1、1数列题目精选精编【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质1. 研究通项的性质例题 1. 已知数列 na满足 11,3(2)na. （1）求 32,；（2）证明： n.解：（1） 2123,14,1aa. （2）证明：由已知nn，故 )()()( 12211 aaannn 123n， 所以证得32. 例题 2. 数列 na的前 项和记为 11,(1)nnSaS（）求 的通项公式；（）等差数列 nb的各项为正，其前 项和为 nT，且 35，又 123,abab成等比数列，求 nT. 解：（）由 12aS可得 12()naS，两式相减得： 1,3n，又 213S 2 故 n是首项为 1，公比为
2、 3 的等比数列 n（）设 b的公差为 d，由 315T得，可得 1235b，可得 2b故可设 135,，又 23,9a，由题意可得 ()(9)(，解得 12,0d等差数列 n的各项为正， 0 2()3nTn例题 3. 已知数列 na的前三项与数列 nb的前三项对应相同，且 213.a128na对任意的 *N都成立，数列 n1是等差数列. 求数列 n与 b的通项公式；是否存在 k，使得 (0,)ka，请说明理由. 点拨：（1） 2113.8na左边相当于是数列 12na前 n 项和的形式，可以联想到已知 nS求na的方法，当 n时， 1nS. （2）把 kb看作一个函数，利用函数的思想方法来研
3、究 kb的取值情况. 解：（1）已知 213a 1na8(*N）时， 2 2)n）得， 8n，求得4n，在中令 ，可得得 11，2所以42na(N*）. 由题意 18b， ， 32b，所以 214b， 32b，数列 n的公差为 )(， 1n)1(46n，2321n()8 74(*N）. （2） kba7k4k，当 4时，2()f 单调递增，且 (4)1f，所以 k时， 14fkk， 又 (1)2(3)0f ，所以，不存在 *N，使得 (,)kba. 例题 4. 设各项均为正数的数列a n和b n满足：a n、b n、a n+1 成等差数列，b n、a n+1、b n+1 成等比数列，且 a1
4、= 1， b1 = 2 ， a2 = 3 ，求通项 an，b n 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解： 依题意得： 2bn+1 = an+1 + an+2 a2n+1 = bnbn+1 a n、b n 为正数， 由得 21211,nnn baba， 代入并同除以 1n得： 2 ， n为等差数列 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j b 1 = 2 ， a2 = 3 ， 9,21b则， 2)1(),1()9)( nnn，当 n2 时， 21bnn，又 a1 = 1，当 n = 1 时成立， )(a 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2. 研究前 n 项和
5、的性质例题 5. 已知等比数列 n的前 项和为 nSab，且 13a. （1）求 a、 b的值及数列 a的通项公式；（2）设n，求数列 n的前 项和 nT.解：（1） 2时， aS12.而 n为等比数列，得 aa12，又 3a，得 ，从而 3na.又 3,b.（2） 1nnb， 21()n nT32311(22n nT ） ，得 211()232n nT ，11)4()32nn n.例题 6. 数列 na是首项为 1000，公比为 10的等比数列，数列 bn满足12(lglg)k kba*()N，（1）求数列 n的前 项和的最大值；（2）求数列 |n的前 项和 nS. 解：（1）由题意：410
6、n， l4n，数列 lga是首项为 3，公差为 1的等差数列， 2()lglg3kaa，1()732b由 10nb，得 67n，数列 n的前 项和的最大值为 672S. （2）由（1）当 时， 0b，当 7时， 0n，当 7n时，212313()24nnS当 时，12789n nSbb 27121()4nSb23()41nn. 例题 7. 已知递增的等比数列 na满足 2348a，且 32a是 ， 4的等差中项. （1）求 na的通项公式 ；（2）若12lognnb， 1nSb 求使1230nS成立的 n的最小值. 解：（1）设等比数列的公比为 q（q1） ，由 a1q+a1q2+a1q3=2
7、8，a 1q+a1q3=2（a 1q2+2） ，得：a 1=2，q=2 或 a1=32，q= 2（舍）a n=22（n1） =2n（2） 2lognb，S n=（12+22 2+323+n2n）2S n=（12 2+223+n2n+1） ，S n=2+22+23+2nn2 n+1=（n1）2 n+12，若 Sn+n 2n+1 30 成立，则 2n+132，故 n4，n 的最小值为 5. 例题 8. 已知数列 na的前 n 项和为 Sn，且 1,na成等差数列， *1,Na. 函数 3()logfx. （I）求数列 的通项公式；4（II）设数列 nb满足1(3)(2nnfa，记数列 nb的前 n
