1、题型专项( 五) 反比例函数的综合题类型 1 一次函数与反比例函数综合1(2016成都大邑县一诊)如图 ，直线 l1：yx 与反比例函数 y 的图象相交于点 A(2，a)，将直线 l1向上平移 3kx个单位长度得到 l2，直线 l2与 c 相交于 B，C 两点(点 B 在第一象限)，交 y 轴于点 D.(1)求反比例函数的解析式并写出图象为 l2的一次函数的解析式；(2)求 B，C 两点的坐标并求BOD 的面积解：(1)点 A(2，a)在 yx 上，a2.A(2，2)点 A(2，2) 在 y 上，kxk224.反比例函数的解析式是 y .4x将 yx 向上平移 3 个单位得 l2：yx3.(2
2、)联立方程组 y x 3，y 4x， )解得 或x1 4，y1 1) x2 1，y2 4.)B(1，4)，C(4，1)当 x0 时，yx33 ，则 D(0，3)，S BOD 31 .12 322(2015南充)反比例函数 y (k0)与一次函数 ymxb(m0)交于点 A(1，2k1)kx(1)求反比例函数的解析式；(2)若一次函数与 x 轴交于点 B，且AOB 的面积为 3，求一次函数的解析式解：(1)把点 A(1，2k1)代入 y ，得 2k1k.kxk1.反比例函数的解析式为 y .1x(2)由(1)得 k1，A(1， 1)设 B(a，0) ，S AOB |a|13.12a6.B(6，0
3、)或(6，0) 把 A(1， 1)，B( 6，0)代入 ymx b，得 解得1 m b，0 6m b.) m 17，b 67. )一次函数的解析式为 y x .17 67把 A(1， 1)，B(6 ，0)代入 ymx b，得解得1 m b，0 6m b.) m 15，b 65. )一次函数 的解析式为 y x .15 65符合条件的一次函数解析式为 y x 或 y x .15 65 17 673(2016南充模拟)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 DOBC 是矩形，且 D(0，4) ，B(6，0)若反比例函数 y (x0)的图象经过线段 OC 的中点 A，交 DC 于点 E，交
4、BC 于点 F.设直线 EF 的解析 式为 yk 2xb.k1x(1)求反比例函数和直线 EF 的解析式；(2)求OEF 的面积；(3)请结合图象直接写出不等式 k2xb 0 的解集k1x解：(1)四边形 DOBC 是矩形 ，且 D(0，4)，B(6，0) ，C 点坐标为(6，4) 点 A 为线段 OC 的中点，A 点坐标为(3，2) k 1326.反比例函数解析式为 y .6x把 x6 代入 y ，得 x1，F(6，1)6x把 y4 代入 y ，得 x ，E( ，4)6x 32 32把 F(6，1)，E( ，4)代入 y k2xb，得 解得32 6k2 b 1，32k2 b 4.) k2 2
5、3，b 5. )直线 EF 的解析式为 y x5.23(2)SOEF S 矩形 BCDOS ODE S OBF S CEF 46 64 (6 )(41) .12 12 32 12 32 454(3)不等式 k2xb 0 的解集为 x6.k1x 324(2016成都新都区一诊)如图 ，直线 OA：y x 的图象与反比例函数 y (k0) 在第一象限的图象交于 A 点，12 kx过 A 点作 x 轴的垂线，垂足为 M，已知 OAM 的面积为 1.(1)求反比例函数的解析式；(2)如果 B 为反比例函数在第一象限图象上的点(点 B 与点 A 不重合) ，且 B 点的横坐标为 1，在 x 轴上求一点
