1、 八下实数1实数知识点一、 【平方根】如果一个数 x 的平方等于 a，那么，这个数 x 就叫做 a 的平方根；也即，当 时，)0(2ax我们称 x 是 a 的平方根，记做： 。因此：)0(1、当 a=0 时，它的平方根只有一个，也就是 0 本身；2、当 a0 时，也就是 a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做： 。ax3、当 a0 时，也即 a 为负数时，它不存在平方根。例 1.（1） 的平方是 64，所以 64 的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。（3）若 的平方根是2，则 x= ； 的平方根是 x16（4）当 x 时， 有意义。x23（5）一个正数的平方根分别是 m
2、 和 m-4，则 m 的值是多少？这个正数是多少？知识点二、 【算术平方根】：1、如果一个正数 x 的平方等于 a，即 ，那么，这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记为：“ ”，读作，x2 a“根号 a”，其中，a 称为被开方数。特别规定： 0 的算术平方根仍然为 0。2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即： 。)(a3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为： ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：。a例 2.（1） 下列说法正确的是 （ ）A1 的立方根是 ； B ； （C）
3、、 的平方根是 ； （ D） 、0 没有平方根； 124813（2）下列各式正确的是（ ）A、 B、 C、 D、981.3.392725（3） 的算术平方根是 。2)(（4）若 有意义，则 _。xx（5）已知ABC 的三边分别是 且 满足 ，求 c 的取值范围。,cba0)4(32ba（7）如果 x、 y 分别是 4 的整数部分和小数部分。求 x y 的值.3（8）求下列各数的平方根和算术平方根.64； 129； 0.0004； (25) 2； 11. 八下实数21.44， 0，8， 4910， 441， 196， 10 4（9）( 64)2等于多少？( 2)2等于多少？（10） ( .7)2
4、等于多少？（11）对于正数 a，( )2等于多少？我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算.知识点三、 【开平方性质】(1) 94=_， 94=_；(2)(2) 16=_， 16=_；(3) 9=_， 9=_；(4)(4) 2516_， 2516=_.知识点四、 【立方根】：1、如果 x 的立方等于 a，那么，就称 x 是 a 的立方根，或者三次方根。记做： ，读作，3 次根号 a。注意：这a里的 3 表示的是根指数。一般的，平方根可以省写根指数，但是，当根指数在两次以上的时候，则不能省略。2、平方根与立方根：每个数都有立方根,并且
5、一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。例 3.（1） 64 的立方根是 （2）若 ，则 b 等于（ ） 9.28,.33abA. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000（3）下列说法中： 都是 27 的立方根， ， 的立方根是 2， 。y3644832其中正确的有 （ ）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个知识点五、 【无理数】：1、无限不循环小数叫做无理数；它必须满足“ 无限”以及“不循环” 这两个条件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率 以及含有 的一些数，如：2- ，3 等；（
6、2）开方开八下实数3不尽的数，如: 等；（3 ）特殊结构的数：如： 2.010 010 001 000 01（两个 1 之间依次多 1 个9,520）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如： 等；无理数也不一定带根号，如：92、 有理数与无理数的区别：（1 ）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（ 2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为 1 的分数） ，而无理数则不能写成分数形式。例 4.（1）下列各数：3.141、0.33333、 、 、 、 、0.3030003000003（相邻两个7525.33 之间 0 的个数逐次增加 2） 、其
