1、二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)考点 1：二次函数的图象和性质一、考点讲解：1二次函数的定义：形如 （a 0，a，b，c 为常数）的函数为二次函数xy22二次函数的图象及性质： 二次函数 y=ax2 (a0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是 y 轴；当 a0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当 a0 时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大y=a(x h) 2k 的对称轴是 x=h，顶点坐标是（h，k） 。 二次函数 的图象是一条抛物线顶点为（ ， ） ，对称轴 x=cbxay2 2ba24c；当 a0 时，抛物线开口向上，图象有最低点，且 x
2、，y 随 x 的增大而增大，2bx ，y 随 x 的增大而减小；当 a0 时，抛物线开口向下，图象有最高点，且 x， y 随 x 的增大而减小，x ，y 随 x 的增大而增大a2b 当 a0 时，当 x= 时，函数有最小值 ；当 a0 时，当 x= 时，函数有a24cb2ba最大值 。24cb3图象的平移：将二次函数 y=ax2 (a0）的图象进行平移，可得到 y=ax2c，y=a( xh)2，y=a( xh) 2 k 的图象 将 y=ax2 的图象向上(c0）或向下(c0)或向下(k0) 平移|k|个单位，即可得到 y=a(x h)2 +k 的图象，其顶点是（ h，k） ，对称轴是直线 x=
3、h，形状、开口方向与抛物线 y=ax2 相同注意：二次函数 y=ax2 与 y=ax 2 的图像关于 x 轴对称。平移的简记口诀是“上加下减，左加右减” 。二、经典考题剖析： 【考题】.抛物线 y= 4(x+2)2+5 的对称轴是_【考题 2】函数 y= x24 的图象与 y 轴的交点坐标是（ ）A.（2，0） B.（2，0） C.（0，4） D.（0，4）【考题】在平面直角坐标系内，如果将抛物线 向右平移 2 个单位，向下平移 32xy个单位，平移后二次函数的关系式是（） 3)2(xy 3)2(xy 答案：。【考题】 （2009、贵阳）已知抛物线 的部分图象21(4)3yx（如图 1-2-1
4、） ，图象再次与 x 轴相交时的坐标是（ ） A （5，0） B.（6，0） C （7，0） D.（8，0）解：C 点拨：由 ，可知其对称轴为 x=4,而图象与 x 轴已交于(1 ，0)，则与 x 轴的另一21(4)3yx交点为(7，0) 。参考解题小诀窍。考点 2：二次函数的图象与系数的关系一、考点讲解：1、a 的符号：a 的符号由抛物线的开口方向决定抛物线开口向上，则 a0；抛物线开口向下，则 a02、b 的符号由对称轴决定，若对称轴是 y 轴，则 b=0；若抛物线的顶点在 y 轴左侧，顶点的横坐标 0，即 0，则 a、b 为同号；若抛物线的顶点在 y 轴右侧，顶点的横2b坐标 0，即 0
5、则 a、b 异号间“左同右异” a3c 的符号：c 的符号由抛物线与 y 轴的交点位置确定若抛物线交 y 轴于正半，则c0，抛物线交 y 轴于负半轴则 c0；若抛物线过原点，则 c=04的符号：的符号由抛物线与 x 轴的交点个数决定若抛物线与 x 轴只有一个交点，则=0；有两个交点，则0没有交点，则0 5、a+b+c 与 a b+c 的符号：a+b+c 是抛物线 (a0）上的点(1，a+b+c）的纵cbxay2坐标，ab+c 是抛物线 (a0）上的点（ 1，abc）的纵坐标根据cbxay2点的位置，可确定它们的符号.二、经典考题剖析： 【考题 1】 （2009、潍坊）已知二次函数 的图象如图
6、cbxay2l22 所示，则 a、b、c 满足（ ）Aa0，b0，c0 Ba 0，b0，c0Ca 0，b 0，c0 Da 0，b0，c0解：A 点拨：由抛物线开口向下可知 a0；与 y 轴交于正半轴可知 c0；抛物线的对称轴在 y轴左侧，可知 0，则 b0故选 A 2【考题 2】 （2009、天津）已知二次函数 (a0）且 a0，a b+c0，则一定cbxy2有（ ） Ab 24ac0 Bb 24ac0Cb 24ac 0 Db 24ac0解：A 点拨： a0，抛物线开口向下， 经过（1，ab+c）点，因为cbxy2ab+c0，所以（ 1，a b+c）在第二象限，所以抛物线与 x 轴有两个交点，
