1、1直线与圆的方程一、直线的方程1、倾斜角： L，范围 0 ，若 轴或与 轴重合时， =00。xl/2、斜率： k=tan 与 的关系： =0 =0已知 L 上两点 P1（x 1,y1） 0 02kP2（x 2,y2） = 不存在 k= 12y02当 = 时， =900， 不存在。当 时， =arctank， 0 时，1x20= +arctank3、截距（略）曲线过原点 横纵截距都为 0。4、直线方程的几种形式已知 方程 说明 几种特殊位置的直线斜截式 K、b Y=kx+b 不含 y 轴和行平于 y 轴的直线x 轴：y=0点斜式 P1=(x1,y1)ky-y1=k(x-x1) 不含 y 轴和平行
2、于 y 轴的直线y 轴：x=0两点式 P1(x1,y1)P2(x2,y2) 1212xy不含坐标辆和平行于坐标轴的直线平行于 x 轴：y=b截距式 a、b b不含坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线平行于 y 轴：x=a过原点：y=kx一般式 Ax+by+c=0 A、B 不同时为0两个重要结论：平面内任何一条直线的方程都是关于 x、y 的二元一次方程。任何一个关于 x、y 的二元一次方程都表示一条直线。5、直线系：（1）共点直线系方程：p 0（x 0,y0）为定值，k 为参数 y-y0=k（x-x 0）特别：y=kx+b，表示过（0、b）的直线系（不含 y 轴）（2）平行直线系：y=kx+b，k
3、 为定值，b 为参数。AX+BY+入=0 表示与 Ax+By+C=0 平行的直线系BX-AY+入=0 表示与 AX+BY+C 垂直的直线系2（3）过 L1,L2 交点的直线系 A1x+B1y+C1+入（A 2X+B2Y+C2）=0（不含 L2）6、三点共线的判定： ，K AB=KBC，CB写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。二、两直线的位置关系1、L1：y=k 1x+b1L2：y=k 2x+b2L1：A 1X+B1Y+C1=0L2：A 2X+B2Y+C2=0L1 与 L2 组成的方程组平行 K1=k2 且 b1b 2 2121CB无解重合 K1=k2 且 b1=b2 2121A有无数多
4、解相交 K1k 2 21B有唯一解垂直 K1k2=-1 A1A2+B1B2=0（说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑）2、L 1 到 L2 的角为 0，则 （ ）12tank23、夹角： 12tank4、点到直线距离： （已知点（p 0(x0,y0)，L：AX+BY+C=0 ）20BAcyxd两行平线间距离：L 1=AX+BY+C1=0 L2：AX+BY+C 2=021BAcd与 AX+BY+C=0 平行且距离为 d 的直线方程为 Ax+By+C 02与 AX+BY+C1=0 和 AX+BY+C2=0 平行且距离相等的直线方程是02CBYAX5、对称：（1）点关于点对称：p(x 1,y1)关
5、于 M（x 0,y0）的对称 )2,(1010YXP（2）点关于线的对称：设 p(a、b)对称轴 对称点 p对称轴 对称点 pX 轴 )(ba、 Y=-x )(ab、3Y 轴 )(bap、X=m(m0) )2(bamp、y=x 、y=n(n0) n、一般方法：如图：(思路 1)设 P 点关于 L 的对称点为 P0(x0,y0) 则 Kpp0 KL=1P, P0 中点满足 L 方程解出 P0(x0,y0)（思路 2）写出过 PL 的垂线方程，先求垂足，然后用中点坐标公式求出P0(x0,y0)的坐标。Py LP0x（3）直线关于点对称L：AX+BY+C=0 关于点 P（X 0、Y 0）的对称直线
6、：A （2X 0-X）+B（2Y 0-Y）+C=0l（4）直线关于直线对称几种特殊位置的对称：已知曲线 f(x、y)=0关于 x 轴对称曲线是 f(x、-y)=0 关于 y=x 对称曲线是 f(y、x)=0关于 y 轴对称曲线是 f(-x、y)=0 关于 y= -x 对称曲线是 f(-y、-x)=0关于原点对称曲线是 f(-x、-y)=0 关于 x=a 对称曲线是 f(2a-x、y)=0关于 y=b 对称曲线是 f(x、2b-y)=0一般位置的对称、结合平几知识找出相关特征，逐步求解。三、简单的线性规划L Y不等式表示的区域O X AX+BY+C=0约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函
7、数、线性规划，可行解，最优解。要点：作图必须准确（建议稍画大一点） 。线性约束条件必须考虑完整。先找可行域再找最优解。四、圆的方程1、圆的方程：标准方程 ，c（a、b）为圆心，r 为半径。22)(yax一般方程： ，02FEYDXyx4，2,EDC24FEr当 时，表示一个点。04F当 时，不表示任何图形。2E参数方程： cosrax为参数inby以 A（X 1，Y 1） ，B（X 2，Y 2）为直径的两端点的圆的方程是（X-X 1） （X-X 2）+ （Y-Y 1） （ Y-Y2）=02、点与圆的位置关系：考察点到圆心距离 d，然后与 r 比较大小。3、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离判
8、定：联立方程组，消去一个未知量，得到一个一元二次方程：0 相交、0相切、 0 相离利用圆心 c (a、b)到直线 AX+BY+C=0 的距离 d 来确定：dr 相交、dr 相切 dr 相离（直线与圆相交，注意半径、弦心距、半弦长所组成的 kt）4、圆的切线：（1）过圆上一点的切线方程与圆 相切于点（x 1、y 1）的切线方程是22ryx 21ryx与圆 相切于点（x 1、y 1）的切成方程2)()(rba为： 211 )(rbyx与圆 相切于点（x 1、y 1）的切线是02FEYDXy)2()(111 yxx（2）过圆外一点切线方程的求法：已知：p 0(x0，y 0)是圆 外一点2)()(rb
9、yax2121)()(rbax设切点是 p1(x1、y 1)解方程组21010 )()( rby先求出 p1 的坐标，再写切线的方程设切线是 即)(00xky0ykx再由 ，求出 k，再写出方程。rbka125（当 k 值唯一时，应结合图形、考察是否有垂直于 x 轴的切线）已知斜率的切线方程：设 （b 待定） ，利用圆心到 L 距离为 r，确定kxyb。5、圆与圆的位置关系由圆心距进行判断、相交、相离（外离、内含） 、相切（外切、内切）6、圆系同心圆系： ， （a、b 为常数，r 为参数）22)()(ryax或： （D 、E 为常数，F 为参数）02YXy圆心在 x 轴： 22)(ry圆心在