7、中是有理数的有；是无理数的有。 （填序号）（2）有五个数:0.125125,0.1010010001,- , , 其中无理数有 ( )个43A 2 B 3 C 4 D 5 知识点六、 【实数】：1、有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是 0，最大的负整数是-1，最小的正整数是 1.2、实数的性质：实数 a 的相反数是-a；实数 a 的倒数是 （a0 ） ；实数 a 的绝对值|a|= ，它的几何意义1)0(a是：在数轴上的点到原点的距离。3、实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于 0，0 大于负数；正数大于
8、负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。 （在数轴上，右边的数总是大于左边的数） 。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。4、实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。例 5.（1）下列说法正确的是（ ） ；A、任何有理数均可用分数形式表示 ； B、数轴上的点与有理数一一对应 ；C、1 和 2 之间的无理数只有 ； D、不带根号的数都是有理数。2（2）a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )A、 B、 C、 D、baabbaab（3）如右图所示的数轴上，点 B 与点
9、C 关于点 A 对称，A、B 两点对应的实数是 和-1，则点 C 所对应的实数是3a 0 b八下实数4（ ）A. 1+ B. 2+ C. 2 -1 D. 2 +13333（4）实数 、 在轴上的位置如图所示，且 ，则化简 的结果为（ ）abbabaA B. C . D.2ba22（5）比较大小(填“” 或“”).3 ， ， ， ，1033076_7215（6）将下列各数： ，用“ ”连接起来；51,8,2_。（7）若 ，且 ，则： = 。,3ba0abba（8）计算：327815.041 323816125.0（9）已知： ，求代数式 的值。064.1,273yx 3245102yxo八下实数
10、5基础练习一一、选择题1.下列数中是无理数的是（ ） A.0.12 B. C.0 D.322722.下列说法中正确的是（ ）A.不循环小数是无理数 B.分数不是有理数 C.有理数都是有限小数 D.3.1415926 是有理数3.下列语句正确的是（ ）A.3.78788788878888 是无理数 B.无理数分正无理数、零、负无理数C.无限小数不能化成分数 D.无限不循环小数是无理数4.在直角 ABC 中， C=90， AC= ， BC=2，则 AB 为（ ）23A.整数 B.分数 C.无理数 D.不能确定5.面积为 6 的长方形，长是宽的 2 倍，则宽为（ ） A.小数 B.分数 C.无理数
11、D.不能确定6. 的化简结果是（ ） A.2 B.2 C.2 或2 D.42)(7.9 的算术平方根是（ ） A.3 B.3 C. D. 338.(11) 2的平方根是 A.121 B.11 C.11 D.没有平方根9.下列式子中，正确的是（ ）A. B. =0.6 C. =13 D. =656.32)1(610.72 的算术平方根是（ ） A. B.7 C. D.4714111.16 的平方根是（ ） A.4 B.24 C. D.2212.一个数的算术平方根为 a，比这个数大 2 的数是（ ）A.a+2 B. 2 C. +2 D.a2+2a13.下列说法正确的是（ ）A.2 是4 的平方根
12、B.2 是(2) 2的算术平方根 C.(2) 2的平方根是 2 D.8 的平方根是 414. 的平方根是（ ） A.4 B.4 C.4 D.21615. 的值是（ ） A.7 B.1 C.1 D.7916.下列各数中没有平方根的数是（ ）A.(2) 3 B.33 C.a0 D.（ a2+1）17. 等于（ ） A. a B. a C.a D.以上答案都不对18.如果 a(a0)的平方根是 m，那么（ ）A.a2=m B.a=m2 C. =m D. =maa八下实数619.若正方形的边长是 a,面积为 S，那么（ ）A.S 的平方根是 a B.a 是 S 的算术平方根 C.a= D.S= Sa二
13、、填空题1.在 0.351， ， 4.969696, 6.751755175551, 0, 5.2333, 5.411010010001中 ， 无 理 数 的 个 数 有_.22._小数或_小数是有理数，_小数是无理数.3.x2=8,则 x_分数，_整数，_有理数.(填“是”或“不是”)4.面积为 3 的正方形的边长_有理数；面积为 4 的正方形的边长_有理数.(填“是”或“不是”)5. 的平方根是_； 6.( )2的算术平方根是_；14 17.一个正数的平方根是 2a1 与 a+2，则 a=_，这个正数是_；8. 的算术平方根是_； 9.9 2 的算术平方根是_；2510. 的值等于_， 的
14、平方根为_； 11.(4) 2的平方根是_，算术平方根是_.44三.判断题1.0.01 是 0.1 的平方根.( )2.5 2的平方根为5.（ ）3.0 和负数没有平方根.（ ）4.因为 的平方根是 ,所以 = .（ ）16416415.正数的平方根有两个，它们是互为相反数.（ ）四、解答题1.已知：在数 ， , ,3.1416, ,0,42,(1) 2n,1.424224222中，432.13（1）写出所有有理数；（2）写出所有无理数；2.要切一块面积为 36 m2的正方形铁板，它的边长应是多少？3.已知某数有两个平方根分别是 a+3 与 2a15,求这个数.八下实数7分母有理化1分母有理化
