1、与二次函数有关的中考综合题一解答题（共 30 小题）1 （雅安）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（ 3，0） ，B（1，0） ，C （0，3）三点，其顶点为 D，对称轴是直线 l，l 与 x 轴交于点 H（1）求该抛物线的解析式；（2）若点 P 是该抛物线对称轴 l 上的一个动点，求 PBC 周长的最小值；（3）如图（2） ，若 E 是线段 AD 上的一个动点（ E 与 A、D 不重合） ，过 E 点作平行于 y 轴的直线交抛物线于点F，交 x 轴于点 G，设点 E 的横坐标为 m，ADF 的面积为 S求 S 与 m 的函数关系式；S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点
2、 E 的坐标； 若不存在，请说明理由2 （孝感）如图 1，已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 BC 上，若AEF=90，且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F（1）图 1 中若点 E 是边 BC 的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明 AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明） ；（2）如图 2，若点 E 在线段 BC 上滑动（不与点 B，C 重合） AE=EF 是否总成立？请给出证明；在如图 2 的直角坐标系中，当点 E 滑动到某处时，点 F 恰好落在抛物线 y=x2+x+1 上，求此时点 F 的坐标3 （铜仁地区）铜仁市某电解金属锰厂
3、从今年 1 月起安装使用回收净化设备（安装时间不计） ，这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的 1 至 x 月的利润的月平均值 w（万元）满足 w=10x+90（1）设使用回收净化设备后的 1 至 x 月的利润和为 y，请写出 y 与 x 的函数关系式（2）请问前多少个月的利润和等于 1620 万元？4 （泰州）已知：关于 x 的二次函数 y=x2+ax（a0） ，点 A（n，y 1） 、B（n+1，y 2） 、C （n+2，y 3）都在这个二次函数的图象上，其中 n 为正整数（1）y 1=y2，请说明 a 必为奇数；（2）设 a=11，求使 y1y2y3 成立的
4、所有 n 的值；（3）对于给定的正实数 a，是否存在 n，使 ABC 是以 AC 为底边的等腰三角形？如果存在，求 n 的值（用含 a 的代数式表示） ；如果不存在，请说明理由5 （十堰）已知抛物线 y=x22x+c 与 x 轴交于 AB 两点，与 y 轴交于 C 点，抛物线的顶点为 D 点，点 A 的坐标为（1， 0） （1）求 D 点的坐标；（2）如图 1，连接 AC，BD 并延长交于点 E，求E 的度数；（3）如图 2，已知点 P（ 4，0） ，点 Q 在 x 轴下方的抛物线上，直线 PQ 交线段 AC 于点 M，当PMA=E 时，求点 Q 的坐标6 （晋江市）将矩形 OABC 置于平面
5、直角坐标系中，点 A 的坐标为（0，4） ，点 C 的坐标为（m，0） （m 0） ，点D（m，1）在 BC 上，将矩形 OABC 沿 AD 折叠压平，使点 B 落在坐标平面内，设点 B 的对应点为点 E（1）当 m=3 时，点 B 的坐标为 _ ，点 E 的坐标为 _ ；（2）随着 m 的变化，试探索：点 E 能否恰好落在 x 轴上？若能，请求出 m 的值；若不能，请说明理由（3）如图，若点 E 的纵坐标为1，抛物线 （a0 且 a 为常数）的顶点落在ADE 的内部，求a 的取值范围7 （济南）如图 1，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴相交于点 A，C ，与 y 轴相交于点 B，连接
6、 AB，BC，点 A 的坐标为（2，0） ，tan BAO=2，以线段 BC 为直径作 M 交 AB 与点 D，过点 B 作直线 lAC，与抛物线和M 的另一个交点分别是 E，F（1）求该抛物线的函数表达式；（2）求点 C 的坐标和线段 EF 的长；w W w .X k b 1.c O m（3）如图 2，连接 CD 并延长，交直线 l 于点 N，点 P，Q 为射线 NB 上的两个动点（点 P 在点 Q 的右侧，且不与N 重合） ，线段 PQ 与 EF 的长度相等，连接 DP，CQ ，四边形 CDPQ 的周长是否有最小值？若有，请求出此时点P 的坐标并直接写出四边形 CDPQ 周长的最小值；若没
