1、12017 届广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）本试卷共 4 页，23 小题， 满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号写在本试卷上无效3回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷一、选择题：本小题共 12 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）复数 2i1i的共轭复数是（
2、A） （B） i （C） 1i （D） 1i（2）若集合 Mx， 2,Nyx，则（A） （B） （C） NM （D ） N（3）已知等比数列 na的各项都为正数, 且 35412a,成等差数列, 则 3546的值是（A） 12 （B） 512 （C） 35 （D ） 3 （4）阅读如图的程序框图. 若输入 5n, 则输出 k的值为（A） 2 （B） 3 （C ） 4 （D） 5 （5）已知双曲线 C2:14xya的一条渐近线方程为 230xy, 1F, 2分别是双曲线 的左，右焦点 , 点 P在双曲线 上, 且 17P, 则 2等于（A） 1 （B） 3 （C） 4或 （D） 或 32（6）如
3、图, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图,且该几何体的体积为 83, 则该几何体的俯视图可以是（7）五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来 ; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为（A） 12 （B） 1532 （C） 132 （D ） 516（8）已知 1F, 2分别是椭圆 C2:0xyab的左, 右焦点, 椭圆 C上存在点 P 使 12P为钝角, 则椭圆 的离心率的取值范围是（A） , （B ） 1,2 （C） 20, （D
4、） 10,2（9）已知 :0,xpea成立, :q函数 1xfxa在 R 上是减函数, 则 p是q的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（10） 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥 PABC为鳖臑, PA平面AB, 2P， 4AC, 三棱锥 的四个顶点都在球 O的球面上, 则球 O的表面积为 （A） 8 （B ） 1 （C） 20 （D） 24（11）若直线 1y与函数 sinfx的图象相交于点 1,Pxy， ,Qxy，且12x3，则线段 PQ与函数 fx的图象所
5、围成的图形面积是（A） （B） 3 （C） 23 （D）33PCB A（12）已知函数 32148fxx, 则20617kf的值为（A） 0 （B ） 5 （C） 8 （D ） 2016第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第 1321 题为必考题，每个考生都必须作答。第2223 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本小题共 4 题，每小题 5 分。（13）已知 1,2ab，且 a()b，则向量 a与向量 b的夹角是 . （14） 3nx的展开式中各项系数和为 64，则 3x的系数为 .（用数字填写答案）（15）已知函数12,0,logxf若 2f, 则实数 a的取值范围是 .（16）设 n
6、S为数列 na的前 项和, 已知 1a, 对任意 pqN *, 都有 pqqa，则 60(1fN *)的最小值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分 12 分）如图, 在 ABC中, 点 P在 边上, 60,2,4AC.() 求 ;() 若 的面积是 32, 求 sinP.（18） （本小题满分 12 分）近年来，我国电子商务蓬勃发展. 2016 年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达 516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统. 从该评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满
7、意率为0.6，对服务的满意率为 0.75，其中对商品和服务都满意的交易为 80 次.() 根据已知条件完成下面的 2列联表，并回答能否有 99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？() 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的 3 次购物中，设对商品和服务都满对服务满意 对服务不满意 合计对商品满意 80对商品不满意合计 2004EDCBA EDCBA意的次数为随机变量 X，求 的分布列和数学期望 EX.附： 2K2nadbcd（其中 nabcd为样本容量）（19） （本小题满分 12 分）如图 1，在直角梯形 ABCD中， / ， AB C， D , 点 E是 BC边的中
8、点, 将 沿 折起，使平面 平面 ，连接 A, , , 得到如图 2 所示的几何体.() 求证： 平面 ；() 若 1A，二面角 CB的平面角的正切值为 6，求二面角BE的余弦值.图 1 图 2（20） （本小题满分 12 分）过点 ,2Pa作抛物线 2:4xy的两条切线, 切点分别为 1,Axy, 2B.() 证明: 12xy为定值;() 记 AB的外接圆的圆心为点 M, 点 F是抛物线 C的焦点, 对任意实数 a, 试判断以 为直径的圆是否恒过点 ? 并说明理由.（21） （本小题满分 12 分）已知函数 ln0afx.() 若函数 有零点, 求实数 的取值范围;() 证明:当 a2e，
9、1b时, 1lnfb.请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。（22） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程2Pk0.15 0.10 0.05 0.025 0.0102.072 2.706 3.841 5.024 6.6355PCB A在直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为 3,(1xty为参数 ). 在以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 :2cos.4C() 求直线 l的普通方程和曲线 的直角坐标方程;() 求曲线 C上的点到直线 l的距离的最大值.（23） （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数 1
10、2fxax. () 若 13，求实数 的取值范围;() 若 ,R , 求证： f.数学（理科）参考答案评分说明:1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数选择题不给中间分一、选择题（1）B （2）C （3）A （4）B （5）D （6）D（7）C （
11、8）A （9）B （10）C （11 ）A （12）B二、填空题（13） 4 （14） 50 （15） 1,8,2 （16） 29三、解答题(17) 解:() 在 APC中, 因为 60,4APCA,由余弦定理得 22cosPC, 1 分所以 24460 ,整理得 0AP, 2 分解得 . 3 分所以 2C. 4 分6DPCB A所以 APC是等边三角形 . 5 分所以 60. 6 分() 法 1: 由于 B是 的外角, 所以 120APB. 7 分因为 AP的面积是 32, 所以 13sin.8 分所以 . 9 分在 B中, 22cosPBAPB 312019, 所以 A. 10 分在 PB
12、中, 由正弦定理得 sinsiABP, 11 分所以 sin3i12095738.12 分法 2: 作 ADC, 垂足为 ,因为 P是边长为 的等边三角形, 所以 1, 0AD. 7 分因为 AB的面积是 32, 所以 132P. 8 分所以 P. 9 分所以 4D.在 Rt 中, 219AD, 10 分所以 4sin19BA, 3cosB. 所以 isi30Pncossin30DAD 11 分412193578. 12 分7（18）解：() 2列联表：对服务满意 对服务不满意 合计对商品满意 80 40 120对商品不满意 70 10 80合计 150 50 2002 分220814071.
