1、第六讲、直线和圆的方程四、 平面解析几何初步（一）直线与方程1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。2.理解直线的倾斜角和斜率的概念及相互间的关系，掌握过两点的直线斜率的计算公式。3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。4.掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式） ，了解斜截式与一次函数的关系。5.会求两直线的交点坐标。6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。（二）圆与方程1.掌握圆的标准方程与一般方程。2.能判断直线与圆、圆与圆的位置关系。3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。4.初步了解用代数方法处理几何问题。（三
2、）空间直角坐标系1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置。2.了解空间两点间的距离公式。直线方程1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j数轴上两点间距离公式： 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jAB2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j直角坐标平面内的两点间距离公式： 212)()(yP3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线，如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 ，那么 就叫做直线的倾斜角 头htp:/w.xjkygcom126t:/
3、.j当直线和 x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为 0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j可见，直线倾斜角的取值范围是 0 180 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j直线的斜率：倾斜角 不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即 k=tan （ 90） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j倾 斜 角 是 90的 直 线 没 有 斜 率 ； 倾 斜 角 不 是 90的 直 线 都 有 斜 率 ， 其 取 值 范 围 是（ ， + ）5 头htp:/w.xjkygcom12
4、6t:/.j直线的方向向量：设 F1（x 1，y 1） 、F 2（x 2，y 2）是直线上不同的两点，则向量=（x 2x 1，y 2y 1）称为直线的方向向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量 =（1， ）F 12F12xy=（1，k）也是该直线的方向向量，k 是直线的斜率 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j特别地，垂直于 轴的直线的一个方向向量为 (0,1) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.ja6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j求直线斜率的方法定义法：已知直线的倾斜角为 ，且 90，则斜率 k=tan 头htp:/w.xjky
5、gcom126t:/.j公式法：已知直线过两点 P1（x 1，y 1） 、P 2（x 2，y 2） ，且 x1x 2，则斜率 k= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j方向向量法：若 =（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率 k= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.ja n平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j对于直线上任意两点 P1（x 1，y 1） 、P 2（x 2，y 2） ，当 x1=x2 时，直线斜率 k 不存在，倾斜角 =90；当 x1x 2 时，直线斜率存在，是一实数，并且 k0
6、 时， =arctank；k0时， =+arctank 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j直线方程的五种形式点斜式： ， 斜截式： ，两点式： ，)(00xkybkxy1212xy截距式： ，一般式：1bax0CBA两直线的位置关系1特殊情况下的两直线平行与垂直当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为 90，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为 0 时，一条直线的倾斜角为 90，另一条直线的倾斜角为 0，两直线互相垂直 新 疆学 案王 新 敞2斜率存在时两直线的平行与垂直：两条直线
7、有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即 = 且 新 疆学 案王 新 敞21/l1k221b已知直线 、 的方程为 ： ，1l2 0CyBxA：2l0CyBxA),(21 的充要条件是 新 疆学 案王 新 敞1l2 221两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是 和 ，则这两条直线垂直的充1k2要条件是 12k已知直线 和 的一般式方程为 ： ，l1l01CyBxA： ，则 2l02CyBxA2213 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j直线 到 的角的定义及公式：直线 按逆时针方向旋转到与 重合时所转的角,叫做 到 的角 头h
8、tp:/w.xjkygcom126t:/.j 到 的角 ：1l 2l 1ll20 180， 如果 如果 ， .,0121则即 kk 01新 疆学 案王 新 敞12tank4直线 与 的夹角定义及公式: l到 的角是 , 到 的角是 - ,当 与 相交但不垂直时, 和 - 仅有1212l11l211一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j当直线 时,直线 与 的夹角是l2l2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j夹角 ：0 90 新 疆学 案王 新 敞如果 如果 ， 新 疆学 案王 新 敞.2,1,221 则即 k012k12t
9、ank5两条直线是否相交的判断两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：是否有惟一解 新 疆学 案王 新 敞02211CyBxA6点到直线距离公式：点 到直线 的距离为：),(0yxP0:ByAxl 20BACyxd7两平行线间的距离公式已知两条平行线直线 和 的一般式方程为 ： ，1l21l01yx： ，则 与 的距离为 新 疆学 案王 新 敞2l02CByAx1l2 2BACd8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 直线系方程:若两条直线 ： ， ： 有交点，则1l01yBxAl02yx过 与 交点的直线系方程为 或l )( )(2+ ( 为常数) 头htp:/
