1、12016 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1） 【2016 年北京，理 1，5 分】已知集合 ， ，则 （ ）|2Ax1,023AB（A） （ B） （C ） （D）0, 0,121,02【答案】C【解析】集合 ，集合 ，所以 ，故选 C2x,3x,AB【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用（2） 【2016 年北京，理 2，5 分】若 ， 满足 则 的最大值为（ ）y20yx， 2xy（A）0 （B）3 （C）4 （D）
2、5【答案】C【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为 ，最大1,2值为 ，故选 C214【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法（3） 【2016 年北京，理 3，5 分】执行如图所示的程序框图，若输入的 值为 1，则输出的 值为（ ak）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】B【解析】开始 ， ；第一次循环 ， ；第二次循环 ， ，第三次循环a0k12ak2ak， a条件判断为“是” 跳出，此时 ，故选 Bk【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行
3、解答（4） 【2016 年北京，理 4，5 分】设 ， 是向量，则“ ”是“ ”的（ ）ababab（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若 成立，则以 ， 为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形， ， 表示的是该=abab +ab菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以 不一定成立，从而不是充分条件；反之，+=ab成立，则以 ， 为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，+所以 不一定成立，从而不是必要条件，故选 D=ab【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“ ”与“ ”表示
4、的几何意义，是解abab答的关键（5） 【2016 年北京，理 5，5 分】已知 ，且 ，则（ ）xyR0xy（A） （B） （C） （D）10xysin_102xyln0xy1,2()2x+y=0x-y=0x0x+y=32【答案】C【解析】 考查的是反比例函数 在 单调递减，所以 即 所以 错； 考查的A1yx0,1xy10AB是三角函数 在 单调性，不是单调的，所以不一定有 ， 错； 考查的sinyx, sinxyC是指数函数 在 单调递减，所以有 即 所以 对； 考查的是120,12xy102D对数函数 的性质， ，当 时， 不一定有 ，所以 错，故lnyxlnlxyx0lnxy选 C【
5、点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（6） 【2016 年北京，理 6，5 分】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）（A） （B） （C） （D ）111312【答案】A【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高 ，底面积h，所以体积 ，故选 A12S6VSh【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键（7） 【2016 年北京，理 7，5 分】将函数 图象上的点 向左平移 个单sin23yx,4Pt0s位长度得到点 ，若 位于函数 的图象上，则（ ）P（A）
6、， 的最小值为 （B） ， 的最小值为12ts62ts6（C） ， 的最小值为 （D ） ， 的最小值为333【答案】A【解析】点 在函数 上，所以 ，然后 向左,4Ptsin2yx1sin2sin4362tsin23yx平移 个单位，即 ，所以 ，所以 的最小值为 ，故选si()i3x+,kZ6A【点评】本题考查的知识点是函数 的图象和性质，难度中档sin0,yA（8） 【2016 年北京，理 8，5 分】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半甲、乙、丙是三个空盒每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒重复上述过程，直到袋中所有球
7、都被放入盒中，则（ ）（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】B【解析】取两个球往盒子中放有 种情况：4红+红，则乙盒中红球数加 个；1黑+黑，则丙盒中黑球数加 个；红+黑（红球放入甲盒中） ，则乙盒中黑球数加 个；1黑+红（黑球放入甲盒中） ，则丙盒中红球数加 个因为红球和黑球个数一样，所以和的情况一样多，和的情况完全随机和对 B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响和出现的次数是一样的，所以对 B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样故选 B【点评】该题考查了推