8、 项和为 Tn，试比较5213nT与的大小. 解：（I） 1,nSa成等差数列， 1nS 当 2时， 1nSa. 得： 12()nn， 3a，13.n当 n=1 时，由得 12Sa， 又 1,221,aa是以 1 为首项 3 为公比的等比数列， 1.n（II） xlogf， 33()loglnnf， ()()(212nnbf，111)2435673Tnn()n5,12()3比较 123与的大小，只需比较 2()n与 312 的大小即可. 2()(56)510n2(5)10n *,Nn当 *9N与时，(3,;3T与当 10时，22()312,;1nT与当 *n与时，5(),3nn与. 3. 研究
9、生成数列的性质例题 9. （I） 已知数列 nc，其中 nn32，且数列 npc1为等比数列，求常数 p；（II） 设 na、 b是公比不相等的两个等比数列， nba，证明数列 nc不是等比数列. 解：（）因为c n+1pc n是等比数列，故有（c n+1pc n） 2=（ cn+2pc n+1） （c npc n 1） ，将 cn=2n3 n 代入上式，得2n1 +3n1 p（2 n3 n） 2=2n2 +3n2 p（2 n+13 n+1） 2n+3np（2 n1 3 n 1） ， 即（2p）2 n+（3p）3 n2=（2p）2 n+1+（3p）3 n+1 （2p）2 n 1+（3p）3 n
10、 1，整理得 6（2p） （3p）2 n3n=0，解得 p=2 或 p=3. （）设a n、b n的公比分别为 p、q，pq，c n=an+bn. 为证c n不是等比数列只需证 2c 1c3. 事实上， 2=（ a1pb 1q） 2= p2 bq22a 1b1pq，5c1c3=（a 1b 1） （a 1 p2b 1q2）= 1ap2 bq2a 1b1（p 2q 2） . 由于 pq，p 2q 22pq，又 a1、b 1 不为零，因此 c1c3，故c n不是等比数列. 例题 10. n2（ n4）个正数排成 n 行 n 列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等 头ht
11、p:/w.xjkygcom126t:/.j已知 a24=1， 163,842a 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j求 S=a11 + a22 + a33 + + ann 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解： 设数列 1k的公差为 d， 数列 ika（i=1 ，2，3， ，n）的公比为 q 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j则 1k= a11 + （k1）d ， akk = a11 + （k1）dq k1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j依题意得： 163)2(8)(14324qda，解得：a 11 = d = q = 21 头htp:
12、/w.xjkygcom126t:/.j又 n2 个数都是正数， a 11 = d = q = ， a kk = k 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j nS 213212 ， 142，两式相减得： nS21 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例题 11. 已知函数 3()l()fxab的图象经过点 )1,2(A和 ),5(B，记()*3,.fnaN（1）求数列 na的通项公式；（2）设 nTb21,，若 )(ZT，求 m的最小值；（3）求使不等式12)1()(21 paan对一切 *Nn均成立的最大实数 p.解：（1）由题意得 )5(log3b，解得 b，)2(l)
13、(3xf*)12(log,3nn（2）由（1）得 nb， nnT2132513113225nnnT 得 )212(2 n1 61n1n232. nn2nn 2313T，设*,)(Nf，则由 15231)32(5)(11 nnnfn得*,Nf随 的增大而减小当时， nT又 )(Zmn恒成立， 3min（3）由题意得*21)1(2Naap 对恒成立记)(1)(2nnF，则1n2)1()n(42)32(1n )a()(a1132)(1 ,0)FF即是随 的增大而增大 (的最小值为 ，3p，即32maxp.（二）证明等差与等比数列1. 转化为等差等比数列.例题 12. 数列 na中， 2,841a且满
14、足 nnaa12， *N.求数列 的通项公式；设 |21nnS ，求 nS；设 b= ()na* *12(), ()NnnTb ，是否存在最大的整数 m，使得对任意 *Nn，均有nT32m成立？若存在，求出 m的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）由题意， nna12， n为等差数列，设公差为 d，由题意得 83d， 82()102.（2）若 50则 ， |, nnaS时 212192naa6n时， naaS 76555()40nn故 40927（3）11()(2)()2nnban，nT 1 ()34n .2(1)n若 32m对任意 *Nn成立，即 16mn对任意 *N成立，*()1n的最小
15、值是 2，,的最大整数值是 7. 即存在最大整数 ,7使对任意 *n，均有.32nT例题 13. 已知等比数列 nb与数列 a满足 ,nabN*. （1）判断 na是何种数列，并给出证明；（2）若 813120,m与. 解：（1）设 n的公比为 q， 3na， qlog1na3q3na1nan。所以 n是以 3log为公差的等差数列. （2） 81,a所以由等差数列性质可得 120813,m1312020()am120()1ab2. 由简单递推关系证明等差等比数列例题 14. 已知数列 n和 b满足： 1a， 2， n， 1nnba（ *N） ，且 nb是以 q为公比的等比数列. （I）证明：
