1、绝密启用前2016 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学（理工类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷 1至 2 页，第卷 3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2. 本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。参考公式：如果事件
2、， 互斥，那么 如果事件 ， 相互独立，那么ABAB. .()()PP()()AP圆柱的体积公式 .圆锥的体积公式 .VSh13VSh其中 表示圆柱的底面面积， 其中 表示圆锥的底面面积，S表示圆柱的高. 表示圆锥的高.h1. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 学科.网（1）已知集合 ， ，则4,321AAxyB,23 BA（A） （B） 4（C） （D ）, ,1（2）设变量 ， 满足约束条件 则目标函xy.0923,6yx 数的最小值为z5（A） （B） （C）41（D） 17（3）在 中，若 ， ， ，CA2则 （A） （B）否开 始 4S1nS26是否 输
3、出结 束 ?3 是（C） （D）34（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 S的值为（A） （B）2（C） （D）68（5）设 是首项为正数的等比数列，学科& 网公比为 ，则na q“ ”是“对任意的正整数 ， ”的0qn021na（A）充要条件 （B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线 ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐142byx）（ 0近线相交于 ， ， ， 四点，学科& 网四边形 的面积为 ，则双曲线的方程为ABCDABCDb2（A） （B） （C） （D）32yx1342yx142yx142yx（7）
4、已知 是边长为 的等边三角形，点 ， 分别是边 ， 的中点，连接1EBE并延长到点 ，使得 ，则 的值为FEF2A（A） （B） （C） （D）854181（8）已知函数 （ ，学.科网且 ）在 R 上单调递减，且关于0,1)(log34)(2xxafa a的方程 恰好有两个不相等的实数解，则 的取值范围是xf2)(（A） （B）3,043,2（C） （D ） 14)1绝密启用前2016 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)（第 4 题图）数 学（理工类）第卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2. 本卷共 12 小题, 共 110 分.二填空题: 本大题共 6
5、小题 , 每小题 5 分, 共 30 分.（9）已知 ， R， 是虚数单位，若 ，则 的值为_.abi ab)i1(（10） 的展开式中 的系数为_.（用数字作答）82)1(x7x（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位： ） ，学科.网则该四棱锥的体积m为_ .3（12）如图， 是圆的直径，弦 与 相交于点ABCDAB ，E， ，则线段 的长2EE为_.（13）已知 是定义在 R 上的偶函数，且在区间)(xf上单调递增.若实数 满足 ，)0,(a)2()(1ffa则 的取值范围是_.a（14）设抛物线 （ 为参数， ）的焦ptyx2,0p点 ，准线为 .过抛物
6、线上一点 作 的垂线，垂足为FlAl.设 ， 与 相交于点 .若 ，B)0,7(CFBCEAF2且 的面积为 ，则 的值为_.AE23p三. 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15） （本小题满分 13 分）BCDE正视图 侧视图俯视图 （第 11 题图）1113（第 14 题图）已知函数 .3)cos()2sin(ta4)( xxf（）求 的定义域与最小正周期；（）讨论 在区间 上的单调性.)(xf4,（16） （本小题满分 13 分）某小组共 人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为 ， ， 的人数分10 123别为 ， ， .现
7、从这 人中随机选出 人作为该组代表参加座谈会 .342（）设 为事件“选出的 人参加义工活动次数之和为 ”，求事件 发生的概率；A4A（）设 为选出的 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 的分布列X X和数学期望.（17） （本小题满分 13 分）如图，正方形 的中心为 ，四边形 为矩形，平面 平面 ，点 为ABCDOBEFOBEFACDG的中点， .AB2E（）求证： 平面 ；GF（）求二面角 的正弦值；（）设 为线段 上的点，且HA HFA32，求直线 和平面 所成角的正弦值.BCEFCH（18） （本小题满分 13 分）已知 是各项均为正数的等差数列，学.科.网公差为 .对任意的
8、 ， 是 和 的等比中na dNnnba1n项.（）设 ， ，求证：数列 是等差数列；21nnbcNnc（）设 ， ， ，求证 .da1kknT12)(21dTk（19） （本小题满分 14 分）设椭圆 的右焦点为 ，右顶点为 .已知 ，132yax)( FAFAeO31其中 为原点， 为椭圆的离心率. 学.科.网Oe（）求椭圆的方程；（）设过点 的直线 与椭圆交于点 （ 不在 轴上） ，垂直于 的直线与 交于点 ，与 轴交AlBxllMy于点 .若 ，且 ，求直线 的斜率的取值范HFBMOAl围.（20） （本小题满分 14 分）设函数 ， R，其中 ， R.baxxf3)1(ab（）求 的