7、有，请说明理由8 （湘潭）如图，抛物线 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，已知 B 点坐标为（4，0） （1）求抛物线的解析式；（2）试探究ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点，求 MBC 的面积的最大值，并求出此时 M 点的坐标9 （宁德）如图，矩形 OBCD 的边 OD、OB 分别在 x 轴正半轴和 y 轴的负半轴上，且 OD=10，OB=8 ，将矩形的边 BC 绕点 B 逆时针旋转，使点 C 恰好与 x 轴上的点 A 重合（1）直接写出点 A、B 的坐标：A（ _ ， _ ） 、B（ _ ， _ ） ；（2
8、）若抛物线 y= x2+bx+c 经过 A、B 两点，则这条抛物线的解析式是 _ ；（3）若点 M 是直线 AB 上方抛物线上的一个动点，作 MNx 轴于点 N，问是否存在点 M，使 AMN 与 ACD 相似？若存在，求出点 M 的横坐标；若不存在，说明理由；（4）当 x7 时，在抛物线上存在点 P，使 ABP 得面积最大，求 ABP 面积的最大值10 （眉山）已知：如图，直线 y=3x+3 与 x 轴交于 C 点，与 y 轴交于 A 点，B 点在 x 轴上，OAB 是等腰直角三角形（1）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）若直线 CDAB 交抛物线于 D 点，求 D 点的坐标； X
9、|k |B | 1 . c |O |m（3）若 P 点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么PAB 是否有最大面积？若有，求出此时 P 点的坐标和PAB 的最大面积；若没有，请说明理由11 （莱芜）如图，顶点坐标为（2，1）的抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 y 轴交于点 C（0，3） ，与 x 轴交于 A、B两点（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线 BC 交于点 D，连接 AC、AD ，求ACD 的面积；（3）点 E 为直线 BC 上一动点，过点 E 作 y 轴的平行线 EF，与抛物线交于点 F问是否存在点 E，使得以D、E、F 为顶点的三角形与 BCO 相似？若存在，求
10、点 E 的坐标；若不存在，请说明理由12 （河池）如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC ，以底边 BC 的垂直平分线和 BC 所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线 y= x2+ x+4 经过 A、B 两点（1）写出点 A、点 B 的坐标；（2）若一条与 y 轴重合的直线 l 以每秒 2 个单位长度的速度向右平移，分别交线段 OA、CA 和抛物线于点 E、M和点 P，连接 PA、PB设直线 l 移动的时间为 t（0t 4）秒，求四边形 PBCA 的面积 S（面积单位）与 t（秒）的函数关系式，并求出四边形 PBCA 的最大面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点 P，使得PAM
11、是直角三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由13 （贵港）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+3 的顶点为 M（2， 1） ，交 x 轴于点 A、B 两点，交 y 轴于点 C，其中点 B 的坐标为（3，0） （1）求抛物线的解析式；（2）设经过点 C 的直线与该抛物线的另一个点为 D，且直线 CD 和直线 CA 关于直线 CB 对称，求直线 CD 的解析式；（3）在该抛物线的对称轴上存在点 P，满足 PM2+PB2+PC2=35，求点 P 的坐标；并直接写出此时直线 OP 与该抛物线交点的个数w W w .x K b 1.c o M14 （抚顺）如
12、图，抛物线的对称轴是直线 x=2，顶点 A 的纵坐标为 1，点 B（4，0）在此抛物线上（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线对称轴与 x 轴交点为 C，点 D（x，y）为抛物线上一动点，过点 D 作直线 y=2 的垂线，垂足为E用含 y 的代数式表示 CD2，并猜想 CD2 与 DE2 之间的数量关系，请给出证明；在此抛物线上是否存在点 D，使EDC=120 ？如果存在，请直接写出 D 点坐标；如果不存在，请说明理由15 （恩施州）如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 与一直线相交于 A（ 1，0） ，C（2，3）两点，与 y 轴交于点 N其顶点为 D（1）抛物线及直线 AC 的函数关系
