1、北师大版九年级上册数学第 4 页练习答案 解：因为在菱形 ABCD 中，ACBD 于点 O，所以AOB=90.在 RtABO 中，OB=(AB2-AO2 )=(52-42 )=3（cm）.因为在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 互相平分，所以 BD=2OB=6cm.1.11.证明：四边形 ABCD 是菱形，BC=AB,BC/AD, B+BAD=180（两直线平行，同旁内角互补）.BAD=2 B,B+2B=180，B=60.BC=AB，ABC 是等边三角形（有一个角为 60的等腰三角形的等边三角形）.2.解：四边形 ABCD 是菱形，AD=DC=CB=BA,ACBD,AO=1/2 AC=
2、1/28=4，DO= 1/2 BD= 1/26=3.在 RtAOD 中，由勾股定理，得 AD=(AO+DO)=(4+3)=5.菱形 ABCD 的周长为 4AD=45=20.3.证明：四边形 ABCD 是菱形，AD=AB,ACBD，DO=BO,ABD 是等腰三角形，AO 是等腰ABD 低边 BD 上的高，中线，也是 DAB 的平分线，AC 平分BAD.同理可证 AC 平分BCD,BD 平分ABC 和ADC.4.解：有 4 个等腰三角形和 4 个直角三角形.第 7 页练习答案解，所画菱形 AB-CD 如图 1-1-32 所示，使对角线 AC=6cm，BD=4cm.1.21.证明：在ABCD 中，A
3、D/BC,EAO= FCO （两直线平行，内错角相等）.EF 是 AC 的垂直平分线，AO=CO.在AOE 和COF 中，AOECOF（ASA），AE=CF.AE/CF,四边形 AFCE 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.EFAC,四边形 AFCE 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.2.证明：四边形 ABCD 是菱形，ACBD,OA=OC,OB=OD.又点 E,F,G,H,分别是OA,OB,OC,OD 的中点，OE=1/2OA,OG=1/2 OG,OF= 1/2 OB,OH= 1/2 OD,OE=OG,OF=OH,四边形 EFGH 是平行四边形（对角线互相平分的
4、四边形是平行四边形）.AC BD, 即 EGHF, 平行四边形 EFGH 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.3.解：四边形 CDCE 是菱形.证明如下：由题意得，CDE CDE.所以CDE= CDE,C D=CD,CE=C E.又因为 AD/BC,所以CDE=CED,所以CDE=CED,所以 CD=CE（等角对等边），所以 CD=CE=CE=CD,所以四边形 CDCE 是菱形（四边相等的四边形是菱形）.第 9 页练习答案1.解：（1）如图 1-1-33 所示.四边形 AB-CD 是菱形，AB=BC=CD=DA=1/440=10（cm）.对角线 AC=10cm，AB=BC=AC,ABC
5、 是等边三角形，B=BAC=ACB=60.AD/BC,BAD+B=180，BAD=180-B=180-60=120，BCD=BAD=120，D=B=60.（2）如图 1-1-34 所示，连接 BD，交 AC 于点 O，AO=1/2 AC= 1/210=5（cm）.在 RtAOB 中，AOB=90 ，由勾股定理，得 BO=(AB2-AO2 )=(102-52 )=53 （cm），BD=2BO=253=103 （cm），这个菱形另一条对角线的长为 103 cm.2.证明：在 RtABC 中，ACB=90，BAC=60，B=90-BAC=90-60=30.FD 是 BC 的垂直平分线，EB=EC,E
6、CB=B=30（等边对等角）.ECA=ACB-ECB=90-30=60.在AEC 中， EAC+ECA+AEC=180 ，AEC=180-EAC-ECA=180-60-60=60.AEC 是等边三角形， AC=CE.在 RtBDE 中，BDE=90，BED=90-B=90-30=60.AEF=BED=60 （对顶角相等） .AE=CF,AF=CE,AF=AE,AEF 是等边三角形（有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形） .AF=EF，AF=EF=CE=AC,四边形 ACEF 是菱形（四边相等的四边形是菱形） .1.31.证明：（1）四边形 ABCD 是菱形，AD=CD,AB=CB,A=
