1、 高中数学之直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：找 ：直线向上方向、x 轴正方向；平行：=0；范围：0180 。2、斜率：找 k ：k=tan （90） ；垂直：斜率 k 不存在；范围： 斜率 k R 。3、斜率与坐标： 121tanxyxy构造直角三角形（数形结合） ；斜率 k 值于两点先后顺序无关；注意下标的位置对应。4、直线与直线的位置关系： 2211:,: bxkylbxkyl 相交：斜率 （前提是斜率都存在）2特例-垂直时： ；0211 kkxl不 存 在 ， 则轴 ， 即斜率都存在时： 。平行： 斜率都存在时： ；21,bk斜率都不存在时：两直线都与 x 轴垂直。重合： 斜率都
2、存在时： ；21,二、方程与公式：1、直线的五个方程：点斜式： 将已知点 直接带入即可；)(00xkykyx与 斜 率),(0斜截式： 将已知截距 直接带入即可；bb与 斜 率两点式： 将已知两点 直),(21211212 yxxy其 中， ),(,21yx接带入即可；截距式： 将已知截距坐标 直接带入即可；bax ),0(ba一般式： ，其中 A、B 不同时为 00CByA用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：两点间距离： 212121 )()(yxP点到直线距离： 20BACd平行直线间距离： 214、中点、三分点坐
3、标公式：已知两点 ),(),(21yxAB 中点 ： ),(0yx2(1yxAB 三分点 ： 靠近 A 的三分点坐标,21ts)3,211靠近 B 的三分点坐标(2yx中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。5.直线的对称性问题已知点关于已知直线的对称:设这个点为 P（x 0，y 0）,对称后的点坐标为 P（x，y） ，则pp的斜率与已知直线的斜率垂直，且 pp的中点坐标在已知直线上。3、解题指导与易错辨析：1、解析法（坐标法）：建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标；依据代数关系（点在直线或曲线上） ，进行有关代数运算，并得
4、出相关结果；将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明” 。2、动点 P 到两个定点 A、B 的距离“最值问题”： 的最小值：找对称点再连直线，如右图所示： 的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边” ； 的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴” 。2PBA3、直线必过点： 含有一个参数-y=(a-1)x+2a+1 = y=(a-1)(x+2)+3令：x+2=0 = 必过点(-2,3)含有两个参数-(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 = m(3x+y)+n(2y-x-1)=0令：3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解 = 必过点(-1/7,3/7)4、易错辨析： 讨论斜率
5、的存在性：解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：斜率不存在时，是否满足题意；斜率存在时，斜率会有怎样关系。 注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解；（求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。 ）yxo 直线到两定点距离相等，有两种情况：直线与两定点所在直线平行；直线过两定点的中点。圆的方程1. 定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称为圆的圆心，定长为圆的半径.2. 圆的方程表示方法：第一种：圆的一般方程 02FEyDxyx 其中圆心 2,EDC，半径 24FEDr.当 02时，方程表示一个圆，当 时，方程表示一个点 2,ED.当 42FE时，方程无图形
6、.第二种：圆的标准方程 2)()(rbyax.其中点 ),(baC为圆心， r为半径的圆第三种：圆的参数方程圆的参数方程： sincoryx（ 为参数）注：圆的直径方程：已知 0)()(),(),( 212121 yxByA3. 点和圆的位置关系：给定点 ,0M及圆 :rbyaxC. M在圆 C内 220)()(rbyax 在圆 上 0（ 在圆 外 220)()(rbyax4. 直线和圆的位置关系：设圆圆 C： )0()()(22r； 直线 l： )0(2BACyAx；圆心 ),(ba到直线 l的距离 2BACbad. rd时， l与 C相切； 时， 与 相交；， 时， l与 相离. 5、圆的
7、切线方程：一般方程若点( x0 ,y0)在圆上，则( x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地，过圆 2ryx上一点 P的切线方程为 2r.(注:该点在圆上，则切线方程只有一条)若点( x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则 1)(2001Rxakyb，联立求出 k切线方程.（注：过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于 X 轴的直线。 ）6.圆系方程：过两圆的交点的圆方程：假设两圆方程为：C 1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 则过两圆的交点圆方程可设为：x2+y2+D1x+E1
8、y+F1+（x 2+y2+D2x+E2y+F2）=0过两圆的交点的直线方程：x 2+y2+D1x+E1y+F1- x2+y2+D2x+E2y+F2=0（两圆的方程相减得到的方程就是直线方程）7.与圆有关的计算：弦长的计算：AB=2*R 2-d2 其中 R 是圆的半径，d 等于圆心到直线的距离AB=（1+k 2）*X 1-X2 其中 k 是直线的斜率，X 1与 X2是直线与圆的方程联立之后得到的两个根过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线圆内的最长弦是直径8.圆的一些最值问题圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径假设 P（x，y）是在某个圆上的动点，则（x-a）/（y-b）的最值可以转化为圆上的点与该点（a，b）的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值。假设 P（x，y）是在某个圆上的动点，则求 x+y 或 x-y 的最值可以转化为：设 T=x+y 或T=x-y，在圆上找到点(X,Y)使得以 y=x+T 或 y=x-T 在 Y 轴上的截距最值化。9.圆的对称问题已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆心坐标
