1、北京市朝阳区 2016-2017 学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷(理工类) 201611(考试时间 120 分钟 满分 150 分)本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分第一部分(选择题 共 40 分)一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1 已知全集 ,集合 , ,则UR2|0Ax|10Bx()UABA |01xB |C |2D |2x2下列函数中,在其定义域上既是偶函数又在 上单调递减的是(0),A2yxB 1yxC lg|yxD 2xy3若 , , ,则 , , 的大小关系是2.1l
2、og06a0.6b0.5log6cabcA B C Dcaa4 已知函数 ,若对任意 ,且 ,不等式2()fx12,)x12x恒成立,则实数 的取值范围是12()0fxA B C D (,)1,)21(,)41,)45设 且 , “不等式 ”成立的一个充分不必要条件是Rm04+mA B C D 12m2m6已知三角形 外接圆 的半径为 ( 为圆心) ,且 , COOABC0,则 等于 |2|OAA B C D1541521541527已知函数 则函数 的零点个数是21,0,()logxf 1()()2gxfA4 B3 C2 D18. 5 个黑球和 4 个白球从左到右任意排成一排,下列说法正确的
3、是A总存在一个黑球,它右侧的白球和黑球一样多B总存在一个白球,它右侧的白球和黑球一样多C总存在一个黑球,它右侧的白球比黑球少一个D总存在一个白球,它右侧的白球比黑球少一个第二部分(非选择题 共 110 分)二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分把答案填在答题卡上 9 已知平面向量 (1,2)(,)yab.若 a/b,则 .y10函数 的单调递减区间为 .()cosinfxx11各项均为正数的等比数列 的前 项和为 .若 , ,则 nS23245S1a, 4S12已知角 A 为三角形的一个内角,且3cos5A,则 tan ,tan()4A.13已知函数 在 上是具有单调性,
4、则实数 的取值范21,0()xmfx(,)m围 . 14 九章算术是我国古代一部重要的数学著作,书中有如下问题 :“今有良马与驽马发长安,至齐齐去长安三千里,良马初日行一百九十三里,日增一十三里,驽马初日行九十七里,日减半里良马先至齐,复还迎驽马,问几何日相逢 ”其大意为:“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去,已知长安和齐的距离是 3000 里,良马第一天行 193 里,之后每天比前一天多行 13 里,驽马第一天行 97 里,之后每天比前一天少行 0.5 里良马到齐后,立刻返回去迎驽马,多少天后两马相遇 ”试确定离开长安后的第 天,两马相逢DCBA三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分
5、解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程15 (本小题满分 13 分)已知数列 是公差不为 0 的等差数列, ,且 成等比()Nna1a2481,a数列.()求数列 的通项公式;n()设数列 的前 项和为 ,求证: .1na nT1n16 (本小题满分 13 分)已知函数 ( )的图象经过点 . ()sin3cosfxaxaR(,0)3()求 的最小正周期;()若 ,求 的取值范围. 3,2x()fx17 (本小题满分 13 分)如图,已知 四点共面, , , , ,ABCD=12BC4A120AB.27cosD()求 的值;in()求 的长.A18 (本小题满分 13 分)已知函数 , 2()
6、cos4xfax()R,2x()若函数 是偶函数,试求 的值;f()当 时,求证:函数 在 上单调递减.0a()fx0,219 (本小题满分 14 分)已知函数 , 2()e)xfaR()当 时,求曲线 在点 处的切线方程;1a(yf0,()f()若函数 在 上单调递减,试求 的取值范围;()fx3,0)a()若函数 的最小值为 ,试求 的值2e20 (本小题满分 14 分)设 是正奇数,数列 ( )定义如下: ,对任意 ,ba, ncNbca21,3n是 的最大奇约数数列 中的所有项构成集合 nc21n A()若 ,写出集合 ; 5,9A()对 ,令 表示 中的较大值) ,求证:k21=ma