13、,5K3 分因为 .6.3， 所以能有 99%的把握认为 “网购者对商品满意与对服务满意之间有关系 ”. 4 分() 每次购物时，对商品和服务都满意的概率为25，且 X的取值可以是 0，1，2，36 分3 2132740; ;51515PXPXC236= C； 308=2. 10 分X的分布列为：11 分所以 275436801215EX. 12 分或者:由于 ，则 EX. 12 分,3B(19) 解：() 因为平面 AD平面 C，平面 ABD平面 CB，又 ，所以 平面 . 1分因为 B平面 ，所以 . 2分0 1 2 3P75468158z yx EDCBA又因为折叠前后均有 AD B，
14、CAD, 3分所以 B平面 . 4分() 由（）知 平面 ，所以二面角 B的平面角为 CAD. 5分又 C平面 A， 平面 A，所以 C A.依题意 6tanD. 6 分因为 1，所以 . 设 0Bx，则 12xB.依题意 A C，所以 AB，即 162x. 7 分解得 2x，故 2,3, 3DCD. 8 分法 1：如图所示，建立空间直角坐标系 xyz，则 )0,(,)0,3(B, ),6(，2E， 6,03A， 所以 ,D， ,3D.由（）知平面 B的法向量 )0,1(n.9分设平面 AE的法向量 ,zyxm由 0,D得3602.xz令 6x，得 3,y,所以 ),(m. 10 分所以 21
15、|,cosmn. 11 分由图可知二面角 BADE的平面角为锐角，所以二面角 的余弦值为 . 12分法 2 ：因为 C平面 ，过点 E作 F/ 交 B于 F，则 平面 AD. 9GFEDCBA因为 AD平面 B，所以 EF . 9分 过点 作 G 于 ，连接 GE，所以 平面 ，因此 AD . 所以二面角 B的平面角为 F. 10 分由平面几何知识求得 261CDEF， 21BF， 所以 G. 所以 cos = 21E. 11 分所以二面角 BAD的余弦值为 . 12分（20）解：() 法 1:由 24xy,得 21x,所以 1yx. 所以直线 PA的斜率为 12x.因为点 1,A和 2,B在
16、抛物线 C上, 所以 14y, .所以直线 P的方程为 14yxx. 1 分因为点 ,a在直线 A上,所以 2114xx,即 2180ax. 2 分同理, 280. 3 分所以 1是方程 2a的两个根.所以 2x. 4 分又 22111446yx, 5 分所以 2x为定值. 6 分法 2:设过点 ,Pa且与抛物线 C相切的切线方程为 2ykxa, 1 分由 2,4,ykx消去 y得 2480xka,由 1680a, 化简得 2. 2 分所以 2k. 3 分10由 24xy,得 21x,所以 1yx.所以直线 PA的斜率为 1k,直线 PB的斜率为 21kx. 所以 124x, 即 28x. 4
17、 分又 146y, 5 分所以 124x为定值. 6 分() 法 1：直线 PA的垂直平分线方程为 1122yxa, 7 分由于 214yx, 118ax,所以直线 的垂直平分线方程为 1142xxay. 8 分同理直线 PB的垂直平分线方程为 2ax. 9 分由解得32xa, 21y,所以点 ,M. 10 分抛物线 C的焦点为 0,1F 则 23,3.aMPF由于23aP，11 分所以 .M所以以 为直径的圆恒过点 .F 12 分另法: 以 P为直径的圆的方程为 2310.2axay11 分把点 0,1F代入上方程,知点 的坐标是方程的解.所以以 M为直径的圆恒过点 F 12 分法 2：设点 的坐标为 ,mn，则 PAB的外接圆方程为 2222xynman，由于点 12,xy在该圆上，