16、2naq；（II）若 21nc，证明：数列 nc是等比数列；（III）求和： 123421naa. 解法 1：（I）证：由1nbq，有21nnq， *Nnqa2n. （II）证： 2na，22131naq， 2n2n2qa.a，21()5ncq. n是首项为 5，公比为 的等比数列. （III）解： 由（ II）得221nna，22nqa，于是12213212421()()nn na a 421 2()()nqqaqq 82123()nqq . 当 时， 242122131()nnaaqq 3. 当 q时， 242122()nn 23()n23(1)nq. 故2122 11.()nn qqaa
17、 ， ，解法 2：（I）同解法 1（I）. （II）证： 222*2211 ()Nnnnncaqaq，又 125ca，n是首项为 5，公比为 2的等比数列. （III）由解法 1 中（II）的类似方法得 22211()3nnnaaq，34221221 nnaa ，24213kkkkq， 1， ， ， . 2n2n221 q.a.a . 例题 15. 设数列 0,1,)1(, 其 中且项 和 为的 前 nnn aS（1）证明：数列 是等比数列；（2）设数列 na的公比 ()qf，数列 nb满足 1，b n=f （b n1 ） （nN* ， n2） ，求数列 nb的通项公式；（3）设 1，(1)n
18、nCb，求数列 nC的前 n 项和 n. （1）证明：由 11()(2)SaSa相减得：1,2,nna数列 n是等比数列（2）解：91nb是首项为 12b，公差为 1 的等差数列，12()1nnb. nb. （3）解： 时1,(),()(nnaCa 21()3nT得：nnn2112T所以：4()()nnn. 例题 16. OBC的各个顶点分别为 (0,)1,(2)，设 1P为线段 BC的中点， 2P为线段 OC 的中点， 3P为线段1P的中点. 对每一个正整数 3,nP为线段 1n的中点. 令 n的坐标为 (,)nxy， 12nnay. （1）求 321,a及 ,()Nn；（2）证明： 4y（
19、3）记 ,()nnb，证明： nb是等比数列 . （1）解：因为 y1=y2=y4=1， y3=12，y 5= 4，所以 得 a1=a2=a3=2. 又由 3n，对任意的正整数 n 有an+1= 123n=112n= 122nny=an 恒成立，且 a1=2， 所以a n为常数数列， an=2， （n 为正整数）（2）证明：根据124ny， 及 12=an=2， 易证得 yn+4=1 4n10（3）证明：因为 bn+1= 4n84y=（14ny）（14ny）=1nb，又由 b1= 48y=1 y4= ， 所以b n是首项为1，公比为 的等比数列. 【模拟试题】一、填空题1. 在等差数列a n中
20、，已知 a 1=2，a 2+a 3=13，则 a 4+a 5+a 6等于= . 2. 已知数列的通项 5，则其前 n项和 nS . 3. 首项为24 的等差数列，从第 10 项开始为正，则公差 d的取值范围是 . 4. 在等比数列 n中， 3和 5 是二次方程 20xk 的两个根，则 642a的值为 . 5. 等差数列a n中，a 1=1，a 3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100，则 n= . 6. 等差数列a n的前 m 项和为 30，前 2m 项的和为 100，求它的前 3m 项的和为_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 7. 已知两个等差数列 n和 b的前 项和分
21、别为 A n和 B，且7453n， 7ba= ，若 nba为正整数，n 的取值个数为_。8. 已知数列 对于任意 *pqN， ，有 pqpa，若 19a，则 36. 9. 记数列 na所有项的和为 )1(S，第二项及以后各项的和为 )2(S，第三项及以后各项的和为 ,)3(S，第 n项及以后各项的和为 )(，若 2)(， )(， (3),S，()21,nS，则 n等于 . 10. 等差数列 a共有 1项，其中奇数项之和为 319，偶数项之和为 290，则其中间项为_.11. 等差数列 n中， 0n，若 m且 0121ma， 2138mS，则 的值为 .12. 设 S为等差数列 的前 项和. 已
22、知 663,4,()nnS，则 n等于. 13. 已知函数 )(xf定义在正整数集上，且对于任意的正整数 x，都有 (2)(1)fxfx()fx，且 12,36，则 (205)f_ _. 14. 三个数 cba成等比数列，且 (0)abcm，则 b 的取值范围是 . 15. 等差数列 n中，前 项和为 nS，首项 194,S. （1）若 10S，求（2） 设 2nab，求使不等式 1207nb 的最小正整数 n的值. 点拨：在等差数列中 dn,知道其中三个就可以求出另外一个，由已知可以求出首项 1a与公差 d，把nSa,分别用首项 1与公差 ，表示即可. 对于求和公式1()2nnaS， 1()2nSa采用哪一个都可以，但是很多题目要视具体情况确定采用哪一个可能更简单一些. 例如：已知 90910,判断
