1、第 1 页有 理 数 )3,21:(,:如负 整 数 如正 整 数整 数 )0零)8.4,.,32:( 如负 分 数分 数 5如正 分 数 七年级数学（上册）第一章 有理数及其概念1.整数：包含正整数和负整数，分数包含正分数和负分数。正整数和正分数通称为正数，负整数和负分数通称为负数。正整数和负整数通称为自然数2.正数：都比 0 大，负数比 0 小，0 既不是正数也不是负数。正整数、0、负整数、正分数、负分数这样的数称为有理数。数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可） 。任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。 （反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数）3.相反数：只有符号
2、不同的两个数互为相反数， 互为相反数，0 的相反数是 0。a和 -在任意的数前面添上“-”号，就表示原来的数的相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的左边。4.绝对值：数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，用“| |”表示。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。或 )0(|a)0(|a即：当 是正数时， ；当 是负数时， ；当 =0 时，a0a5.绝对值的性质：除 0 外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数；互为相反数的两数（除 0 外）的
3、绝对值相等；任何数的绝对值总是非负数，即|a|0对任何有理数 a，都有|a|0若|a|=0，则|a|=0，反之亦然若|a|=b，则 a=b对任何有理数 a,都有|a|=|-a|6.比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下：先求出两个数负数的绝对值；比较两个绝对值的大小；根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。7.两个负数比较大小，绝对值大的反而小。8.数轴上的两个点表示的数，右边的总比左边的大。第二章 有理数的运算1.有理数加法法则：同号两个数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。0-1-2-3 1 2 3越来越大第 2 页异号的两个数相加，绝对值不等时，取绝
4、对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两数相加得 0.一个数同 0 相加仍得这个数2.灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律：互为相反的两个数，可以先相加；符号相同的数，可以先相加；分母相同的数，可以先相加；几个数相加能得到整数，可以先相加。3.加法交换律： ab4.加法结合律： ()()c5.有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。6.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数与 0 相乘积仍得 0。7.有理数减法运算时注意两“变”：改变运算符号；改变减数的性质符号（变为相反数）8.有理数减法运算时注意一个“不变”：被减数与减
5、数的位置不能变换，也就是说，减法没有交换律。有理数的加减法混合运算的步骤：写成省略加号的代数和。在一个算式中，若有减法，应由有理数的减法法则转化为加法，然后再省略加号和括号；利用加法则，加法交换律、结合律简化计算。（注意：减去一个数等于加上这个数的相反数，当有减法统一成加法时，减数应变成它本身的相反数。 ）9倒数：如果两个数互为倒数，则它们的乘积为 1。 （如： -2 与 、 等）2135与10.有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数与 0 相乘，积仍为 0。11.乘法交换律： ab12.乘法结合律： ()()c13.乘法分配律： bc乘法的交换律、结合律、分配律在
6、有理数运算中同样适用。14.有理数乘法运算步骤：先确定积的符号；求出各因数的绝对值的积。乘积为 1 的两个有理数互为倒数。注意：零没有倒数求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。一个带分数要先化成假分数。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。15.有理数除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。两个有理数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除。0 除以任何数都得 0，且 0 不能作除数，否则无意义。16.有理数的乘方：求 n 个相同因数 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。a在 中 叫做底数，n 叫做指数， 读作 的 n 次幂（或 的 n 次方） 。anaa注意：一个数可以看作
