1、12015 湖南中考复习二次函数的综合题及应用考点一：确定二次函数关系式例 1 （1）如图，已知二次函数 y=x2+bx+c 过点 A（1，0），C（0，-3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点 P 使ABP 的面积为 10，请直接写出点 P 的坐标思路分析：（1）利用待定系数法把 A（1，0），C（0，-3）代入）二次函数 y=x2+bx+c 中，即可算出b、c 的值，进而得到函数解析式是 y=x2+2x-3；（2）首先求出 A、B 两点坐标，再算出 AB 的长，再设 P（m，n），根据ABP 的面积为 10 可以计算出 n的值，然后再利用二次函数解析式计算出 m 的值即可
2、得到 P 点坐标解：（1）二次函数 y=x2+bx+c 过点 A（1，0），C（0，-3）， ，解得 ，二次函数的解析式为 y=x2+2x-3；03bc3bc（2）当 y=0 时，x 2+2x-3=0，解得：x 1=-3，x 2=1；A（1，0），B（-3，0），AB=4，设 P（m，n），ABP 的面积为 10， AB|n|=10，2解得：n=5，当 n=5 时，m 2+2m-3=5，解得：m=-4 或 2，P（-4，5）（2，5）；当 n=-5 时，m 2+2m-3=-5，方程无解，故 P（-4，5）（2，5）；点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是
3、函数图象经过的点必能满足解析式（2）在直角坐标平面中，O 为坐标原点，二次函数 的图象与 x 轴的负半轴相交于点 C，2yxbc如图 3-3，点 C 的坐标为（0，3） ，且 BOCO2（1） 求这个二次函数的解析式；（2） 设这个二次函数的图象的顶点为 M，求 AM 的长.【考点要求】本题考查二次函数解析式的确定。【思路点拨】由题目条件，可用待定系数法求解析式（1） ，(0,3)|3,COc， ，B又 (0)B。9,6,2bb。23yx（2），1,()24,(10),(4)bfAMa.245AM【答案】 （1） ；（2） 。23yx25A点二：二次函数与 x 轴的交点问题例 2 （1）已知二
4、次函数 y=x2-3x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0），则关于 x 的一元二次方程 x2-3x+m=0 的两实数根是（ ）Ax 1=1，x 2=-1 Bx 1=1，x 2=2 Cx 1=1，x 2=0 Dx 1=1，x 2=3点评：本题考查了抛物线与 x 轴的交点解答该题时，也可以利用代入法求得 m 的值，然后来求关于 x的一元二次方程 x2-3x+m=0 的两实数根对应训练（2）二次函数 y=2x2+mx+8 的图象如图所示，则 m 的值是（ ）A-8 B8C8 D6（3）若二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴有两个交点，坐标分别为（x 1，0），（
5、x 2，0），且 x1x 2，图象上有一点 M（x 0，y 0）在 x 轴下方，则下列判断正确的是（ ）Aa0 Bb 2-4ac0Cx 1x 0x 2 Da（x 0-x1）（x 0-x2）0考点三：二次函数的实际应用例 3 （1）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克 20 元，市场调查发现，该产品每天的销售量 y（千克）与销售价 x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80设这种产品每天的销售利润为 wxyCBA-6-4-28642-6 -4 -2 642O图 3-33元（1）求 w 与 x
6、之间的函数关系式（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克 28 元，该农户想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？思路分析：（1）根据销售额=销售量销售价单 x，列出函数关系式；（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；（3）把 y=150 代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求 x，根据 x 的取值范围求 x 的值解：（1）由题意得出：w=（x-20）y=（x-20）（-2x+80 ）=-2x 2+120x-1600，故 w 与 x 的函数关系式为：w=-
7、2x 2+120x-1600；（2）w=-2x 2+120x-1600=-2（x-30） 2+200，-20，当 x=30 时，w 有最大值w 最大值为 200答：该产品销售价定为每千克 30 元时，每天销售利润最大，最大销售利润 200 元（3）当 w=150 时，可得方程-2（x-30） 2+200=150解得 x =25，x 2=35 3528，x 2=35 不符合题意，应舍去 答：该农户想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为每千克 25 元（2）科幻小说实验室的故事中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如