7、C.BE=BF,AB-BE=CB-BF,即 AE=CF.在ADE 和 CDF 中， .（2）ADECDF,DE=DF,DEF= DFE（等边对等角）. 2.已知：如图 1-1-35 所示，四边形 ABCD 是菱形，AC 和 BD 是对角线.求证：S 菱形 ABCD=1/2 ACBD.证明：四边形 ABCD 是菱形，AC BD,AO=CO,BO=DO.SAOB=SAOD=S BOC=SCOD=1/2 AO.BO.S 菱形 ABCD=41/2 AOBO= 1/22AO2BO=1/2 ACBD.3.解：在菱形 ABCD 中，ACBD ，AOB=90，AO= 1/2 AC= 1/216=8，BO= 1
8、/2 BD= 1/212=6.在 RtAOB 中，由勾股定理，得 AB=(AO2+BO2 )=(82+62 )=10.S 菱形 ABCD=1/2 ACBD= 1/21612=96，又DHAB, S 菱形 ABCD=ABDH,96=ABDH,即 96=10DH,DH=9.6.菱形 ABCD 的高 DH 为 9.6.4.证明：点 E,F,G,H 分别是 AB,CD,AC,BD,的中点，GF 是 ADC 的中位线，EH 是ABD 的中位线，GF/AD,GF=1/2 AD,EH/AD,EH=1/2AD,GF/EH,GF=EH,四边形 EGFH 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），又
9、FH 是BDC 的中位线，FH=1/2 BC.又AD=BC,GF=FH,平行四边形 EGFH 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.5.略第 13 页练习答案解：在矩形 ABCD 中，AO=4， BD=AC=2AO=8.因为BA=90，所以在 RtBAD 中，由勾股定理，得 AD=(BD2-AB2 )=(82-62 )=27.所以 BD 与 AD 的长分别为 8 与 27.1.41.解：如图 1-2-33 所示，设这个矩形为 ABCD，两条对角线相交于点 O，OA=OB=3.在AOB 中，OAB=OBA=45，于是AOB=90，AB=(OB2+OA2 )=32,同理 AD=32,所以 BC
10、=AD=32 AB=DC=32所以这个矩形的各边长都是 32.2.解：如图 1-2-34 所示，设这个矩形 AB-CD 两条对角线相交于点 O，AOB=60，AC=BD=15，AO=1/2AC=7.5，BO=1/2 BD=7.5，OA=OB,AOB 是等边三角形，AB=7.5.3.解：四边形 ADCE 是菱形.证明如下：在 RtABC 中，ACB=90，D 为 AB 的中点，CD=1/2 AB,AD= 1/2 AB,AD=CD.AE/CD,CE/AD, 四边形 ADCE 是平行四边形.又AD=CD,平行四边形 ADCE 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）4.已知：如图 1-2-35 所示
11、，在ABC 中，BO 为 AC 边上的中线，BO=1/2 AC. 求证：ABC 是直角三角形 .证明：如图 1-2-35 所示，延长 BO 到 D，使 BO=DO,连接 AD,CD.AO=CO,BO=DO,四边形 ABCD 是矩形. ABC=90.ABC 是直角三角形 .第 16 页练习答案证明：四边形 ABCDS 是平行四边形， AB=DC.M 是 AD 的中点，AM=DM. 又MB=MC ，ABMDCM（SSS）,A= D.又AB/DC,A+D=180，A=D=90.平行四边形 ABCD 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形） .1.51.解：（1）四边形 ABCD 是平行四边形（对角