13、式；（2）设点 M（3，m） ，求使 MN+MD 的值最小时 m 的值；（3）若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 B，E 为直线 AC 上的任意一点，过点 E 作 EFBD 交抛物线于点 F，以 B，D，E，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 E 的坐标；若不能，请说明理由；（4）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求APC 的面积的最大值16 （大连）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（ ，0） 、B（3 ，0） 、C （0，3）三点，线段 BC 与抛物线的对称轴相交于 D该抛物线的顶点为 P，连接 PA、AD、DP，线段 AD 与 y 轴相交于点 E
14、（1）求该抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系中是否存在点 Q，使以 Q、C、D 为顶点的三角形与ADP 全等？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由；（3）将CED 绕点 E 顺时针旋转，边 EC 旋转后与线段 BC 相交于点 M，边 ED 旋转后与对称轴相交于点 N，连接 PM、 DN，若 PM=2DN，求点 N 的坐标（直接写出结果） 17 （朝阳）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC 的斜边 BC 在 x 轴上，直角顶点 A 在 y 轴的正半轴上，A（0，2） ，B（ 1，0） （1）求点 C 的坐标；（2）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式和对称轴；（3）设点
15、P（m ，n）是抛物线在第一象限部分上的点， PAC 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数关系式，并求使 S最大时点 P 的坐标；（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点 M，使得MPC（P 为上述（3）问中使 S 最大时的点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由18 （徐州）如图，二次函数 y= x2+bx 的图象与 x 轴交于点 A（ 3，0）和点 B，以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD，点 P 是 x 轴上一动点，连接 DP，过点 P 作 DP 的垂线与 y 轴交于点 E（1）请直接写出点 D 的坐标： _ ；（2）当点 P 在线段 AO（点
16、 P 不与 A、O 重合）上运动至何处时，线段 OE 的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点 P，使PED 是等腰三角形？若存在，请求出点 P 的坐标及此时PED 与正方形 ABCD 重叠部分的面积；若不存在，请说明理由19 （台州）如图 1，已知直线 l：y= x+2 与 y 轴交于点 A，抛物线 y=（x1） 2+k 经过点 A，其顶点为 B，另一抛物线 y=（x h） 2+2h（h1）的顶点为 D，两抛物线相交于点 C（1）求点 B 的坐标，并说明点 D 在直线 l 上的理由；（2）设交点 C 的横坐标为 m交点 C 的纵坐标可以表示为： _ 或 _ ，由此进一步探究 m
17、关于 h 的函数关系式；如图 2，若ACD=90 ，求 m 的值20 （齐齐哈尔）如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（4，0） ，B（ 1，3） ，C（3，3）（1）求此二次函数的解析式；（2）设此二次函数的对称轴为直线 l，该图象上的点 P（ m，n）在第三象限，其关于直线 l 的对称点为 M，点 M关于 y 轴的对称点为 N，若四边形 OAPN 的面积为 20，求 m、n 的值21 （宁夏）如图，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交 C 点，点 A 的坐标为（2，0） ，点 C 的坐标为（0，3）它的对称轴是直线 x=（1）求抛物线的解析式；（2）M 是
18、线段 AB 上的任意一点，当MBC 为等腰三角形时，求 M 点的坐标22 （唐山一模）某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元经调查，种植亩数 y（亩）与补贴数额 x（元）之间大致满足如图 1 所示的一次函数关系随着补贴数额的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益 z（元）会相应降低，且 z 与 x 之间也大致满足 z=3x+3000（1）求出政府补贴政策实施后，种植亩数 y 与政府补贴数额 x 之间的函数关系式；（2）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（3）要使全市这种蔬
