1、第 1 页（共 14 页）（ 2012四 川 ） 如 图 ， 动 点 M 到 两 定 点 A（ 1， 0） 、 B（ 2， 0） 构 成 MAB，且 MBA=2 MAB， 设 动 点 M 的 轨 迹 为 C（ ） 求 轨 迹 C 的 方 程 ；（ ） 设 直 线 y= 2x+m 与 y 轴 交 于 点 P， 与 轨 迹 C 相 交 于 点 Q、 R， 且|PQ| |PR|， 求 的 取 值 范 围 【 分 析 】 （ ） 设 出 点 M（ x， y） ， 分 类 讨 论 ， 根 据 MBA=2 MAB， 利 用 正 切 函数 公 式 ， 建 立 方 程 化 简 即 可 得 到 点 M 的 轨
2、迹 方 程 ；（ ） 直 线 y= 2x+m 与 3x2 y2 3=0（ x 1） 联 立 ， 消 元 可 得x2 4mx+m2+3=0 ， 利 用 有 两 根 且 均 在 （ 1， + ） 内可 知 ， m 1， m 2 设 Q， R 的 坐 标 ， 求 出 xR， xQ， 利 用 ， 即 可 确 定的 取 值 范 围 【 解 答 】 解 ： （ ） 设 M 的 坐 标 为 （ x， y） ， 显 然 有 x 0， 且 y 0当 MBA=90时 ， 点 M 的 坐 标 为 （ 2， 3）当 MBA 90时 ， x 2， 由 MBA=2 MAB 有 tan MBA= ，化 简 可 得 3x2
3、y2 3=0而 点 （ 2， 3） 在 曲 线 3x2 y2 3=0 上综 上 可 知 ， 轨 迹 C 的 方 程 为 3x2 y2 3=0（ x 1） ；（ ） 直 线 y= 2x+m 与 3x2 y2 3=0（ x 1） 联 立 ， 消 元 可 得x2 4mx+m2+3=0 有 两 根 且 均 在 （ 1， + ） 内设 f（ x） =x2 4mx+m2+3， ， m 1， m 2设 Q， R 的 坐 标 分 别 为 （ xQ， yQ） ， （ xR， yR） ， |PQ| |PR|， xR=2m+ ， xQ=2m ， = = m 1， 且 m 2第 2 页（共 14 页） ， 且 ， 且
4、 的 取 值 范 围 是 （ 1， 7） （ 7， 7+4 ）（ 2015新 课 标 II） 设 向 量 ， 不 平 行 ， 向 量 + 与 +2 平 行 ， 则 实 数 = 【 分 析 】 利 用 向 量 平 行 即 共 线 的 条 件 ， 得 到 向 量 + 与 +2 之 间 的 关 系 ，利 用 向 量 相 等 解 答 【 解 答 】 解 ： 因 为 向 量 ， 不 平 行 ， 向 量 + 与 +2 平 行 ， 所 以 + = （ +2 ） ，所 以 ， 解 得 ；故 答 案 为 ： （ 2013四 川 ） 已 知 f（ x） 是 定 义 域 为 R 的 偶 函 数 ， 当 x 0 时
5、， f（ x）=x2 4x， 那 么 ， 不 等 式 f（ x+2） 5 的 解 集 是 【 分 析 】 由 偶 函 数 性 质 得 ： f（ |x+2|） =f（ x+2） ， 则 f（ x+2） 5 可 变 为f（ |x+2|） 5， 代 入 已 知 表 达 式 可 表 示 出 不 等 式 ， 先 解 出 |x+2|的 范 围 ， 再求 x 范 围 即 可 【 解 答 】 解 ： 因 为 f（ x） 为 偶 函 数 ， 所 以 f（ |x+2|） =f（ x+2） ，则 f（ x+2） 5 可 化 为 f（ |x+2|） 5，即 |x+2|2 4|x+2| 5， （ |x+2|+1） （
6、|x+2| 5） 0，所 以 |x+2| 5，解 得 7 x 3，所 以 不 等 式 f（ x+2） 5 的 解 集 是 （ 7， 3） 故 答 案 为 ： （ 7， 3） （ 2015新 课 标 II） 程 序 框 图 的 算 法 思 路 源 于 我 国 古 代 数 学 名 著 九 章 算 术 中 的 “更 相 减 损 术 ”， 执 行 该 程 序 框 图 ， 若 输 入 的 a， b 分 别 为 14， 18， 则 输出 的 a=（ ）第 3 页（共 14 页）A 0 B 2 C 4 D 14【 分 析 】 由 循 环 结 构 的 特 点 ， 先 判 断 ， 再 执 行 ， 分 别 计 算