8、理与证明，重点是找到切入点逐步进行分析，对学生的逻辑思维能力有一定要求，中档3题二、填空题：共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9） 【2016 年北京，理 9，5 分】设 aR ，若复数 在复平面内对应的点位于实轴上，则 1ia a 【答案】 1【解析】 ，其对应点在实轴上， ， 1i ia 10a【点评】本题考查的知识点是复数的代数表示法及其几何意义，难度不大，属于基础题（10） 【2016 年北京，理 10，5 分】在 的展开式中， 的系数为 （用数字作答）612x2x【答案】60【解析】由二项式定理得含 的项为 2x26C0【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与
9、计算能力，属于基础题（11） 【2016 年北京，理 11，5 分】在极坐标系中，直线 与圆 交于 ， 两cos3in102cosAB点，则 _AB【答案】2【解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算 ， ，直线的直角坐标方程为 ，csxsiy 310xy ， ，圆的直角坐标方程为 ，2cos22incos2x 2圆心 在直线上，因此 为圆的直径， 1,0ABAB【点评】本题考查了把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，考查了计算能力，属于基础题（12） 【2016 年北京，理 12，5 分】已知 为等差数列， 为其前 项和若 ， ，则 nanS16a350a6S【答案】6【解析】 ， ， ， 3
10、542a0a16413d2612Sd【点评】本题考查等差数列的前 6 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用（13） 【2016 年北京，理 13】双曲线 的渐近线为正方形 的边 ，20,xyabOABC所在的直线，点 为该双曲线的焦点若正方形 的边长为 2，则OCBOABC_a【答案】2【解析】不妨令 为双曲线的右焦点， 在第一象限，则双曲线图象如图， 为正方形，AAB ， ，直线 是渐近线，方程为 ，2A2cB4OBAbyxa ，又 tan1bO228abca【点评】本题主要考查双曲线的性质的应用，根据双曲线渐近线垂直关系得到双曲线是等轴双曲线是解决本题的关键
11、（14） 【2016 年北京，理 14，5 分】设函数 若 ，则 的最大值3,2xfa0fx为 ；若 无最大值，则实数 的取值范围是 fx【答案】2； 1a【解析】由 ，得 ，如下图，是 的两个函数在没有限制条件时的3230x1fx图象 ； 当 时， 有最大值 ；max1ffa f12fOCBAy x2 2xx33x1 1y xO4当 时， 在 时无最大值，且 所以， 1a2xa3max2a1【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，分类讨论思想，难度中档三、解答题：共 6 题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（15） 【2016 年北京，理 15，13 分】在
12、中， ABC22cbc（1）求 的大小；B（2）求 的最大值cosAC解：（1） ， ， ， 22abac22bac222osabacBc4B（2） ， ，B34sAC(os)inAA， ， ， ，cosin2Asi()A3430,)4(,4 最大值为 1，所以 最大值为 1in()42cos【点评】本题考查的知识点是余弦定理，和差角公式，正弦型函数的图象和性质，难度中档（16） 【2016 年北京，理 16，13 分】 ， ， 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分BC层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：A 班 6 6.5 7 7.5 8B 班
13、6 7 8 9 10 11 12C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（1）试估计 班的学生人数；（2）从 班和 班抽出的学生中，各随机选取一个人， 班选出的人记为甲， 班选出的人记为乙假AC设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（3）再从 ， ， 三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是 7，9，8.25（单位：小时） ，A这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 ，表格中数据的平均数记为 ，试判断10和 的大小 （结论不要求证明）01解：（1） ， 班学生 40 人842X（2）在 班中取到每个人的概率相同均为