7、所以b24ac0，故选 A 【考题】 （2009、重庆）二次函数 的图象如图 1210，则cbxay2点（b， ）在（ ）caA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限点拨：抛物线开口向下，所以 a 0, 顶点在 y 轴右侧，a 、b 为异号，所以 b0，抛物线交 y 轴于正半轴，所以 c0，所以 0，所以 M 在第四象限ca考点 3：二次函数解析式求法一、考点讲解：1二次函数的三种表示方法：表格法：可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系；图象法：可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势；表达式：可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系2二次函数表达式的求法：一般式法：若已知抛
8、物线上三点坐标，可利用待定系数法求得 ；将已知的cbxay2三个点的坐标分别代入解析式，得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可。顶点式法：若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：其中顶点为(h，k) ，对称轴为直线 x=h；2()yaxhk交点式法：若已知抛物线与 x 轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用交点式：,其中与 x 轴的交点坐标为（x 1，0） ， （x 2，0） 。12()解题小诀窍：在求二次函数解析式时，要灵活根据题目给出的条件来设解析式。例如，已知二次函数的顶点在坐标原点可设 ；已知顶点（0，c） ，即在 y 轴上时可设2ay；已知顶点（ h，0）即顶点在 x 轴
9、上可设 .caxy2 2)(hxay注意：当涉及面积周长的问题时，一定要注意自变量的取值范围。二、经典考题剖析：【考题 1】 （2009、长沙）如图 1216 所示，要在底边 BC=160cm，高 AD=120cm 的ABC 铁皮余料上，截取一个矩形 EFGH，使点 H 在AB 上，点 G 在 AC 上，点 E、F 在 BC 上，AD 交 HG 于点 M，此时。AMAD=HGBC(1)设矩形 EFGH 的长 HG=y，宽 HE=x，确定 y 与 x 的函数关系式；(2)当 x 为何值时，矩形 EFGH 的面积 S 最大？解：AHG ABC ，所以 ，所以 = ，所以AMHGDBC120-x12
10、0 y160 16034x矩形的面积 S=xy，S= =224160(3xx360)24(60)8,3x所以 x=60cm, S 最大=4800 2.【考题 2】在直角坐标系中，AOB 的顶点坐标分别为 A（0，2） ，O（0，0） ，B（4，0） ，把AOB 绕 O 点按逆时针方向旋转 900到COD。（1）求 C，D 两点的坐标；（2）求经过 C，D，B 三点的抛物线解析式。解：（1）C 点（2,0） ，D 点（0，4） 。（2）设二次函数解析式为 ，由点 C，B 两点的坐标，得12()yax。)4(xay将点 D（0,4）代入得 a= ，即二次函数解析式为 。2 )4(21xy【考题 3
11、】如图，抛物线的对称轴是直线 x=1，它与 x 轴交于 A,B两点，与 y 轴交于 C 点。点 A,C 的坐标分别是(1，0)，(0， )。23（1）求此抛物线对应的函数解析式；（2）若点 P 是抛物线上位于 x 轴上方的一个动点，求ABP 的面积的最大值。解：(1)已知抛物线的对称轴为 x=1，设抛物线解析式为 ，将点 A(1，0)，kxay2)1(C(0， )代入解析式，得 解得 ， ，2323,04ka2k2即 。1xy（2）A 点横坐标为1，对称轴为 x=1，则点 B 的横坐标为 3，设点 P 横坐标是m（1m3） ，则点 P 纵坐标 。 （ 0）21myppy)32(42yBSpAP
12、 4)1(2当 m=1 时，S 有最大值，为 4。解题小诀窍：当二次函数图像上出现动点时，可以先设出动点的横坐标，然后利用二次函数的解析式将动点的纵坐标表示出来，如上面点 P 的纵坐标的表示方法。 考点 4：根据二次函数图象解一元二次方程的近似解一、考点讲解：1二次函数与一元二次方程的关系：（1）一元二次方程 就是二次函数 当函数 y 的值为 0 时的情况20axbccbxay2（2）二次函数 的图象与 x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、y没有交点；当二次函数 的图象与 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当 y=0 时cba2自变量 x 的值，即一元二次方程 ax2bxc=0 的根