7、是本身的一次方，如 5=51；a个 指数底数幂第 3 页当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。17.乘方的运算性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；任何数的偶数次幂都是非负数；1 的任何次幂都得 1，0 的任何次幂都得 0；-1 的偶次幂得 1；-1 的奇次幂得-1 ；在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。18.有理数混合运算法则：先算乘方,再算乘除,最后算加减。如果有括号,先算括号里面的。19.混合运算顺序： 先算乘方，再乘除，后加减； 同级运算，从左到右进行； 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次
8、进行。20.近似数和有效数字:与实际相符的数，叫做准确数与实际接近的数，叫近似数21.有效数字：一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位这时，从左边第一个非零数 字起到精确到那一位数字止，所有的数字例题精讲 1、 (-3)32 (- )2 4-23（- ） 2、 -32+(-2)3 (0.1)2(-10)343、 -0.5-（-3 ）+2.75+（-7 ） 4、 （-23）-（-5）+（-64）-（-12）14125、如果 ，求 的值01321cba 33cab考点二、运用运算律进行简便运算1、 -(-5.6)+10.2-8.6+(-4.2) 2、(- + - + )(-
9、12)1634523、( )36-61.43+3.936 4、49 (-5)17529825第 4 页0 baba 1-1 0a b-1 0考点三、与数轴相关的计算或判断1、已知有理数 a,b,c 在数轴上的位置如图所示，下列错误的是（ ）A、b+c|a+c|2、 a，b 在数轴上的位置如图所示，则 a，b，a+b，a-b 中，负数的个数是（ ）A1 个 B2 个 C 3 个 D4 个3、若 ab c 在数轴上位置如图所示，则必有（ ） cba-2 -1 210Aabc 0 Bab- ac0 C （a+b）c 0 D （a -c）b 04、有理数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则在 a+b，
10、a- b，ab， ， s 这五个数中，正数的个数是（ ）32A2 B3 C4 D55、有理数 a、b 在数轴上的对应的位置如图所示，则（ ）Aa + b0 Ba + b0 Cab = 0 Dab06、a、b 在数轴上的位置如图，化简 ， ， ba1a。考点四、带绝对值的分类讨论1、若 ，则 a 和 b 的关系是 2、 ； 。_x若 ， 则 123_x若 ， 则3、已知 a 和 b 互为相反数，c 和 d 互为倒数，x 的绝对值是 1，则 。2()xabcdx4、已知 ab0，试求 的值。ab|考点五、求汽车来回运动最后停在何处的问题1、体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东
11、西向的公路上免费接送老师。如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：15，4，13，10，12，3,13,17。b第 5 页（1）当最后一名教师到达目的地时，小王距离接送第一位教师的出发地什么方向，多少千米？（2）若汽车耗油量为 0.43 升 1 千米，这天下午汽车共耗油多少升？考点六、科学计数法及近似数的综合1、近似数 1.2109精确到 位；近似数 5.10 万精确到 位；近似 0.0074 精确到 位2、如果一个近似数是 1.60,则它的精确值 x 的取值范围是（ ）A 1.594x1.605 B 1.595x1.605 C 1.595x1.604 D 1.601x1.
12、6053、我国 2013 年参加高考报名的总人数约为 1230 万人，则该人数可用科学记数法表示为 人。4、 2.75109是 位整数；6210000 用科学计算数表示为 考点七、基准量是否发生变化的应用题1、股民小王上星期五买进某股票 1000 股，每股 25 元，下表为本周内每日该股票收盘价比前一天的涨跌情况（单位：元）：（+ 表示收盘价比前一天涨）星期 一 二 三 四 五每股涨跌（元） +2 +2.5 -1.5 -2.5 -1.5（1 ）星期四收盘时，每股是多少元？（2 ）本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？（3 ）已知买进股票时需付 1.5的手续费，卖出时需付成交额的 1.5
13、（千分之 1.5）的手续费和 3的交易税。如果小王在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？（收益=卖股票收入-买股票支出-卖股票手续费和交易税-买股票手续费）（4 ）谈谈你对股市的看法：2、某摩托车厂本周计划每日生产 250 辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班的人数不一定相等，实际每日的生产量与计划量相比较的情况如下表。记超出的为正，不足的为负；（单位：辆）：星期 一 二 三 四 五 六 日增减量 -5 +7 -3 +4 +9 -8 -25（1）本周六生产了多少辆？（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆？（3）用简便方法算出本周实际总产量30 个 0第 6 页第 3 章
14、实数知识框图 实数算术平方根熟记：算术平方根等于它本身的数是 0 和 1性质定义平方根定义性质一个数的平方等于 a，这个数叫 a 的平方根一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数零的平方根是零；负数没有平方根熟记：平方根等于它本身的数是 0符号表示一个正数 a 的平方根表示成： （读做“正、负根号 a”） ，其中 a 叫做a被开方数。如 3 的平方根是： ，那么 4 的平方根是： 3开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方，可用平方运算求一个数的平方根正数的正平方根称为算术平方根，0 的算术平方根是 0定义性质一个数的立方等于 a，这个数叫 a 的立方根一个正数有一个正的立方根，一个负数有一