14、，设 班中取到第 个人事件为 ，A15Ai,12,345iA班中取到第 个人事件为 ， 班中取到 的概率为 ，Cj,2,346,78jCijCiP所求事件为 ，则 D1 51()PP213858（3） ，三组平均数分别为 总均值 ，107,98.5,0.但 中多加的三个数据 平均值为 ，比 小，故拉低了平均值2.8【点评】本题考查的知识点是用样本的频率分布估计总体分布，古典概型，难度中档（17） 【2016 年北京，理 17，14 分】如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，PABCDPABCD，PAD， ， ， ， ABD12A5（1）求证： 平面 ；P（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；C（3
15、）在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求 的值，若不存M/BPCAMP在，说明理由解：（1）面 面 ，面 面 ， ， 面 ，PADBADABDBCD 面 ，B 面 。 ， 又 ， 面 PPAOx yzPABCD5（2）取 中点为 ，连结 ， ， ， ， ，ADOCP5DACOADP ，以 为原点，如图建系易知 ， ， ， ，P(01)， ， (0)B， ， (10)， ， (2)C， ，则 ， ， ， ，设 为面 的1,B(01)， ， 2， ， 2， ， n法向量，令 ， ，则 与面 夹角 有,)nxy， ,nnP， 132sico, 4BPn（3）假设存在 点使得 面 ，设 ， ，
16、由（2）知 ， ，M CDAMP0,yz0,1A,01P，0,1AP， ，有 ， ， 面 ，,B0,1Ayz ,1 ,BMBM CD为 的法向量， ，即 ， ，nCD0Bn 02=4综上，存在 点，即当 时， 点即为所求M14APM【点评】本题考查线面垂直的判定，考查了直线与平面所成的角，训练了存在性问题的求解方法，建系利用空间向量求解降低了问题的难度，属中档题（18） 【2016 年北京，理 18，13 分】设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为axfebyfx2,f14yex（1）求 ， 的值；ab（2）求 的单调区间f解：（1） ， ，曲线 在点 处的切线()eax()e(1)eaxxax
17、fbb()yfx(2,)f方程为 ， ， ，即 14y214f 2f2()ee14afb 由解得： ， 2(2)eafb ae（2）由（1）可知： ， ，()exf()xfx令 ，2xgx222()e()xg, 0()xA极小值 A 的最小值是 ， 的最小值为 ，()gx2(1)eg()fx(2)e10fg即 对 恒成立， 在 上单调递增，无减区间0fR(fx,【点评】本题主要考查导数的应用，根据导数的几何意义，结合切线斜率建立方程关系以及利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键综合性较强（19） 【2016 年北京，理 19，14 分】已知椭圆 ： 的离心率为 ，C210,yab32，
18、 ， ， 的面积为 1,0Aa,Bb0,OAB（1）求椭圆 的方程；C（2）设 是椭圆 上一点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 求证： 为定PPyMPBxNABM值6解：（1）由已知， ，又 ，解得 椭圆的方程为 31,2cab22bc,13.abc214xy（2）解法一：设椭圆上一点 ，则 直线 ： ，令 ，得0,Pxy04xyPA02yx00Myx ，直线 ： ，令 ，得 021yBxB01yx0y01Nxy021xANy2000 0000224481ANx 将 代入上式得 ，故 为定值204xy=4ANMAB解法二：设椭圆上一点 ，直线 : ，令 ，2cos,inPPsin22
19、coyx0得 sin1coMy ， : ，令 ， 1sBBsin12coyx0y2cos1inNx2sin2ANcosincos1sinsincos41i co故 为定值BM【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和基本量的关系，考查线段积的定值的求法，注意运用直线方程和点满足椭圆方程，考查化解在合理的运算能力，属于中档题（20） 【2016 年北京，理 20，13 分】设数列 ： 如果对小于 的每个正整数 都A12,Na 2nNk有 ，则称 是数列 的一个“ 时刻”，记 是数列 的所有“ 时刻”组成的集合knaGAG（1）对数列 ，写出 的所有元素；:2,1,3A（2）证明：若
20、数列 中存在 使得 ，则 ；na1n（3）证明：若数列 满足 ，则 的元素个数不小于 12,3 1Na解：（1）根据题干可得， ， ， ， ， ， 满足条件，2 满足条件，124a531a不满足条件，3 不满足条件， 不满足条件，4 不满足条件， ， ， ， ，均小于 ，2a2 12345a因此 5 满足条件，因此 5GA，（2）因为存在 ，设数列 中第一个大于 的项为 ，则 ，其中 ，1na1k1ki 1ik所以 ， k（3）设 数列的所有“ 时刻 ”为 ，对于第一个“ 时刻” ，有 ，A12kii G1i1iia，1ii， ， ，则 对于第二个“ 时刻” ，有 （ ） 1iiiaa 21i21iii 21i， ， ，则 类似的 ， 22iiii 32iia 1kkiia于是， 对于 ，若 ，则112121kkkkiiiiiiiia NGA；kiNa若 ，则 ，否则由，知 中存在“ 时刻”，与只有 个“ 时刻”矛GAkNia 1kiiNa， ， ， Gk盾7从而， ，证毕11kiNaa 【点评】本题属于新定义题型，重点在于对“ 时刻”定义的把握，难度较大G