8、下表）：温度 x/ -4 -2 0 2 4 4.5 植物每天高度增长量 y/mm 41 49 49 41 25 19.75 由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量 y 是温度 x 的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；（2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？（3）如果实验室温度保持不变，在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm，那么实验室的温度x 应该在哪个范围内选择？请直接写出结果（2）解：（1）选择二次函数，设 y=ax2+bx+c（a0），x=-2 时，y
9、=49，x=0 时，y=49，x=2 时，y=41， ，解得 ，所以，y 关于 x 的函数关系式为 y=-x2-2x+49；4921abc149abc不选另外两个函数的理由：点（0，49）不可能在反比例函数图象上，y 不是 x 的反比例函数，点（-4，41）（-2，49）（2，41）不在同一直线上，y 不是 x 的一次函数；（2）由（1）得，y=-x 2-2x+49=-（x+1） 2+50，a=-10，当 x=-1 时，y 有最大值为 50，即当温度为-1时，这种作物每天高度增长量最大；（3）10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm，平均每天该植物高度增长量超过 25mm，当 y=
10、25 时，-x 2-2x+49=25，整理得，x 2+2x-24=0，解得 x1=-6，x 2=4，在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm，实验室的温度应保持在-6x44（3）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形其中，抽屉底面周长为 180cm，高为 20cm请通过计算说明，当底面的宽 x 为何值时，抽屉的体积 y 最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）4解：已知抽屉底面宽为 x cm，则底面长为 1802-x=（90-x）cm由题意得：y=x（90-x）20=-20（x 2-90x）=-20（x-45） 2+40500当 x=45 时，y 有最大
11、值，最大值为 40500答：当抽屉底面宽为 45cm 时，抽屉的体积最大，最大体积为 40500cm3考点四：二次函数综合性题目例 4 如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象过点 C（0，1），顶点为 Q（2，3），点 D 在 x 轴正半轴上，且 OD=OC（1）求直线 CD 的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转 45所得直线与抛物线相交于另一点 E，求证：CEQCDO；（4）在（3）的条件下，若点 P 是线段 QE 上的动点，点 F 是线段 OD 上的动点，问：在 P 点和 F 点移动过程中，PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最
12、小值；若不存在，请说明理由例 4解：（1）C（0，1），OD=OC，D 点坐标为（1，0）设直线 CD 的解析式为 y=kx+b（k0），将 C（0，1），D（1，0）代入得： ，解得：b=1，k=-1，直线 CD 的解析式为：y=-x+1bk（2）设抛物线的解析式为 y=a（x-2） 2+3，将 C（0，1）代入得：1=a（-2） 2+3，解得 a=- y=- （x-2） 2+3=- x2+2x+1 （3）证明：由题意可知，ECD=45，OC=OD，且 OCOD，OCD 为等腰直角三角形，ODC=45，ECD=ODC，CEx 轴，则点 C、E 关于对称轴（直线 x=2）对称，点 E 的坐标为
13、（4，1）如答图所示，设对称轴（直线 x=2）与 CE 交于点 F，则 F（2，1），ME=CM=QM=2，QME 与QMC 均为等腰直角三角形，QEC=QCE=45又OCD 为等腰直角三角形，ODC=OCD=45，QEC=QCE=ODC=OCD=45，CEQCDO5（4）存在如答图所示，作点 C 关于直线 QE 的对称点 C，作点 C 关于 x 轴的对称点C，连接 CC，交 OD 于点 F，交 QE 于点 P，则PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF 的周长等于线段 CC的长度（证明如下：不妨在线段 OD 上取异于点 F 的任一点 F，在线段 QE 上取异于点 P
14、 的任一点 P，连接 FC，FP，PC由轴对称的性质可知，PCF的周长=FC+FP+PC；而 FC+FP+PC是点 C，C之间的折线段，由两点之间线段最短可知：FC+FP+PCCC，即PCF的周长大于PCE 的周长） 如答图所示，连接 CE，C，C关于直线 QE 对称，QCE 为等腰直角三角形，QCE 为等腰直角三角形，CEC为等腰直角三角形，点 C的坐标为（4，5）；C，C关于 x 轴对称，点 C的坐标为（-1，0）过点 C作 CNy 轴于点 N，则 NC=4，NC=4+1+1=6，在 RtCNC中，由勾股定理得：CC= 2224613NC综上所述，在 P 点和 F 点移动过程中，PCF 的周长存在最小值，最小值为 2