10、w.xjkygcom126t:/.j)(22CyBxA11Cyx简单的线性规划及实际应用1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j二元一次不等式表示平面区域:在平面直角坐标系中，已知直线 Ax+By+C=0，坐标平面内的点 P（x 0，y 0） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jB0 时，Ax 0+By0+C0，则点 P（x 0，y 0）在直线的上方；Ax 0+By0+C0，则点P（x 0， y0）在直线的下方 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j对于任意的二元一次不等式 Ax+By+C0（或0） ，无论 B 为正值还是负值，我们都可以把 y 项的系数变形为
11、正数 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j当 B0 时，Ax+ By+C0 表示直线 Ax+By+C=0 上方的区域；Ax+By+C 0 表示直线 Ax+By+C=0 下方的区域 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域） ；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解 头htp:/w.xjkygco
12、m126t:/.j生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量 x、y； （2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数 z=f（x，y ） ； （4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域） ；（5）利用线性目标函数作平行直线系 f（x ，y）=t（t 为参数） ；（6）观察图形，找到直线 f（ x，y）=t 在可行域上使 t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j曲线和方程1平面解析几何研究的主要问题：根据已知条件求出表示
13、平面曲线的方程；通过方程，研究平面曲线的性质 新 疆学 案王 新 敞 2 “曲线的方程” 、 “方程的曲线”的定义：在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 的实数解建立了0),(yxf如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性） 新 疆学 案王 新 敞(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 （完备性） 新 疆学 案王 新 敞那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线 新 疆学 案王 新 敞3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j求简单的曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点 M 的坐标；（2）写出适合
14、条件 P 的点 M 的集合；（3）用坐标表示条件 P（M） ，列出方程 ;0),(yxf（4）化方程 为最简形式；0),(yxf（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 新 疆学 案王 新 敞 4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j由方程画曲线(图形)的步骤：讨论曲线的对称性(关于 x 轴、y 轴和原点) ；求截距：方 程 组 ， 的 解 是 曲 线 与 轴 交 点 的 坐 标 ；fxy()0方 程 组 ， 的 解 是 曲 线 与 轴 交 点 的 坐 标 ；fx()0y讨论曲线的范围；列表、描点、画线5交点：求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组6曲线系方程
15、：过两曲线 f1(x，y)=0 和 f2(x，y)=0 的交点的曲线系方程是 f1(x，y)f 2(x，y)=0(R)求轨迹有直接法、定义法和参数法，最常使用的就是参数法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j圆的方程1圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j圆的标准方程圆心为（a，b） ，半径为 r 的圆的标准方程为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2)()(rbyax3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j圆的一般方程二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 头htp:/w.xjkyg
16、com126t:/.j（ *）配方得（x+ ） 2+（y+ ） 2= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jDE4FD把方程 )04(02FED其中，半径是 ，圆心坐标是 叫做圆的一般方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j24r2，（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：x 2、y 2 项系数相等且不为零 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 没有 xy 项 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（2）当 D2+E24F=0 时，方程（*）表示点（ ， ） ；DE当 D2+E24F0 时，方程（ *）不表示任何图形 头htp:/w.xjkygc
17、om126t:/.j（3）根据条件列出关于 D、 E、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j圆的参数方程圆心在 O（0，0） ，半径为 r 的圆的参数方程是： cos()inxry是 参 数圆心在点 ，半径为 的圆的参数方程是：)(baC， )(si是 参 数rba在中消去 得 x2+y2=r2，在中消去 得（xa） 2+（yb） 2=r2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j
18、二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件若二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆，则有 A=C0，B=0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j在 A=C0，B=0 时，二元二次方程化为 x2+y2+ x+ y+ =0，ADEF仅当 D2+E24AF0 时表示圆 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j故 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是：A=C 0，B=0，D 2+E24AF0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j6 头htp:/