6、P，使 PAPB 最小解：(1)设 A 点的坐标为 (a，b)，则 b ，abk.ka ab1， k1，k2.12 12反比例函数的解析式为 y .2x(2)联立 解得y 2x，y 12x， ) x 2，y 1.)A(2， 1)设 A 点关于 x 轴的对称点为 C，则 C 点的坐标为(2，1)，由对称知识可得 BC 与 x 轴的交点 P 即为所求设直线 BC 的解析式为 ymx n.由题意可得：B 点的坐标为(1，2) 解得2 m n， 1 2m n.) m 3，n 5. )BC 的解析式为 y3x5.当 y0 时，x ，53P 点坐标为( ，0)535(2015泸州)如图，一次函数 ykxb
7、(k0)的图象经过点 C(3，0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 3.(1)求该一次函数的解析式；(2)若反比例函数 y 的图象与该一次函数的图象交于二、四象限内的 A，B 两点，且 AC2BC，求 m 的值mx解：(1)一次函数 ykxb(k 0)的图象经过点 C(3，0)，3kb0，点 C 到 y 轴的距离是 3.一次函数 ykxb 的图象与 y 轴的交点是(0，b) ， 3b3.解得 b2.12将 b2 代入，解得 k .23则函数的解析式是 y x2.23(2)过点 A 作 ADx 轴于点 D，过点 B 作 BEx 轴于点 E，则 ADBE.ADBE，ACDBCE. 2.AD2BE
8、.ADBE ACBC设 B 点纵坐标为n，则 A 点纵坐标为 2n.直线 AB 的解析式为 y x2，23A(3 3n，2n)，B(3 n， n)32反比例函数 y 的图象经过 A，B 两点，mx(33n)2n (3 n)(n)32解得 n12，n 20(不合题意 ，舍去) m(33n)2n3412.6(2016绵阳)如图，直线 yk 1x7(k 10)与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，与反比例函数 y (k20)的图象k2x在第一象限交于 C，D 两点，点 O 为坐标原点，AOB 的面积为 ，点 C 横坐标为 1.492(1)求反比例函数的解析式；(2)如果一个点的横、纵坐标都是整
9、数，那么我们就称这个点为 “整点” 请求出图中阴影部分( 不含边界)所包含的所有整点的坐标解：(1)由 题意得 A( ，0)，B(0，7)，7k1S AOB |OA|OB| ( )7 .12 12 7k1 492解得 k11.故直线方程为 yx7.当 x1 时，y6，故点 C 坐标为 (1，6)，将点 C(1，6)代入 y ，解得 k26.k2x反比例函数的解析式为 y .6x(2)由直线 yx7 和反比例函数 y 在第一象限图象的对称性可知点 D 与点 C 关于直线 yx 对称，故点 D 坐6x标为(6，1) 当 x2 时，反比例函数图象上的点为(2，3) ，直线上的点为 (2，5)，此时可
10、得整点(2 ，4)；当 x3 时，反比例函数图象上的点为(3，2) ，直线上的点为 (3，4)，此时可得整点(3 ，3)；当 x4 时，反比例函数图象上的点为(4， )，直线上的点为 (4，3)，此时可得整点(4 ，2)；32当 x5 时，反比例函数图象上的点为(5， )，直线上的点为 (5，2)，此时无整点可取65综上可知，阴影部分(不含边界 )所包含的整点有(2，4) ，(3 ，3)，(4，2)(方法二：联立直线和反比例函数解析式，求点 D 坐标， 请酌情评分)类型 2 反比例函数与几何图形综合7(2016绵阳涪城区模拟)如图 ，O 为坐标原点，点 C 在 x 轴的正半轴上，四边形 OAB
11、C 是平行四边形，AOC45，OA2，反比例函数 y 在第一象限内的图象经过点 A，与 BC 交于点 D.kx(1)求反比例函数的解析式；(2)若点 D 的纵坐标为 ，求直线 AD 的解析式22解：(1)过点 A 作 AHx 轴于点 H.OA2，AOH45，OHAHOAsin452 .22 2A( ， )2 2又点 A 在 y 图象上，kxk 2.2 2反比例函数的解析式是 y .2x(2)点 D 纵坐标是 ，点 D 横坐标是 2 .22 2D(2 ， )，A( ， )222 2 2设直线 AD 的解析式为 yaxb，则解得22 22a b，2 2a b. ) a 12，b 322.)直线 A
