2，3令 x=0，得 y=-2，C（0，-2），令 y=0，得 x=-4或 1，A（1，0）设点 M坐标为（m，n）（m0，n0），如答图 1所示，过点 M作 MFx 轴于点 F，则 MF=-n，OF=-m，BF=4+mS 四边形 BMCA=SBMF +S 梯形 MFOC+SAOC= BFMF+ （MF+OC）OF+ OAOC22= （4+m）（-n）+ （-n+2）（-m）+ 12112=-2n-m+1 点 M（m，n）在抛物线 y= x2+ x-2上，3n= m2+ m-2，代入上式得： 13S 四边形 BMC
12、A=-m2-4m+5=-（m+2） 2+9，当 m=-2时，四边形 BMCA面积有最大值，最大值为 9（3）假设存在这样的Q如答图 2所示，设直线 x=-2与 x轴交于点 G，与直线 AC交于点 F设直线 AC的解析式为 y=kx+b，将 A（1，0）、C（0，-2）代入得：，0kb解得：k=2，b=-2，直线 AC解析式为：y=2x-2，令 x=-2，得 y=-6，F（-2，-6），GF=6在 RtAGF 中，由勾股定理得：AF= = 2AGF2365设 Q（-2，n），则在 RtAGF 中，由勾股定理得：OQ= = 2OQF4n设Q 与直线 AC相切于点 E，则 QE=OQ= 24n在 R
13、tAGF 与 RtQEF 中，AGF=QEF=90，AFG=QFE，RtAGFRtQEF， ，即 = ，AFGQE356n24化简得：n 2-3n-4=0，解得 n=4或 n=-1存在一个以 Q点为圆心，OQ 为半径且与直线 AC相切的圆，点 Q的坐标为（-2，4）或（-2，-1）点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度第（2）问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决；第（3）问为存在型问题，首先假设存在，然后利用已知条件，求出符合条件的点
14、Q坐标对应训练4 （2017张家界）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象过点 C（0，1），顶点为Q（2，3），点 D在 x轴正半轴上，且 OD=OC（1）求直线 CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线 CD绕点 C逆时针方向旋转 45所得直线与抛物线相交于另一点 E，求证：CEQCDO；（4）在（3）的条件下，若点 P是线段 QE上的动点，点 F是线段 OD上的动点，问：在 P点和 F点移动过程中，PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由4解：（1）C（0，1），OD=OC，D 点坐标为 （1，0）设直线 CD的解析式为 y=kx+b
15、（k0），将 C（0，1），D（1，0）代入得： ，10bk解得：b=1，k=-1，直线 CD的解析式为：y=-x+1（2）设抛物线的解析式为 y=a（x-2） 2+3，将 C（0，1）代入得：1=a（-2） 2+3，解得 a=- 1y=- （x-2） 2+3=- x2+2x+1 1（3）证明：由题意可知，ECD=45，OC=OD，且 OCOD，OCD 为等腰直角三角形，ODC=45，ECD=ODC，CEx 轴，则点 C、E 关于对称轴（直线 x=2）对称，点 E的坐标为（4，1）如答图所示，设对称轴（直线 x=2）与 CE交于点 F，则 F（2，1），ME=CM=QM=2，QME 与QMC
16、均为等腰直角三角形，QEC=QCE=45又OCD 为等腰直角三角形，ODC=OCD=45，QEC=QCE=ODC=OCD=45，CEQCDO（4）存在如答图所示，作点 C关于直线 QE的对称点 C，作点 C关于 x轴的对称点 C，连接CC，交 OD于点 F，交 QE于点 P，则PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF 的周长等于线段 CC的长度（证明如下：不妨在线段 OD上取异于点 F的任一点 F，在线段 QE上取异于点 P的任一点 P，连接 FC，FP，PC由轴对称的性质可知，PCF的周长=FC+FP+PC；而 FC+FP+PC是点 C，C之间的折线段，由两点之间线
17、段最短可知：FC+FP+PCCC，即PCF的周长大于PCE 的周长） 如答图所示，连接 CE，C，C关于直线 QE对称，QCE 为等腰直角三角形，QCE 为等腰直角三角形，CEC为等腰直角三角形，点 C的坐标为（4，5）；C，C关于 x轴对称，点 C的坐标为（-1，0）过点 C作 CNy 轴于点 N，则 NC=4，NC=4+1+1=6，在 RtCNC中，由勾股定理得：CC= 2224613NC综上所述，在 P点和 F点移动过程中，PCF 的周长存在最小值，最小值为 2 【聚焦山东中考】1 （2017淄博）如图，RtOAB 的顶点 A（-2，4）在抛物线 y=ax2上，将RtOAB 绕点 O顺时
18、针旋转 90，得到OCD，边 CD与该抛物线交于点P，则点 P的坐标为（ ）A （ ， ） B （2，2） C （ ，2） D （2， ）22（2017滨州）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形其中，抽屉底面周长为 180cm，高为 20cm请通过计算说明，当底面的宽 x为何值时，抽屉的体积 y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）2解：已知抽屉底面宽为 x cm，则底面长为 1802-x=（90-x）cm由题意得：y=x（90-x）20=-20（x 2-90x）=-20（x-45） 2+40500当 x=45时，y 有最大值，最大值为 40500答：当抽屉底面宽为
19、 45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为 40500cm33（2017日照）一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车 100辆公司在经营中发现每辆车的月租金 x（元）与每月租出的车辆数（y）有如下关系：x 3O00 3200 3500 4000y 100 96 90 80（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数 y（辆）与每辆车的月租金 x（元）之间的关系式（2）已知租出的车每辆每月需要维护费 150元，未租出的车每辆每月需要维护费 50元用含 x（x3000）的代数式填表：租出的车辆数 未租出的车辆数 租出每辆车的月收益 所有未租出的车辆每月的维护费 （