7、 出 当 前 的 a， b 的 值 ，即 可 得 到 结 论 【 解 答 】 解 ： 由 a=14， b=18， a b，则 b 变 为 18 14=4，由 a b， 则 a 变 为 14 4=10，由 a b， 则 a 变 为 10 4=6，由 a b， 则 a 变 为 6 4=2，由 a b， 则 b 变 为 4 2=2，由 a=b=2，则 输 出 的 a=2故 选 ： B（ 2015四 川 .15） 已 知 函 数 f（ x） =2x， g（ x） =x2+ax（ 其 中 a R） 对 于 不相 等 的 实 数 x1、 x2， 设 m= ， n= 现 有 如 下 命 题 ： 对 于 任
8、意 不 相 等 的 实 数 x1、 x2， 都 有 m 0； 对 于 任 意 的 a 及 任 意 不 相 等 的 实 数 x1、 x2， 都 有 n 0； 对 于 任 意 的 a， 存 在 不 相 等 的 实 数 x1、 x2， 使 得 m=n； 对 于 任 意 的 a， 存 在 不 相 等 的 实 数 x1、 x2， 使 得 m= n其 中 的 真 命 题 有 （ 写 出 所 有 真 命 题 的 序 号 ） 【 分 析 】 运 用 指 数 函 数 的 单 调 性 ， 即 可 判 断 ； 由 二 次 函 数 的 单 调 性 ， 即 可 判断 ；通 过 函 数 h（ x） =x2+ax 2x，
9、求 出 导 数 判 断 单 调 性 ， 即 可 判 断 ；通 过 函 数 h（ x） =x2+ax+2x， 求 出 导 数 判 断 单 调 性 ， 即 可 判 断 【 解 答 】 解 ： 对 于 ， 由 于 2 1， 由 指 数 函 数 的 单 调 性 可 得 f（ x） 在 R 上 递增 ， 即 有 m 0， 则 正 确 ；对 于 ， 由 二 次 函 数 的 单 调 性 可 得 g（ x） 在 （ ， ） 递 减 ， 在（ ， + ） 递 增 ， 则 n 0 不 恒 成 立 ，第 4 页（共 14 页）则 错 误 ；对 于 ， 由 m=n， 可 得 f（ x1） f（ x2） =g（ x1）
10、 g（ x2） ， 即 为 g（ x1） f（ x1） =g（ x2） f（ x2） ，考 查 函 数 h（ x） =x2+ax 2x， h （ x） =2x+a 2xln2，当 a ， h （ x） 小 于 0， h（ x） 单 调 递 减 ， 则 错 误 ；对 于 ， 由 m= n， 可 得 f（ x1） f（ x2） = g（ x1） g（ x2） ， 考 查 函数 h（ x） =x2+ax+2x，h （ x） =2x+a+2xln2， 对 于 任 意 的 a， h （ x） 不 恒 大 于 0 或 小 于 0， 则 正 确 故 答 案 为 ： （ 2013四 川 ） 已 知 函 数 ，
11、 其 中 a 是 实 数 ， 设A（ x1， f（ x1） ） ， B（ x2， f（ x2） ） 为 该 函 数 图 象 上 的 点 ， 且 x1 x2（ ） 指 出 函 数 f（ x） 的 单 调 区 间 ；（ ） 若 函 数 f（ x） 的 图 象 在 点 A， B 处 的 切 线 互 相 垂 直 ， 且 x2 0， 求x2 x1 的 最 小 值 ；（ ） 若 函 数 f（ x） 的 图 象 在 点 A， B 处 的 切 线 重 合 ， 求 a 的 取 值 范 围 【 分 析 】 （ I） 利 用 二 次 函 数 的 单 调 性 和 对 数 函 数 的 单 调 性 即 可 得 出 ；（
12、II） 利 用 导 数 的 几 何 意 义 即 可 得 到 切 线 的 斜 率 ， 因 为 切 线 互 相 垂 直 ， 可 得， 即 （ 2x1+2） （ 2x2+2） = 1 可 得， 再 利 用 基 本 不 等 式 的 性 质 即 可 得 出 ；（ III） 当 x1 x2 0 或 0 x1 x2 时 ， ， 故 不 成 立 ， x1 0 x2 分 别 写 出 切 线 的 方 程 ， 根 据 两 条 直 线 重 合 的 充 要 条 件 即 可 得 出 ， 再利 用 导 数 即 可 得 出 【 解 答 】 解 ： （ I） 当 x 0 时 ， f（ x） =（ x+1） 2+a， f（ x）
13、 在 （ ， 1） 上 单 调 递 减 ， 在 1， 0） 上 单 调 递 增 ；当 x 0 时 ， f（ x） =lnx， 在 （ 0， + ） 单 调 递 增 （ II） x1 x2 0， f（ x） =x2+2x+a， f （ x） =2x+2， 函 数 f（ x） 在 点 A， B 处 的 切 线 的 斜 率 分 别 为 f （ x1） ， f （ x2） ， 函 数 f（ x） 的 图 象 在 点 A， B 处 的 切 线 互 相 垂 直 ， ， （ 2x1+2） （ 2x2+2） = 1 2x1+2 0， 2x2+2 0， =1， 当 且 仅 当 （ 2x1+2） =2x2+2=1