12、D 的解析式为 y x .12 3228(2016成都高新区一诊)如图 1，在OAB 中，A(0 ，2) ，B(4，0)，将AOB 向右平移 m 个单 位，得到OAB.(1)当 m4 时，如图 2，若反比例函数 y 的图象经过点 A，一次函数 yaxb 的图象经过 A，B 两点求反kx比例函数及一次函数的解析式；(2)若反比例函数 y 的图象经过点 A及 AB的中点 M，求 m 的值kx解：(1)A(4，2) ，B (8 ，0) ，k428.y .8x把(4，2)，(8 ，0)代入 yax b，得解得4a b 2，8a b 0.) a 12，b 4. )经过 A，B 两点的一次函数解析式为 y
13、 x4.12(2)当AOB 向右平移 m 个单位时 ，A 点的坐标为(m，2)，B点的坐标为(m4，0)，则 AB的中点 M 的坐标为( ，1)m m 42反比例函数 y 的图象经过点 A及 M，kx2m 1，解得 m2.m m 42当 m2 时，反比例函数 y 的图象经过点 A及 AB的中点 M.kx9(2014内江)如图，一次函数 ykxb 的图象与反比例函数 y (x0)的图象交于点 P(n，2)，与 x 轴交于点mxA(4， 0)，与 y 轴交于点 C，PBx 轴于点 B，且 ACBC.(1)求一次函数、反比例函数的解析式；(2)反比例函数图象上是否存在点 D，使四边形 BCPD 为菱
14、形？如果存在，求出点 D 的坐标；如果不存在，说明理由解：(1)AC BC，COAB，A( 4，0)，O 为 AB 的中点，即 OA OB4.P(4，2)，B(4，0)将 A( 4，0) ， P(4，2) 代入 ykxb，得解得 4k b 0，4k b 2， ) k 14，b 1.)一次函数解析式为 y x1.14将 P(4，2)代入反比例函数解析式得 m8.反比例函数解析式为 y .8x(2)存在这样的点 D，使四边形 BCPD 为菱形，对于一次函数 y x1，令 x0，则 y1，14C(0，1)直线 BC 的斜率为 .0 14 0 14设过点 P，且与 BC 平行的直线解析式为y2 (x4
15、)，即 y ，14 x 124联立 解得y x 124 ，y 8x ) x1 4，y1 2， )x2 8，y2 1.)D(8， 1)此时 PD ，（4 8）2 （2 1）2 17BC ，即 PDBC.（4 0）2 （ 0 1）2 17PDBC，四边形 BCPD 为平行四边形PC ，即 PCBC，（4 0）2 （2 1）2 17四边形 BCPD 为菱形，满足题意，反比例函数图象上存在点 D，使四边形 BCPD 为菱形，此时 D 点坐标为(8，1) 10(2016德阳中江模拟)如 图，将透明三角形纸片 PAB 的直角顶点 P 落在第二象限，顶点 A，B 分别落在反比例函数 y 图象的两支上，且 P
16、By 轴于点 C，PA x 轴于点 D，AB 分别与 x 轴，y 轴相交于点 E，F.已知kxB(1，3)(1)k3；(2)试说明 AE BF；(3)当四边形 ABCD 的面积为 4 时，直接写出点 P 的坐标解：(2)设点 P 坐标为 P(m，3)，则 D(m，0)，C(0，3) ，A(m， )，3m ， ，PCPB m1 m mm 1 PDPA 33 3m mm 1 .PCPB PDPA又PP，PDC PAB.PDC PAB.DCAB.又ADCF ，DE CB，四边形 ADCF 和四边形 DEBC 都是平行四边形AFDC ，DCBE.AFBE.AEBF.(3)S 四边形 ABCDS APB S PCD PAPB PCPD12 12 (3 )(1m) 3(m)12 3m 124.解得 m .32则 P( ，3)32