10、y 轴： b过原点的圆系方程 222)()(bayax过两圆 和0: 1121 FYEXDyC的交点的圆系方程为: 222 x（不含 C2） ，其中0(2211 FYEXyxy入入为参数若 C1 与 C2 相交，则两方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程。类型一：圆的方程例 1 求过两点 )4,1(A、 )2,3(B且圆心在直线 0y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点 P与圆的位置关系，只须看点 P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内
11、解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为 22)()(rbyax圆心在 0y上，故 圆的方程为 22)(ryx又该圆过 4,1A、 ,3(B两点6 224)3(16ra解之得： ， 0所以所求圆的方程为 2)1(2yx解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过 )4,(A、 ),3(B两点，所以圆心 C必在线段 AB的垂直平分线 l上，又因为 132ABk，故 l的斜率为 1，又 AB的中点为 )3,2(，故 的垂直平分线 的方程为： xy即 0y又知圆心在直线 上，故圆心坐标为 )0,1(C半径 24)1(2ACr故所求圆的方程为 yx又点 )4,2(P到圆心 )0,(的距离为 rCd2512
12、点 在圆外说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例 2 求半径为 4，与圆 0422yx相切，且和直线 0y相切的圆的方程分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解解：则题意，设所求圆的方程为圆 22)()(rbaC： 圆 C与直线 0y相切，且半径为 4，则圆心 的坐标为 )4,(1aC或 )4,(2又已知圆 0242yx的圆心 A的坐标为 2，半径为 3若两圆相切，则 73A或 3C(1)当 ),(1aC时， 22)1()(，或 22
13、1)4()(a(无解)，故可得027所求圆方程为 224)()10(yx，或 24)10(yx(2)当 ,(2aC时， 227)()(，或 221)4()(a(无解)，故6所求圆的方程为 224)()6(yx，或 224)(yx说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线 0相切且半径为 4，则圆心坐标为 )4,(aC，且方程形如224)()(yax又圆 022yx，即 2231yx，其圆心为 1,A，半径为 3若两圆相切，则 3CA故 7)()(，解之得 02所以欲求圆的方程为 224)1(yx，或24)()(yx上述误解只考虑了圆心在直线 0上方的情形，而疏漏了圆心在直线 0y下方的
14、情形另外，误解中没有考虑两圆内切的情况也是不全面的例 3 求经过点 )5,0(A，且与直线 2yx和 0yx都相切的圆的方程分析：欲确定圆的方程需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点 A，故只需确定圆心坐标又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上解：圆和直线 yx与 yx相切，圆心 C在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线 02和 的距离相等 5yx两直线交角的平分线方程是 03yx或 yx又圆过点 ),0(A，圆心 C只能在直线 yx上8设圆心 )3,(tC 到直线 02yx的距离等于 AC， 2)53(5tt化简整理得 062t解得： 1t或圆心是 )3,(，半径为 5或圆
15、心是 )15,(，半径为 5所求圆的方程为 )3()22yx或 12)(2yx说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法例 4、 设圆满足：(1)截 y轴所得弦长为 2；(2) 被 x轴分成两段弧，其弧长的比为 1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线 0yl： 的距离最小的圆的方程分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合
16、题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程解法一：设圆心为 ),(baP，半径为 r则 到 x轴、 y轴的距离分别为 和 a由题设知：圆截 轴所得劣弧所对的圆心角为 90，故圆截 x轴所得弦长为 r2 2br又圆截 y轴所得弦长为 2 12a又 ),(bP到直线 0yx的距离为52d 22ba49)(2422ba1b当且仅当 a时取“=”号，此时 5mind这时有 12b a或又 22br故所求圆的方程为 2)1()(2yx或 2)1()(2yx解法二：同解法一，得 52bad d 2254ba将 1代入上式得： 022db上述方程有实根，故 )15(82， d将 5代入方程得 1b又
17、 12ab 由 知 、 b同号故所求圆的方程为 2)1()(2yx或 2)1()(2yx10说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例 5 已知圆 42yxO： ，求过点 42，P与圆 O相切的切线解：点 ，P不在圆 上， 切线 T的直线方程可设为 42xky根据 rd 214k解得 43k所以 2xy即 013因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为 2x说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于 0 解决（
18、也要注意漏解） 还可以运用 20ryx，求出切点坐标 0x、 y的值来解决，此时没有漏解例 6 两圆 1121 FEDC： 与 0222FyExDC： 相交于 A、B两点，求它们的公共弦 AB所在直线的方程分析：首先求 、 两点的坐标，再用两点式求直线 AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧解：设两圆 1、 2的任一交点坐标为 ),(0yx，则有：01020FyExDyx22得： 0)()( 210101 Fyx A、 B的坐标满足方程 )(212yExD方程 )()(1121yExD是过 A、 B两点的直线方程又过 、 两点的直线是唯一的两圆 1C、 2的公共弦 AB所在直线的方程为 0)()( 212 Fyx