13、（3）当二次函数 的图象与 x 轴有两个交点时，则一元二次方程cxy2有两个不相等的实数根；当二次函数 的图象与 x 轴有一个交点cbay2 cbay2时，则一元二次方程 ax2bxc0 有两个相等的实数根；当二次函数 yax 2+ bx+c 的图象与 x 轴没有交点时，则一元二次方程 没有实数根x2解题小诀窍：抛物线与 x 轴的两个交点间的距离可以用| x 1x 2|来表示。二、经典考题剖析： 【考题 1】 （2009、湖北模拟）关于二次函数 的图象有下列命题：当 c=0cbxay2时，函数的图象经过原点；当 c0 且函数的图象开口向下时，ax bxc=0 必有两个不等实根；函数图象最高点的
14、纵坐标是 ；当 b=0 时，函数的图象关于 y 轴对24称其中正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D4解：C 点拨：显然正确；由 a0 及 c0，得=b 2 -4ac0所以正确由于 a 的符号不定，所以顶点是最高点或最低点不定所以不正确因为 b=0 时，对称轴为x0所以正确 【考题 2】 （2009、天津）已知抛物线 yx 22x8， （1）求证：该抛物线与 x 轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A、B，且它的顶点为 P，求ABP 的面积解：（1）证明：因为对于方程 x22x8=0，其判别式=（2） 2 4（8）360，所以方程 x22x8=0 有两个实根，抛物线
15、y= x22x8 与 x 轴一定有两个交点；（2）解：因为方程 x22x8=0 有两个根为 x1=2，x 2=4，所以 AB=| x1x 2|6又抛物线顶点 P 的纵坐标 yP = =9，所以 SABP= AB|yP|=27。 4acb12点拨：本题主要考查了二次函数，一元二次方程等知识及它们的综合应用 考点 5：用二次函数解决实际问题一、考点讲解：1二次函数的应用：（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值；（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值注意：二次函数实际问
16、题主要分为两个方面的问题，几何图形面积问题和经济问题。解几何图形面积问题时要把面积公式中的各个部分分别用同一个未知数表示出来，如三角形 S=，我们要用 x 分别把 h， l 表示出来。经济问题：总利润=总销售额总成本；总利润=hl21单件利润销售数量。解最值问题时，一定要注意自变量的取值范围。分为三类：对称轴在取值范围内；取值范围在对称轴左边；取值范围在对称轴右边。2解决实际问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等二、经典考题剖析： 【考题 1】 （20
17、09、贵阳，12 分）某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数；（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？解：（ 1） 设 此 一 次 函 数 解 析 式 为 .ykxb则 ， 解 得 ： k= 1,b=40, 即 ： 一 次 函 数 解 析 式 为 520kb40yx（ 2） 设 每 件 产 品 的 销 售 价 应 定 为 x 元 ， 所 获 销 售 利 润 为 w 元 ， w =2(1)
18、45xx= 。 产 品 的 销 售 价 应 定 为 25 元 ， 此 时 每 日 获 得 最 大 销 售 利 润 为 225 元2(5)x点拨：求（1） （2）中解析式时，可选取表格中的任意两组值即可 【考题 4】学校要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 OAO恰好在水面中心，安置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下且在过OA 的任意平面上的抛物线如图 l236 所示，建立平面直角坐标系（如图 l237） ，水流喷出的高度 y(m)与水面距离 x(m)之间的函数关系式是 ，请回答下列53yx问题：（1）花形柱子 OA 的高度；（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外？把 代入抛物线 ，得 OA=1.5 米 0x253yx1.52y把 代入 ，得 ， 。y2 0x2530x ， 又 0， 。 OB=3 ， 半径至少是 3 米 13x2x3点拨：以学校要建圆形喷水池为背景材料，将学生送到了一个“设计师”的角度，运用二次函数解题时，应注意实际情况中的取值