15、个负的立方根，0 的立方根是 0熟记：立方根等于它本身的数是 0，1 和-1符号表示一个数 a 的立方根表示成： ，其中 a 叫做被开方数。3如 3 的立方根是： ，那么-8 的立方根是： 3开立方 求一个数的平方根的运算叫做开平方，可用平方运算求一个数的平方根立方根实数分类性质运算有理数正有理数正无理数无理数零负有理数负无理数有限小数或无限循环小数，都可以写成形式（ M、N 均为整数，且 N0 ）无限不循环小数实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数一样有理数的运算法则、运算律在实数范围内仍然适用第 7 页注意掌握以下公式： 2a3a将考点与相关习题联系起来考点一、关于“说法正确的是”的题型
16、1、下列说法正确的是（ ）A有理数只是有限小数 B无理数是无限小数 C无限小数是无理数 D 是分数42、有下列说法：有理数和数轴上的点一一对应； 不带根号的数一定是有理数； 负数没有立方根；-是 17 的平方根。其中正确的有（ ）17A0 个 B1 个 C2 个 D3 个3、下列结论中正确的是 （ ）A数轴上任一点都表示唯一的有理数 B数轴上任一点都表示唯一的无理数C. 两个无理数之和一定是无理数 D. 数轴上任意两点之间还有无数个点考点二、有关概念的识别第 8 页1、下面几个数： ，1.010010001， ，3 ， ， ，其中，无理数的个数有（ ）.03430.64275A. 1 B. 2
17、 C. 3 D. 42、下列说法中正确的是（ ）A. 的平方根是3 B. 1 的立方根是1 C. =1 D. 是 5 的平方根的相反数8 3、一个自然数的算术平方根为 a，则与之相邻的前一个自然数是 考点三、计算类型题1、设 =a，则下列结论正确的是（ ）26A.4.5a5.0 B.5.0a5.5 C.5.5a6.0 D.6.0a6.5 4、对于有理数 x， 的值是 1013203xx3、 4、4(x-1) 2=9 2(9)()考点四、数形结合 1. 点 A 在数轴上表示的数为 ，点 B 在数轴上表示的数为 ，则 A，B 两点的距离为_3552、如图，数轴上表示 1， 的对应点分别为 A，B，
18、点 B 关于点 A 的对称点为 C，则点 C 表示的数是（ ）2A 1 B1 C2 D 2考点五、实数绝对值的应用1、 | |+| |-| |3233考点六、实数非负性的应用1已知： ，求实数 a，b 的值。23|49|07ab2 已知(x-6) 2+ +|y+2z|=0，求(x-y) 3-z3的值。2(6)xy第 9 页第四章 代数式代数式用字母表示数代数式如用“a+b=b+a”表示加法的交换律就非常地简洁明了意义：能把数和数量关系一般化地、简明地表示出来举例概念：由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表达式称为代数式，这里的运算是指加、减、乘、除、乘方和开方。特别规定：单独一个数或者一个字
19、母也称为代数式整式合并同类项同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项单项式意义：代数式可以简明地、具有普遍意义地表示实际问题中的量列代数式：特别注意找规律这种类型的题目代数式的值直接代入法整体代入法多项式定义：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式。特别规定：单独一个数或一个字母也叫单项式系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的的次数多项式定义：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项多项式的次数：次数最高的项的次数就是这个多项式的次数常数项：不含字母
20、的项叫做常数项多项式的命名：几次几项式合并同类项：把多项式中的同类项合并为一项的过程叫做合并同类项合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变；括号前是“” ，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项都改变符号整式加减的步骤：先去括号，再合并同类项整式的加减关于整式加减的简单应用：如求图形的面积等第 10 页关于代数式分类的拓展将考点与相应习题联系起来考点一、关于代数式的书写是否正确的问题1、下列代数式书写规范的是（ ）A5 ab2 Babc Ca- Dm3cb2、下列代数式书写规范的
21、是（ ）Aa 3 B8a C 5a D2 a1考点二、关于去括号的问题1、下列运算正确的是（ ）A-3(x-1)=-3x-1 B-3(x-1)=-3x+1 C-3(x-1)=-3x-3 D-3(x-1)=-3x+32、下列去括号中错误的是（ ）A2x 2-(x-3y)= 2x2-x+3y B x2+(3y2-2xy)= x2-2xy +3y2 1313C a2-4(-a+1)= a2-4a-4 D- (b-2a)-(-a2+b2)= - b+2a+a2-b23、下列去括号，错误的有（ ）个 x 2+(2x-1)= x2+2x-1， a 2-(2a-1)= a2-2a-1， m-2(n-1)=m-2n-2， a-2(b-c)=a-2b+cA. 0 B. 1 C. 2 D. 34、去括号：-(1-a)-（1-b ）= 考点三、关于代数式中与概念有直接关系的题目)(被 开 方 数 含 有 字 母无 理 式 分 式多 项 式单 项 式整 式有 理 式代 数 式
