1、1一 高中数列知识点总结 1. 等差数列的定义与性质定义： 1nad（ 为常数） ， 1nad等差中项： xAy， ， 成等差数列 2Axy前 n项和 112nnSad性质： na是等差数列（1）若 mpq，则 mnpqaa；（2）数列 仍为等差数列， 232nnnSS， ， 仍为1212,n等差数列，公差为 ；d（3）若三个成等差数列，可设为 ad， ，（4）若 nab， 是等差数列，且前 n项和分别为 nST， ，则 21maSb（5） n为等差数列 2nSab（ ， 为常数，是关于 n的常数项为0 的二次函数） nS的最值可求二次函数 2n的最值；或者求出 na中的正、负分界项，即：当
2、10ad， ，解不等式组 10na可得 nS达到最大值时的 值. 当 1， ，由 10na可得 nS达到最小值时的 值. (6)项数为偶数 的等差数列 n， 有2 ),)()()( 111212 为 中 间 两 项 nnnn aaaaS2， .ndS奇偶 1na偶奇（7）项数为奇数 的等差数列 na， 有2，)()1(12为 中 间 项nnS， .na偶奇 1S偶奇2. 等比数列的定义与性质定义： 1naq（ 为常数， 0q） ， 1naq.等比中项： xGy、 、 成等比数列 2Gxy，或 xy.前 n项和： 1()nnaqS（要注意！）性质： na是等比数列（1）若 mpq，则 mnpqa
3、（2） 232nnSS， ， 仍为等比数列,公比为 .nq注意：由 求 a时应注意什么？1时， 1；2n时， 1nnS.3二 解题方法1 求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法如：数列 na， 12125naa，求 na解 1时， 52， 14 n时， 2n 得： 2na， 1n， 1()2na练习数列 n满足 11543nnS， ，求 na注意到 1nna，代入得 n；又 1S， n是等比数列，4nS2时， 1134nnnaS（2）叠乘法如：数列 na中， 113na， ，求 na解 32112n， 1n又 13， na.（3）等差型递推公式由 110()nafa， ，求 n，用迭加法4
4、2n时， 2131()()naff两边相加得 1(2)3()naffn 0()()naff（4）等比型递推公式 1nacd（ 、 为常数， 010cd， ， ）可转化为等比数列，设 1nnnaxxacx令 (1)cxd， 1c， 1nc是首项为 1， 为公比的等比数列 11nnacc， 11nndac（5）倒数法如： 112nnaa， ，求 n由已知得： 11nn， 12na na为等差数列， 1a，公差为 ， 12nn， 21(附：公式法、利用 、累加法、累乘法.构造等差或等1(2)nSnn比 或 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数1nnapq1apf学归纳法、换元法)52 求数列前 n
5、项和的常用方法(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如： na是公差为 d的等差数列，求 1nka解：由 1 10kkkda 1111231nnkkk naddaaa 1nd练习求和： 112323nnnaS，（2）错位相减法若 na为等差数列， nb为等比数列，求数列 nab（差比数列）前 n项和，可由 Sq，求 nS，其中 q为 的公比. 如： 23114nnxx nx x 21nnSxx1x时， 21nn， 时， 1232n nS6（3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. 1212nnnSaa相加 1211nnnnSaaa练习已知
6、 2()xf，则111(1)2(3)(4)ffff由2222() 111xxfx原式 1()2(3)(4)322ffff(附：a.用倒序相加法求数列的前 n 项和如果一个数列a n，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前 n 项和公式的推导，用的就是“ 倒序相加法 ”。b.用公式法求数列的前 n 项和对等差数列、等比数列，求前 n 项和 Sn 可直接用等差、等比数列的前 n 项和公式进行求解。运
7、用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。c.用裂项相消法求数列的前 n 项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前 n 项和。d.用错位相减法求数列的前 n 项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列a nbn中，a n成等差数列， bn成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前 n 项和。e.用迭加法求数列的前 n 项和迭加法主要应用于数列a n满足 an+1=an+f(n)，其中 f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式
8、子变成 an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出 an ，从而求出 Sn。7f.用分组求和法求数列的前 n 项和所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。g.用构造法求数列的前 n 项和所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前 n 项和。)三 方法总结及题型大全方法技巧数列求和的常用方法一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和利用下列常用求和公式求和是
9、数列求和的最基本最重要的方法. 1.等差数列求和公式： dnanS2)1(2)(112、等比数列求和公式： )1(1)(1 qqnnn)(1kSn )2(612nkSn213)(nk例 1 设 是公比大于 1 的等比数列， 为数列 的前 项和已知 ，且nanSna37S构成等差数列234， ，（1）求数列 的等差数列n（2）令 求数列 的前 项和 31l2ba， ， ， ， nbT解：（1）由已知得 解得 3127:()(4).2a， 2a8设数列 的公比为 ，由 ，可得 naq2a132aq，又 ，可知 ，即 ，37S27250q解得 由题意得 12q， 1，故数列 的通项为 1ana2n（
10、2）由于 由（1）得31lnb， ， ， ，312na， 又2lnnb是等差数列n12nTb()3l2(1)ln.故 3()l2nT练习：设 Sn1+2+3+n ， nN*, 求 的最大值.1)32()nSf解：由等差数列求和公式得 ， （利用常1S)2(nn用公式） 1)32()nSnf 6432 6450)8(2n19 当 ，即 n8 时，501)(maxf二、错位相减法设数列 的等比数列，数列 是等差数列，则数列 的前 项和 求解，均可nanbnbnS用错位相减法。例 2（07 高考天津理 21）在数列 中，na，其中 111(2)()nnaaN与 0（）求数列 的通项公式；（）求数列
11、的前 项和 ；nnS（）解：由 ， ，11(2)()naN0可得 ，12nnn所以 为等差数列，其公差为 1，首项为 0，故 ，所以数列nna 21nna的通项公式为 n(1)2nn（）解：设 ， 2341()()nnT345()nn 当 时，式减去式，1得 ，21231 1()()()nnn nnT211212()()()nnnn 这时数列 的前 项和 na2121()nnnnS当 时， 这时数列 的前 项和 1(1)2nTna1()2nnS例 3（07 高考全国文 21）设 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列，且nb10， ，1ab352153ab（）求 ， 的通项公式；n（）求数列 的前 n 项和 nbnS解：（）设 的公差为 ， 的公比为 ，则依题意有 且nadnbq0q42113dq，解得 ， 2dq所以 ，1()21nb（） 12na，1221353nnnS，322nnn得 ，221n nS22112nn12n136n三、逆序相加法把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）例 4（07 豫南五市二联理 22.）设函数 的图象上有两点 P1(x1, y1)、P2(x2, 2)(xfy2)，若 ,且点 P 的横坐标为 .)(212OP1