12、线互相平分的四边形是平行四边形）.（2）当ABC 是直角三角形，即BAC=90 时，四边形 ABEC 是矩形.2.解：四边形 ACBD 是矩形.证明如下：如图 1-2-36 所示. CD/MN,2=4.BD 平分 ABN, 1= 4 ，1= 2，OB=OD （等角对等边）. 同理可证 OB=OC, OC=OD.O 是 AB 的中点，OA=OB,四边形 ACBD 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） .又BC 平分ABM,3=1/2ABM.BD 平分ABN,1= 1/2ABN.ABM+ ABN=180，2 3+21=180，3+1=90，即CBD=90.平行四边形 ACBD 是矩形
13、（有一个角是直角的平行四边形是矩形）3.解：做法如下：如图 1-2-37 所示，（1）连接 AC,BD;（2）过 A,C 两点分别作 EF/BD,GH/BD;（3）同法作 FG/AC,EH/AH,与 EF,GH 交于四个点 E，F,G,H,则矩形 EFGH 即为所求，且 S 矩形 EFGH=2S 菱形 ABCD.第 18 页练习答案证明：四边形 ABCD 是由两个全等的等边三角形 ABD 和 CBD 组成，AB=AD=CD=BC,四边形 ABD 和 CBD 组成，AB=AD=CD=BC,四边形 ABCD 是菱形.M,N 分别是 BC 和 AD 的中点，DN=1/2 AD,BM= 1/2 BC,
14、DN=BM. BN=DM,四边形 BMDN 是平行四边形.DBN=1/2ABD= 1/260=30，DBM=60，NBM=DBN+DBM=30+60=90.平行四边形 BMDN 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.1.61.解：在矩形 ABCD 中， AC=BD=4，ABC=90 ，ACB=30，AB= 1/2 AC= 1/24=2.在 RtABC 中，由勾股定理，得 BC=(AC2-AB2 )=(42-22 )=23.S 矩形 ABCD=BCAB=232=43.2.解：在矩形 ABCD 中，BAD=90，即BAE+ EAD=90.EAD=3 BAE,BAE+3BAE=90，BAE=2
15、2.5.EAD=3 BAE=322.5=67.5.AE BO,AEB=90, BAE+ABE=90，即 22.5+ABE=90，ABE=67.5.AC=BC,OA=1/2 AC,OB= 1/2 BD,OA=OB, OAB=ABE=67.5.EAO+BAE=OAB,EAO=OAB-BAE=67.5-22.5=45.3.证明：D 是 BC 的中点，BD=CD.四边形 ABDE 是平行四边形，AE/BC,AE=BD,ED=AB（平行四边形的性质）.AE=CD.AE/CD,四边形 ADCE 是平行四边形（一组对边平行且相等的平行四边形是矩形）.AB=AC，ED=AC,平行四边形 ADCE 是矩形（一组
16、对边平行且相等的四边形是平行四边形）.4.解：将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合得到的图形如图 1-2-38 所示. 折痕为 EF，则 AE=CE,EF 垂直平分 AC，连接 AC 交 EF 于点 O，在矩形 ABCD 中，B=90，BC=8cm，设 CE=x cm，则 AE=x cm，BE=BC-CE= （8-x）cm.在 RtABE 中，由勾股定理，得 AE=AB+BE,X=6+（8-x ） ，解得 x=25/2，即 EC=25/4cm.在 RtABC 中，由勾股定理，得 AC=(AB2+BC2 )=(62+82 )=10cm.OC=1/2=AC=1/210=5cm.EF
17、AC,EOC=90.在 RtEOC 中，由勾股定理，得 EO=EC-OC,EO=(EO2-OC2 )=(（25/4）2-52 )=15/4 cm，折痕 EF=2EO=2 15/4=15/2 cm.5.解：如图 1-2-39 所示，连接 PO.S 矩形 ABCD=AB.BC=34=12.在 RtABC 中，AC=B(AB+BC)=(3+4)=5.又因为AC=BD,AO= 1/2 AC,DC= 1/2 BD,所以 AO=DO=5/2.所以 SAOD=SAPO+SPOD= 1/2 AO.PE+ 1/2 DOPE= 1/2 AO（PE+PE）=1/25/2 （PE+PE）=5/4 （PE+PE）.又因
