1、 1一次函数 知识点1函数的概念：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量在一些变化过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量在某一变化过程中，有两个量，如 和 ，对于 的每一个值， 都有惟一的值与之对应，其中 是自变xyxyx量， 是因变量，此时称 是 的函数yy1：下列各图给出了变量 x 与 y 之间的函数是：【 】2表示方法（1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法如： ， 30St2R（2）列表法：通过列表表示函数的方法（3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法3关于函数的关系式(解析式)的理解：（1）函数关系式是等式例如 就是一个函数关系式4yx（2
2、）函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数 通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数 例如： 中 是自变量， 是 的函数24yxyx（3）函数关系式在书写时有顺序性 例如： 是表示 是 的函数，若写成 就表示 是 的函数 1yxyx13yxxy（4）求 与 的函数关系时，必须是只用变量 的代数式表示 ，得到的等式右边只含 的代数式x24自变量的取值范围：很多函数中，自变量由于受到很多条件的限制，有自己的取值范围，例如 中，自变量 受到开1yxx平方运算的限制，有 即 ；10x当汽车行进的速度为每小时 公里时，它行进的路程 与时间 的关系式为 ；这里 的实际意义影8st8
3、0stt响 的取值范围 应该为非负数，即 ttt在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面：（1）整式型：一切实数（2）根式型：当根指数为偶数时，被开方数为非负数（3）分式型：分母不为 0（4）复合型：不等式组（5）应用型：实际有意义即可例题 4：函数 中的自变量 x 的取值范围是【 】12xyA、x2 B、x1 C、x2 且 x1 D、x2 且 x1例题 5：函数 中的自变量 x 的取值范围为_42y例题 6：函数 中的自变量 x 的取值范围为_781x例题 7：若等腰三角形周长为 30，一腰长为 a，底边长为 L，则 L 关于 a 的函数解析式为 .5函数图象：函数的图象是由平面直角中的
4、一系列点组成的6函数图像的位置决定两个函数的大小关系：（1）图像 在图像 的上方1y221y（2）图像 在图像 的下方 y21x2x1y xO y21x2x1y xO3（3）特别说明：图像 在 x 轴上方 ；图像 在 x 轴下方y0yy0y例题 8：直线 l1：yk 1xb 与直线 l2：yk 2xc 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 x的不等式 k1xbk 2xc 的解集为【 】A、x1 B、x1 C、x2 D、x2例题 9：如图，直线 与 轴交于点 ，关于 的不等式 的解集是【 (0)ykxbx(30)， x0kb】A B C D3x3xxx7描点法画函数图象的步骤：（1）列表
5、； （2）描点； （3）连线例题 10：画出函数 的图像42y8函数解析式与函数图象的关系：（1）满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；（2）函数图象上点的坐标满足函数解析式9验证一个点是否在图像上方法：代入、求值、比较、判断例题 11：下列各点中，在反比例函数 y 图象上的是【 】6xA （2，3） B （2，3） C （1，6） D （1，6）10一次函数及其性质知识点一：一次函数的定义一般地，形如 （ ， 是常数， ）的ykxb0k4函数，叫做一次函数，当 时，即 ，这时即是前一节所学过的正比例函数0bykx一次函数的解析式的形式是 ，要判断一个函数是否是一次函数，就是判
6、断是否能化成以上形b式当 ， 时， 仍是一次函数0bkykx当 ， 时，它不是一次函数正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数知识点二：一次函数的图象及其画法一次函数 （ ， ， 为常数）的图象是一条直线ykxb0kb由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可如果这个函数是正比例函数，通常取 ， 两点；0， 1k，如果这个函数是一般的一次函数（ ） ，通常取 ， ，即直线与两坐标轴的交点b0b， 0k，由函数图象的意义知，满足函数关系式 的点 在其对应的图象上，这个图象就是一条直ykxy，线 ，反之，直线 上的点的坐标 满足 ，也