9、单调区间；（）若 存在极值点 ，且 ，其中 ，求证： ；)(xf0x)(01xff01x3201x（）设 ，函数 ，求证： 在区间 上的最大值不小于0a)(fgg2,42016 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）一、选择题：（1） 【答案】D（2） 【答案】B（3） 【答案】A（4） 【答案】B（5） 【答案】C（6） 【答案】D（7） 【答案】B（8） 【答案】C第卷二、填空题：（9） 【答案】2（10） 【答案】 56（11） 【答案】2（12） 【答案】 23（13） 【答案】 1(,)(14) 【答案】 6三、解答题（15）【答案】 （） ， （）在区间 上单调递
10、增, 学科&网在区间,2xkZ.124上单调递减.41，【解析】试题分析：（）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数性质求定义域、学科&网周期 根据（1）的结论，研究三角函数()=2sin3fx 在区间 上单调性,4试题解析： 解： 的定义域为 .fx,2xkZ4tancos34sinco3fx x213=sii2isi2x.in-cossin3co=in3x x所以, 的最小正周期f .2T解：令 函数 的单调递增区间是2,3zxsinyz2,.kkZ由 ,得2kk5,.11kxZ设 ，易知 ., ,42ABx,124AB所以, 当 学.
11、科网时, 在区间 上单调递增, 在区间 上单调递减.xf14，考点：三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式【结束】(16) 【答案】 （） （）详见解析13【解析】试题分析：（）先确定从这 10 人中随机选出 2 人的基本事件种数： ，再确定选出的 2 人参加义工活210C动次数之和为 4 所包含基本事件数： ，最后根据概率公式求概率（）先确定随机变量可能取134C值为 学.科网再分别求出对应概率，列出概率分布，最后根据公式计算数学期望0,12试题解析：解： 由已知，有()12340,CPA所以，事件 发生的概率为 .随机变量 的所有可能取值为()X,12.，23410C
12、P5，342107X.342105CP所以，随机变量 学.科网分布列为X12P41575415随机变量 的数学期望 .X74021EX考点：概率，概率分布与数学期望【结束】(17) 【答案】 （）详见解析（） （）3721【解析】试题分析：（）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证（）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值（）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值试题解析：依题意， ，
13、如图，以 为点，分别以 的方向为 轴， 轴、OFABCD平 面 O,ADBOFxy轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得 ，z (0,).1,0(,1)(,0)(1,)12(,)(1,0)ABEFG，（I）证明：依题意， .设 为平面 的法向量，则(2,0)1,2ADF1,nxyzADF，即 .不妨设 ，可得 ，又 ，可得 ，10nFxyzz10,0,12EG10EGn又因为直线 ，所以 .EGAF平 面 /EGADF平 面（II）解：易证， 为平面 的一个法向量.依题意， .设1,0OO1,01,2FC为平面 的法向量，则 ，即 .不妨设 ，可得2,nxyzC20nCF2xyzx.21,因
14、此有 ，于是 ，所以，二面角 的正弦226cos, 3OAn 23sin,OAOEFC值为 .3（III）解：由 ，学.科网得 .因为 ，所以23AHF25AHF1,2A，进而有 ，从而 ，因此4,55 34,84,5B.所以，直线 和平面 所成角的正弦值为 .227cos, 1BnH CEF721考点：利用空间向量解决立体几何问题【结束】(18) 【答案】 （）详见解析（）详见解析【解析】试题分析：（）先根据等比中项定义得： ，从而 ，21nba211211nnnnncbada因此根据等差数列定义可证： （） 对数列不等式证明一般以算代证先12ncdd利用分组求和化简 ，再利用裂项221nn
15、kTb2212341nbb21dn相消法求和 ，易得结论.222111nkkkddd试题解析：（I）证明：由题意得 ，有 ，因此nba211211nnnnncbada，所以 是等差数列.2121nnca（II）证明： 22341nT22242 1nnadadd所以 .22221111nnkkkT考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和【结束】（19）【答案】 （） （）2143xy),46,(【解析】试题分析：（）求椭圆标准方程，只需确定量，由 ，得，再利用13|cOFA13()ca， 可解得 ， （）先化简条件： ， 即 M223acb21c24aMO|A再 OA 中垂线上， ， 再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求 ；利用两直线方程组求 H，最后Mx B根据 ， 列等量关系解出直线斜率.取值范围HFB