18、为 SAOD= 1/4 S 矩形 ABCD= 1/412=3，所以 5/4 （PE+PE ）=3 ，解得 PE+PE= 12/5.第 21 页练习答案1.解：以正方形的四个顶点为直角顶点的等腰直角三角形共有四个，以正方形的两条对角线的交点为顶点的等腰直角三角形也有四个，所以共有八个等腰直角三角形.2.：ADFABF,DCF BCF, ADCABC.以ADFABF 为例加以证明：四边形 ABCD 是正方形，AD=AB,DAF= BAF.AF=AF,ADFABF（SAS）.1.71.解：设正方形的边长为为想 x cm，则 x+x=2，解得 x=2，即正方形的边长为2 cm.2.解：四边形 ABCD
19、 是正方形，ABC= DCB=90，AB=BC=DC.CBE 是等边三角形， BE=EC=CB, EBC=ECB=60.ABE=30.AB=BE,AEB=BAE=(180-ABE)/2=(180-30)/2=75.3.证明：如图 1-3-24 所示，四边形 ABCD 是正方形，AD=D, BAD=D=90，AB=DA.PD=QC,AP=DQABP DAQ.BP=AQ,1=2.2+ 3=90，1+ 3=90，即 BPAQ.4.解：过正方形两条对角线的交点任意做两条互相垂直的直线，即可将正方形分成大小，形状完全相同的四部分.答案不唯一，如图 1-3-25 所以方法仅供参考.第 24 页练习答案 答
20、案：满足对角线垂直的矩形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形.满足对角线相等的菱形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形证明结论如下：（1）对角线垂直的矩形是正方形.（2）已知：如图 1-3-7（1）多事，四边形 ABCD 是矩形，AC,BD 是对角线，且 ACBD.求证：四边形 ABCD 是正方形.证明：四边形 ABCD 是矩形，AC 平分 BD.又ACBD ，AC 是 BD 的垂直平分线.AB=AD.四边形 ABCD 是正方形 .（4）有一个角是直角的菱形是正方形.已知，如图 1-3-7（4）所示，四边形 ABCD 是菱形，A=90.求证：四边形 ABCD 是正方形.证明：四边形 ABC
21、D 是菱形，四边形 ABCD 是平行四边形.又A=90，四边形 ABCD 是矩形.又 AB=BC，矩形 ABCD 是正方形.1.81.答案：对角线相等的菱形是正方形.已知：如图 1-3-7（3）所示，四边形 ABCD 是菱形，AC,BD 是对角线，且 AC=DC.求证：四边形 ABCD 是正方形.证明：四边形 ABCD 是菱形，AD=BC.又AB=BA,BD=AC,ABDBAC （SSS）.DAB=CBA.又AD/bc, dab+ cba=180. DAB=CBA=90.四边形 ABCD 是正方形.2.证明：四边形 ABCD 是正方形，AD=CB,AD/CB,ADF=CBE.在ADF 和=CB
22、E 中，ADFCBE （SAS），AF=CF,AFD=CEB.AFD+AFE=180，CEB+CEF=180，AFE= CEF（等角的补角相等）.AF/CE （内错角相等，两直线平行）.四边形 AECF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.AD=AB,ADF=ABE.在AFD 和 AEB 中，AFDAEB（SAS ）.AF=AE,四边形 AECF 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.3.解：四边形 EFGH 是正方形.在正方形 ABCD 中，AB=BC=CD=AD,A=B=C=D=90.因为 AE=BF=CG=DH,所以 AB-AE=BC-BF=CD-CG=AD-DH
23、,即 BE=CF=DG=AH.所以AEH BFECGF DHG（SAS），所以AEH,HE=EF=FG=GH.所以四边形 EFGH是菱形.因为AEH+AHE=90，所以DHG+ AHE=90，所以EHG=90，所以菱形 EFGH 是正方形.4.解：重叠部分的面积等于正方形 ABCD 面积的 1/4.证明如下：重叠部分为等腰直角三角形时，重叠部分为面积为正方形 ABCD 面积的 1/4，即 SAOB=SBOC=SCOD=SAOD= 1/4S 正方形 ABCD.重叠部分为四边形是，如图 1-3-26 所示.设 OA与 AB 相交于点 E,OC与 BC 相交于点 F.四边形 ABCD 是正方形，OA=OB,EAO=FBO=45，AOBD.又AOE=90-EOB, BOF=90-EOB,AOE=BOF,