7、x,kkdc(ax,pq,;k1()证明集合 是有限集,并写出集合 中的最小数AA北京市朝阳区 2016-2017 学年度第一学期高三年级统一考试数学答案(理工类) 201611一、选择题:(满分 40 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C B D C A B A二、填空题:(满分 30 分)题号 9 10 11 12 13 14答案 4,()2Zk125437(1,26(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分)三、解答题:(满分 80 分)15 (本小题满分 13 分)解:()设 的公差为 nad因为 成等比数列,所以 2481, 2481()a即 11()37ad
8、d化简得 ,即 21()()a21da又 ,且 ,解得 10d所以有 7 分1()nn()由()得: 11()na所以 1231nTnn因此, 13 分1n16 (本小题满分 13 分)解:()因为函数 的图象经过点 ,()sin3cosfxax(,0)3所以 0.32f解得 3 分1a所以 ()sincosin()3fxx所以 最小正周期为 6 分()因为 ,所以 32x7.6x所以当 ,即 时, 取得最大值,最大值是 ;5()f 2当 ,即 时, 取得最小值,最小值是73x2xx1.所以 的取值范围是 13 分()f1,17 (本小题满分 13 分)解:()在 中,因为 ,所以 BDC27
9、cosBDC21sin7BDC由正弦定理 得,=sini 5 分21si 4BC()在 中,由 得,D22cosDBCBD2741所以 解得 或 (舍) 230B7B37又因为 cos=cs12ADC( )0osin120iDBC 5732147=在 中,因为ABD2=cosABDA,7=16724()21所以 13 分3AD18 (本小题满分 13 分)解:()因为函数 是偶函数,()fx所以22()cos()cos44xfaax恒成立2()xf所以 4 分0a()由题意可知 ()sin2xfa设 ,则 注意到 , ()sigx1()cos2gx(0,)2a由 ,即 ,解得 01co0x3由
10、 ,即 ,解得 ()xs2x所以 在 单调递减, 单调递增g,)3(,)2所以当 , ,所以 在 单调递减,(0x(0gxa()fx(0,)3当 , ,所以 在 单调递减,,)2)142所以当 时,函数 在 上单调递减. 13 分a(fx,219 (本小题满分 14 分)解:由题意可知 2()e)xfa()因为 ,则 , ,1a01(f所以函数 ()fx在点 处的切线方程为 ,)(1)0)yx即 3 分y()因为函数 在 上单调递减,()fx3,0)所以当 时, 恒成立(3,0)x2()e)0xfa即当 时, 恒成立20显然,当 时,函数 单调递减,(,1)x2()gx当 时,函数 单调递增0
11、a所以要使得“当 时, 恒成立” ,(3,)x20x等价于 即 所以 8 分)(0.g0.a3()设 ,则 2()x4当 ,即 时, ,所以 4a1()gx()0fx所以函数 在 单增,所以函数 没有最小值()fx,)f当 ,即 时,令 得 ,02()e)xa20xa解得 12,1xaxa随着 变化时, 和 的变化情况如下:()ffx( , ( 1, +)a 1+a( 1,)a) f 0 0 ( 极大值 极小值 当 时, .x ,1a22( 1)1xaa所以 .20所以 .2()e)xf又因为函数 的最小值为 ,所以函数 的最小值只能在 处取得.()fx21xa所以 .1211e()e(1)2
12、ea a 所以 .e()a易得 .1a解得 14 分3以下证明解的唯一性,仅供参考: 设 1()e(1)ag因为 ,所以 , 0 +00a设 ,则 . 1xax设 ,则 .()exh()e(1)h当 时, ,从而易知 为减函数.00ga当 , ;当 , (,3)a(ga(3,)(0所以方程 只有唯一解 1e1)e320 (本小题满分 14 分)解:()数列 为:9,15,3,9,3 ,3,3 , nc故集合 3 分,15A()证明:由题设,对 , , 都是奇数,所以 是偶数2nc1 21nc从而 的最大奇约数 , 21nc2n所以 ,当且仅当 时等号成立 ,max21n 21nc所以,对 有 ,kkkk dcc,ax2且 kk ,m,212所以 ,当且仅当 时等号成立9 分kcda1 12kc()由()知,当 时,有 3n,ax1nnc所以对 ,有 12,cb又 是正奇数,且不超过 的正奇数是有限的,ncma所以数列 中的不同项是有限的所以集合 是有限集A集合 中的最小数是 的最大公约数 14 分ba,