1、 第一章 勾股定理1、勾股定理定义：直角三角形的两直角边长的平方和等于斜边的平方。如果用 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和 斜边，那么 a2b 2c 2. ABCbc弦 股 勾勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边2.勾股定理定义的应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在 中， ，则 ，AB90C2cab， ）2bca2cb（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题例. 在 RtABC 中， C=90（1）若 a=5，b=12，则 c=_；（2）b=8，c=17，则 SABC=_。3.勾
2、股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一： ， ，化简4EFGHSS正 方 形 正 方 形 ABCD214()abc可证方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 2214Sabc大正方形面积为 所以22()Sabab4.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2+b2c 2，那么这个三角形是直角三角形。5.勾股数：满足 a2b 2c 2
3、 的三个正整数叫做勾股数（注意：若 a，b，c、为勾股数，那cbaHGFED CBAbac baccabcab么 ka，kb，kc 同样也是勾股数组。 ）常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,137 24 25 ，8 15 17注：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证 c2与 a2+b2是否具有相等关系，若 c2a 2+b2，则 ABC 是以C 为直角的直角三角形若 c2a2+b2，则ABC 是以C 为钝角的钝角三
4、角形；若 c21）bca12nbc12n试说明： C= 。907.若 ABC 的三边 、 、 满足条件 ，试判断abc2acbacb26410382ABC 的形状。（二） 、实际应用：1. 梯子滑动问题：（1）一架长 2.5 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底 0.7 （如图） ，如果mm梯子的顶端沿墙下滑 0.4 ，那么梯子底端将向左滑动 米（2）如图，一个长为 10 米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 米，如果梯子的顶端下滑 1 米，那么，梯子底端的滑动距离 1 米， （填“大于” ， “等于” ，或“小于” ）（3）如图，梯子 AB 斜靠在墙面上，ACBC
5、，AC=BC，当梯子的顶端 A 沿 AC 方向下滑x 米时，梯足 B 沿 CB 方向滑动 y 米，则 x 与 y 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 不能确定yx（4）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多 1 m，当他把绳子的下端拉开 5 米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 米86ACB2. 爬行距离最短问题：1.如图，一块砖宽 AN=5，长 ND=10，CD 上的点 F 距地面的高 FD=8，地面上 A 处的一只蚂蚁到 B 处吃食，要爬行的最短路线是 cm2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20 、3 、2 ，A 和 Bdmd是这
6、个台阶两相对的端点，A 点有一只昆虫想到 B 点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到 B 点的最短路程是 分米？3. 如图，一只蚂蚁沿边长为 a 的正方体表面从点 A 爬到点 B，则它走过的路程最短为（ ）A. B. C. D.a321a3a5BAQNMP（三）求边长：1. （1）在 R 中， 、 、 分别是 A、 B、 C 的对边， C=tABCabc90已知： =6， =10，求 ； 已知： =40， =9，求 ；ac abc2.如图所示，在四边形 ABCD 中， BAD= ， DBC= ，AD=3，AB=4，BC=12，9090求 CD。（四）方向问题：1. 有一次，小明坐着轮船由 A 点
7、出发沿正东方向 AN 航行，在 A 点望湖中小岛 M，测得MAN30，当他到 B 点时，测得MBN45，AB100 米，你能算出 AM 的长吗？ M A B N 2.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行 8 km，接着，它又掉头向正东方向航行 15 千米 此时轮船离开出发点多少 km? 若轮船每航行 1km，需耗油 0.4 升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?（五）利用三角形面积相等：1.如图，小正方形边长为 1，连接小正方形的三个得到，可得ABC，则边 AC 上的高为（ ）A. B. C. D. 235035354 ABC（六）折叠问题：1.如图，在长方形 ABCD 中，将 ABC 沿 A
8、C 对折至 AEC 位置，CE 与 AD 交于点 F。（1）试说明：AF=FC；（2）如果 AB=3，BC=4，求 AF 的长2.如图，在长方形 ABCD 中，DC=5，在 DC 边上存在一点 E，沿直线 AE 把ABC 折叠，使点 D 恰好在 BC 边上，设此点为 F，若ABF 的面积为 30，求折叠的AED 的面积DCBAFE3.如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6，BC=8，现将直角边 AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，你能求出 CD 的长吗？4.如图，B=90，AB=BC=4 ，AD=2，CD=6（1）ACD 是什么三角形？为什么？（2）把ACD 沿直线 AC 向下翻折，CD 交 AB 于点 E，若重叠部分面积为 4，求 DE 的长。 EDCBAC