19、菜的总收益 W（元）最大，政府应将每亩补贴数额 X 定为多少？并求出总收益 W 的最大值（4）该市希望这种蔬菜的总收益不低于 7200 000 元，请你在坐标系中画出 3 中的函数图象的草图，利用函数图象帮助该市确定每亩补贴数额的范围，在此条件下要使总收益最大，说明每亩补贴数额应定为多少元合适？23 （上海模拟）某产品每千克的成本价为 20 元，其销售价不低于成本价，当每千克售价为 50 元时，它的日销售数量为 100 千克，如果每千克售价每降低（或增加）一元，日销售数量就增加（或减少）10 千克，设该产品每千克售价为 x（元） ，日销售量为 y（千克） ，日销售利润为 w（元） （1）求 y
20、 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）写出 w 关于 x 的函数解析式及函数的定义域；（3）若日销售量为 300 千克，请直接写出日销售利润的大小24 （溧水县二模）我区的某公司，用 1800 万元购得某种产品的生产技术、生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费 40 元经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在 100 元到 200 元之间为合理当单价在 100 元时，销售量为 20 万件，当销售单价超过 100 元，但不超过 200 元时，每件新产品的销售价格每增加 10 元，年销售量将减少 1 万件；设销售单价为 x（元） ，年销售量为 y（万件） ，
21、年获利为 W（万元） （年利润=年销售总额 生产成本投资成本）（1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）求第一年的年获利 W 与 x 之间的函数关系式，并请说明不论销售单价定为多少，该公司投资的第一年肯定是亏损的，最小亏损是少？（3）在使第一年亏损最小的前提下，若该公司希望到第二年的年底，弥补第一年的亏损后，两年的总盈利为 1490万元，且使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？25 （高淳县二模）某批发商以 40 元/千克的价格购入了某种水果 500 千克据市场预测，该种水果的售价 y（元/千克）与保存时间 x（天）的函数关系为 y=60+2x，但保存这批水果平均每天将损耗 10
22、千克，且最多能保存 8天另外，批发商保存该批水果每天还需 40 元的费用（1）若批发商保存 1 天后将该批水果一次性卖出，则卖出时水果的售价为 _ （元/千克） ，获得的总利润为 _ （元） ；（2）设批发商将这批水果保存 x 天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润 w（元）与保存时间 x（天）之间的函数关系式；（3）求批发商经营这批水果所能获得的最大利润26 （大丰市二模）某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算 1 次在 112 月份中，公司前 x 个月累计获得的总利润 y（万元）与销售时间 x（月）之间满足二次函数关系式 y=a（xh） 2+k，二次函数 y=
23、a（xh） 2+k 的一部分图象如图所示，点 A 为抛物线的顶点，且点 A、B、C 的横坐标分别为4、10、12，点 A、B 的纵坐标分别为16、20（1）试确定函数关系式 y=a（xh） 2+k；（2）分别求出前 9 个月公司累计获得的利润以及 10 月份一个月内所获得的利润；（3）在前 12 个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？27 （遵义）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（4， ） ，且与 y 轴交于点 C（0，2） ，与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边） （1）求抛物线的解析式及 A，B 两点的坐标；（2）在（
24、1）中抛物线的对称轴 l 上是否存在一点 P，使 AP+CP 的值最小？若存在，求 AP+CP 的最小值，若不存在，请说明理由；（3）以 AB 为直径的 M 相切于点 E，CE 交 x 轴于点 D，求直线 CE 的解析式28 （威海）如图，在平面直角坐标系中，直线 y= x+ 与直线 y=x 交于点 A，点 B 在直线 y= x+ 上，BOA=90抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A，O ，B，顶点为点 E（1）求点 A，B 的坐标；（2）求抛物线的函数表达式及顶点 E 的坐标；（3）设直线 y=x 与抛物线的对称轴交于点 C，直线 BC 交抛物线于点 D，过点 E 作 FEx 轴，交直线 AB 于点 F，连接 OD，CF ，CF 交 x 轴于点 M试判断 OD 与 CF 是否平行，并说明理由29 （呼和浩特）如图，已知二次函数的图象经过点 A（6，0） 、B（2，0）和点 C（0，8） （1）求该二次函数的解析式；