19、w.xjkygcom126t:/.j 线段 AB 为直径的圆的方程： 若 ，则以线段 AB 为直径的圆的方),(),(21yx，程是 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j0)()(121 yx7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j经过两个圆交点的圆系方程：经过 ，01FE的交点的圆系方程是：022FyED 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j)(22112xDyx在过两圆公共点的图象方程中，若 =1，可得两圆公共弦所在的直线方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 经过直线与圆交点的圆系方程
20、： 经过直线 与圆0CBAl：的交点的圆系方程是：0FEyD )(2yxFEyDx9 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j确定圆需三个独立的条件（1）标准方程： ， 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j22)()(rbyax交交rba),(（2）一般方程： ， （0FE)042FE,),(交ED24Dr对称问题1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j设 P（x 0，y 0） ，对称中心为 A（a，b） ，则
21、 P 关于 A 的对称点为P（2 ax 0， 2by 0）2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线” 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j利用“垂直” “平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j一般情形如下：设点 P（x 0，y 0）关于直线 y=kx+b 的对称点为 P（x ，y） ，则有，可求出 x、 y012ykxxb特殊地，点 P（x 0，y 0）关于直线 x=a 的对称点为 P（2 ax 0，y 0） ；点 P（x 0，y 0）关
22、于直线 y=b 的对称点为 P（x 0，2by 0） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题：一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j一般结论如下：（ 1） 曲 线 f（ x， y） =0 关 于 已 知 点 A（ a， b） 的 对 称 曲 线 的 方 程 是 f（ 2a x， 2b y） =0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（2）曲线 f（x ，y）=0 关于直线 y=kx+b 的对称曲
23、线的求法：设曲线 f（x，y）=0 上任意一点为 P（x 0，y 0） ，P 点关于直线 y=kx+b 的对称点为P（y ，x） ，则由（2）知， P 与 P的坐标满足从中解出 x0、y 0，012kyxb代 入 已 知 曲 线 f（ x， y） =0， 应 有 f（ x0， y0） =0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j利 用 坐 标 代 换 法 就 可 求 出 曲 线 f（ x， y）=0 关 于 直 线 y=kx+b 的 对 称 曲 线 方 程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j直线与圆、圆与圆的位置关系1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j研
24、究圆与直线的位置关系最常用的方法：判别式法；考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。直线 与圆 的位置关系有三种，若0CByA22)()(rbyax，则 ;2bad0交rd; 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j0交r 交2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为 O1，O 2，半径分别为 r1，r 2， dO21 交交421rd 3 交交22121 rdr 交 交210r3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j直 线 和 圆 相 切 ：这 类 问 题 主 要 是 求 圆 的 切 线 方 程 头htp:/w.xjkygcom
25、126t:/.j求 圆 的 切 线 方 程 主 要 可 分 为 已 知 斜 率 k 或 已 知 直 线 上 一 点两 种 情 况 ， 而 已 知 直 线 上 一 点 又 可 分 为 已 知 圆 上 一 点 和 圆 外 一 点 两 种 情 况 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j过圆上一点的切线方程：圆 为切点的切线方程是),(022xPr的 以。20ryx当点 在圆外时， 表示切点弦的方程。0(,)P20ryx一般地，曲线 为切点的切线方程是：)(02 yxPFEDCyAx ，的 以 点。0000yxA当点 在圆外时， 表示切点弦的方0(,)P 0200 FyExyCxA程。这个结
26、论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的常规过程去做。过圆外一点的切线方程：4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j直线和圆相交：这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j经过两个圆交点的圆系方程：经过 ，01FED的交点的圆系方程是：022FyExD。)(22211 yxyx在过两圆公共点的图象方程中，若 =1，可得两圆公共弦所在的直线方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 经过直线与圆交点的圆
27、系方程： 经过直线 与圆0CBAl：的交点的圆系方程是：0FEyD0)(2 CByAxFEyDxy7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j几何法: 比较圆心到直线的距离与圆半径的大小 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j代数法: 讨论圆的方程与直线方程的实数解的组数 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j直线与圆练习题 一、选择题：1. 已知过 、 两点的直线与直线 平行，则 的值为（ aA,18,B012yxa）A. -10 B. 2 C.5 D.172. 设直线 的倾角为 ，则它关于 轴对称的直线的倾角是
28、（ ）0nmyxx. B. C. D.23. 已知过 两点的直线与直线 垂直，则 的值（ ）)4,(,2(BAxy1mA.4 B.-8 C.2 D.-1 4. 若点 到点 及 的距离之和最小，则 的值为（ ）(,0)Pm(3,2)(,8)A. B. 1 C. 2 D. 2 15. 不论 为何值，直线 恒过的一个定点是（ ）k 0)4()()( kyxkA.(0,0) B.(2,3) C.(3,2) D.(-2,3) 6. 圆 上与直线 的距离等于 的点共有（ ）8)2()1(2yx 12A1 个 B2 个 C3 个 D4 个7. 在 RtABC 中, A90, B60, AB=1, 若圆 O 的圆心在直角边 AC 上, 且与AB 和 BC 所在的直线都相切, 则圆 O 的半径是（ ）A. B. C. D. 31238. 圆 上的点到直线 的距离的最大值是（ ）20xyyxA. B. C D. 1129. 过圆 上一点 的圆的切线方程为（ ）42myx)1,(PA. B. C. D. 03yx002yx012yx10. 已知点 是圆 ： 内一点，直线 是以 为中点的弦所),(baP)O2rmP在的直线，若直线 的方程为 ，则（ ）nbyax