7、就是说，直线 与 是一一对应的，所llx， blykxb以通常把一次函数 的图象叫做直线 ： ，有时直接称为直线 ykxblykx知识点三：一次函数的性质当 时，一次函数 的图象从左到右上升， 随 的增大而增大；0kykxbyx当 时，一次函数 的图象从左到右下降， 随 的增大而减小知识点四：一次函数 的图象、性质与 、 的符号ykxbkb一次函数 0x0k0k， 符号kb0bb0bb0b5图象OxyyxOOxyyxOOxyyxO性质 随 的增大而增大yx 随 的增大而减小yx字母 k，b 的作用：k 决定函数趋势，b 决定直线与 y 轴交点位置，也称为截距.倾斜度：|k|越大，越接近 y 轴
8、；|k|越小，越接近 x 轴图像的平移：b0 时，将直线 ykx 的图象向上平移 b 个单位，对应解析式为：ykxbb0 时，将直线 ykx 的图象向下平移 个单位，对应解析式为：ykxb口诀：“上下”将直线 ykx 的图象向左平移 m 个单位，对应解析式为：yk（xm）将直线 ykx 的图象向右平移 m 个单位，对应解析式为：yk（xm）口诀：“左右”知识点五：用待定系数法求一次函数的解析式定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法用待定系数法求函数解析式的一般步骤：根据已知条件写出含有待定系数的解析式；将 的几对值，或图象上的几个点
9、的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或xy，方程组；解方程（组） ，得到待定系数的值；将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式例题 12：一次函数 的图象只经过第一、二、三象限，则【 】ykxbA B C D0kb， 0， 0kb， 0kb，例题 13：如果一次函数 的图象经过第一象限，且与 轴负半轴相交，那么【 】ykxyA ， B ， C ， D ，kbkk例题 14：已知一次函数的图象过点（3，5）与 （4，9） ，求该函数的图象与 轴交点的坐标.y6例题 15：已知一次函数 ，试说明：不论 k 为何值，这条直线总要经过一01)3()12( kyxk
10、个定点，并求出这个定点.例题 16：一次函数 yaxb 的图像关于直线 yx 轴对称的图像的函数解析式为_ _ 例题 17：某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往返于乌鲁木齐市和石河子市两地，出租车比公共汽车多往返一趟，如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程 （单位：千米）与所用时间 （单yx位：小时）的函数图象已知公共汽车比出租车晚 1 小时出发，到达石河子市后休息 2 小时，然后按原路原速返回，结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐早 1 小时（1）请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程 （千米）与所用时间 （小时）的函数图象yx（2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）（3）求两车最后
11、一次相遇时，距乌鲁木齐市的路程例题 18：已知某一次函数当自变量取值范围是 2y6 时，函数值的取值范围是 5x9求此一次函数的解析式7例题 19：已知一次函数 yax4 与 ybx2 的图象在 x 轴上相交于同一点,则 的值是【 】baA、4 B、2 C、 D、 12 12例题 20：求直线 y2x1 与两坐标轴所围成的三角形面积.11直线 （ ）与 （ ）的位置关系1bxky02bxky0（1）两直线平行 且2k21（2）两直线相交 1（3）两直线重合 且2k21b（4）两直线垂直 1例题 21：已知一次函数 ，另一条直线与之平行，且与坐标轴所围成的三角形面积为 8，求此一xy次函数解析式.12一次函数与一元一次方程的关系：直线 与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 的解.求直线 与ybk0x（ ） b0()kxybkxx 轴交点时，可令 ，得到方程 ，解方程得 ，直线 交 x 轴于 ，yb0kxy(,0)就是直线 与 x 轴交点的横坐标.bkbk13一次函数与一元一次不等式的关系：任何一元一次不等式都可以转化为 或 ( 为常数， )的形式，所以解一元一次ab0xaxb、 0a不等式可以看作：当一次函数值大（小）于 0 时，求自变量相应的取值范围.