15、定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用 来确定，如： ， ， 与 等分别互为有理化aa与 ba与 ba因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如 与 ， ，b与分别互为有理化因式。axbyaxby与例题：找出下列各式的有理化因式3分母有理化的方法与步骤：（1）先将分子、分母化成最简二次根式；（2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；（3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式。例题：把下列各式分母有理化12()3535(4)例题
16、：把下列各式分母有理化：（1） （3） （4） ab(2)ab12a2ba【练习】1找出下列各式的有理化因式(3)ab(4)235a2把下列各式分母有理化(5)ab()(2)5(3)710(4)3262(6)()axa2(3)557(4)()5(2)381八下实数82155273计算23211322534比较大小 与221(3)32(4)xy17535.把下列各式中根号外面的因式适当改变后移到根号里面：(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ；6275214ba326.计算： (1) ； (2) ； (3) ；(4) ； (5) ； (6) 4981342025.163246.
17、011027；64125xy1.计算2(5)xy63八下实数9(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； 5315)534()53()614(2134621专题讲解：类型一有关概念的识别1、实数的有关概念无理数即无限不循环小数，初中主要学习了四类：含 的数，如： 等，开方开不尽的数，如 等；12,32,6特定结构的数，例 0.010 010 001等；某些三角函数，如 sin60，cos45 等。判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如 是有理数，而不是无理数。0,16例 1下面几个数：0. 23 ，1.010010001， ，3， ， ，其中，无理数的个数有（ ）A、1 B
18、、2 C、3 D、4例 2.（2010 年浙江省东阳县） 73是 A无理数 B有理数 C整数 D负数 举一反三：1.在实数中 ，0， ，3.14， 中无理数有（ ）23 4A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2、平方根、算术平方根、立方根的概念若 a0，则 a 的平方根是 ， a 的算术平方根 ；若 a0，则 a 没有平方根和算术平方根；若 a 为任意实数，a则 a 的立方根是 。3【例 1】 的平方根是_16【例 2】 的平方根是_327【例 3】下列各式属于最简二次根式的是（ ）A 225x+1 B.y C.1 D.05【例 4】 （2010 山东德州）下列计算正确的是（A） （B） 0
19、31八下实数10（C） 93 （D） 235 【例 5】 （2010 年四川省眉山市）计算 的结果是2()A3 B C D 9举一反三：1.下列说法中正确的是（ ）A、 的平方根是3 B、1 的立方根是1 C 、 =1 D、 是 5 的平方根的相反数2. 1.25 的算术平方根是_；平方根是_. -27 立方根是_. _，_， _. 类型二计算类型题1.估算、比较大小正数大于 0，负数小于 0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小，常用有理数来估计无理数的大致范围，要想正确估算需记熟 020 之间整数的平方和 010 之间整数的立方例 1设 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C.
20、D. 解析：例 2.(2010 年浙江省金华)在 -3， ， 1， 0 这四个实数中，最大的是（ ）3A. -3 B. C. 1 D. 032.二次根式的运算二次根式的加、减、乘、除运算方法类似于整式的运算，如：二次根式加、减是指将各根式化成最简二次根式后，再利用乘法的分配律合并被开方数相同的二次根式；整式的运算性质在这里同样适用，如：单项式乘以多项式、多项式乘以多项式、乘法公式等实数的混合运算经常把零指数、负整数指数、绝对值、根式、三角函数等知识结合起来解决这类问题应明确各种运算的含义( ，运算时注意各项的符号，灵011(),(0,)paap是 整 数活运用运算法则，细心计算。例 1、计算 所得结果是_321a+例 2、阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：“先化简下式，再求值：a+ 其中 a=9 时” ，得21-a+