20、3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元3解：（1）由表格数据可知 y与 x是一次函数关系，设其解析式为 y=kx+b由题： ，解之得： ，301296kb1506kby 与 x间的函数关系是 y=- x+16050（2）如下表： 租出的车辆数 - x+1601未租出的车辆数 x-60150租出的车每辆的月收益 x-150 所有未租出的车辆每月的维护费 x-3000（3）设租赁公司获得的月收益为 W元，依题意可得：W=（- x+160）（x-150）-（x-3000）150=（- x2+163x-24000）-（x-300
21、0）=- x2+162x-21000=- （x-4050） 2+30705150当 x=4050时，Wmax=307050，即：当每辆车的月租金为 4050元时，公司获得最大月收益 307050元故答案为：- x+160， x-601504 （2017枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c的图象与x轴交于 A、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0） ，与 y轴交于C（0，-3）点，点 P是直线 BC下方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式（2）连接 PO、PC，并把POC 沿 CO翻折，得到四边形 POPC，那么是否存在点 P，使四边形 POPC
22、为菱形？若存在，请求出此时点 P的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点 P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大？求出此时 P点的坐标和四边形 ABPC的最大面积4解：（1）将 B、C 两点的坐标代入得 ，解得： ；930-bc-23bc所以二次函数的表达式为：y=x 2-2x-3。（2）存在点 P，使四边形 POPC 为菱形；如图，设 P点坐标为（x，x 2-2x-3） ，PP交 CO于 E若四边形 POPC 是菱形，则有 PC=PO；连接 PP，则 PECO 于 E，OE=EC= ， y=- ； x 2-2x-3=-323解得 x1= ，x 2= （不合题意，舍去）010P 点的坐标
23、为（ ，- ） 。3（3）过点 P作 y轴的平行线与 BC交于点 Q，与 OB交于点 F，设 P（x，x 2-2x-3） ，易得，直线 BC的解析式为 y=x-3则 Q点的坐标为（x，x-3） ；S 四边形 ABPC=SABC +SBPQ +SCPQ= ABOC+ QPBF+ QPOF1212= 43+ (-x2+3x)3=- (x- )2+ 。3758当 x= 时，四边形 ABPC的面积最大此时 P点的坐标为( ，- )，四边形 ABPC的面积的最大值为 32147585 （2017潍坊）为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场，在 RtABC 内修建矩形水池
24、DEFG，使定点 D，E 在斜边 AB上，F，G 分别在直角边BC，AC 上；又分别以 AB，BC，AC 为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设瓷砖，其中 AB=24 米，BAC=60，设 EF=x米，DE=y 米3（1）求 y与 x之间的函数解析式；（2）当 x为何值时，矩形 DEFG的面积最大？最大面积是多少？（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当 x为何值时，矩形 DEFG的面积及等于两弯新月面积的 ？135解：（1）在 RtABC 中，ACB=90，AB=24 米，BAC=60，3AC= AB=12 米，BC= AC=36米，ABC=
25、30，2AD= = x，BE= = x，tan60DG3tan0EF3AD+DE+BE=AB， x+y+ x=24 ，33y=24 - x- x=24 - x，334即 y与 x之间的函数解析式为 y=24 - x（0x 18）；3（2）y=24 - x，矩形 DEFG的面积=xy=x（24 - x）=-3434x2+24 x=- （x-9） 2+108 ，43当 x=9米时，矩形 DEFG的面积最大，最大面积是 108 平方米；3（3）记 AC、BC、AB 为直径的半圆面积分别为 S1、S 2、S 3，两弯新月面积为 S，则 S1= AC 2， S2= BC 2， S3= AB 2，818A
26、C 2+BC2=AB2，S 1+S2=S3，S 1+S2-S=S3-SABC ，S=S ABC ，两弯新月的面积 S= ACBC= 12 36=216 （平方米）123如果矩形 DEFG的面积及等于两弯新月面积的 ，1那么- （x-9） 2+108 = 216 ，4331化简整理，得（x-9） 2=27，解得 x=93 ，符合题意所以当 x为（93 ）米时，矩形 DEFG的面积及等于两弯新月面积的 3 136 （2017烟台）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC是边长为 2的正方形，二次函数 y=ax2+bx+c的图象经过点 A，B，与 x轴分别交于点 E，F，且点 E的坐标为（- ，0） ，以 0C为直径作半圆，圆心为 D（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线 BE是D 的切线；（3）若直线 BE与抛物线的对称轴交点为 P，M 是线段 CB上的一个动点（点 M与点 B，C 不重合） ，过点 M作 MNBE 交 x轴与点 N，连结 PM，PN，设 CM的长为 t，PMN 的面积为