14、， 即 ， 时 等 号 成 立 第 5 页（共 14 页） 函 数 f（ x） 的 图 象 在 点 A， B 处 的 切 线 互 相 垂 直 ， 且 x2 0， 求 x2 x1 的最 小 值 为 1（ III） 当 x1 x2 0 或 0 x1 x2 时 ， ， 故 不 成 立 ， x1 0 x2当 x1 0 时 ， 函 数 f（ x） 在 点 A（ x1， f（ x1） ） ， 处 的 切 线 方 程 为， 即 当 x2 0 时 ， 函 数 f（ x） 在 点 B（ x2， f（ x2） ） 处 的 切 线 方 程 为， 即 函 数 f（ x） 的 图 象 在 点 A， B 处 的 切 线
15、重 合 的 充 要 条 件 是，由 及 x1 0 x2 可 得 1 x1 0，由 得 = 函 数 ， y= ln（ 2x1+2） 在 区 间 （ 1， 0） 上 单 调 递 减 ， a（ x1） = 在 （ 1， 0） 上 单 调 递 减 ， 且 x1 1 时 ，ln（ 2x1+2） ， 即 ln（ 2x1+2） + ， 也 即 a（ x1） + x1 0， a（ x1） 1 ln2 a 的 取 值 范 围 是 （ 1 ln2， + ） （ 2015新 课 标 II） 设 函 数 f （ x） 是 奇 函 数 f（ x） （ x R） 的 导 函 数 ，f（ 1） =0， 当 x 0 时 ，
16、xf （ x） f（ x） 0， 则 使 得 f（ x） 0 成 立 的x 的 取 值 范 围 是 （ ）A （ ， 1） （ 0， 1） B （ 1， 0） （ 1， + ） C （ ， 1） （ 1， 0） D （ 0， 1） （ 1， + ）【 分 析 】 由 已 知 当 x 0 时 总 有 xf （ x） f（ x） 0 成 立 ， 可 判 断 函 数g（ x） = 为 减 函 数 ， 由 已 知 f（ x） 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 可 证 明g（ x） 为 （ ， 0） （ 0， + ） 上 的 偶 函 数 ， 根 据 函 数 g（ x） 在（ 0， + ） 上
17、的 单 调 性 和 奇 偶 性 ， 模 拟 g（ x） 的 图 象 ， 而 不 等 式 f（ x） 0等 价 于 xg（ x） 0， 数 形 结 合 解 不 等 式 组 即 可 【 解 答 】 解 ： 设 g（ x） = ， 则 g（ x） 的 导 数 为 ： g （ x） =，第 6 页（共 14 页） 当 x 0 时 总 有 xf （ x） f（ x） 成 立 ，即 当 x 0 时 ， g （ x） 恒 小 于 0， 当 x 0 时 ， 函 数 g（ x） = 为 减 函 数 ，又 g（ x） = = = =g（ x） ， 函 数 g（ x） 为 定 义 域 上 的 偶 函 数又 g（ 1
18、） = =0， 函 数 g（ x） 的 图 象 性 质 类 似 如 图 ：数 形 结 合 可 得 ， 不 等 式 f（ x） 0xg（ x） 0 或 ，0 x 1 或 x 1故 选 ： A（ 2015新 课 标 II） 已 知 椭 圆 C： 9x2+y2=m2（ m 0） ， 直 线 l 不 过 原 点 O 且 不平 行 于 坐 标 轴 ， l 与 C 有 两 个 交 点 A， B， 线 段 AB 的 中 点 为 M（ 1） 证 明 ： 直 线 OM 的 斜 率 与 l 的 斜 率 的 乘 积 为 定 值 ；（ 2） 若 l 过 点 （ ， m） ， 延 长 线 段 OM 与 C 交 于 点
19、P， 四 边 形 OAPB 能 否 为 平行 四 边 形 ？ 若 能 ， 求 此 时 l 的 斜 率 ； 若 不 能 ， 说 明 理 由 【 分 析 】 （ 1） 联 立 直 线 方 程 和 椭 圆 方 程 ， 求 出 对 应 的 直 线 斜 率 即 可 得 到 结 论 （ 2） 四 边 形 OAPB 为 平 行 四 边 形 当 且 仅 当 线 段 AB 与 线 段 OP 互 相 平 分 ， 即xP=2xM， 建 立 方 程 关 系 即 可 得 到 结 论 【 解 答 】 解 ： （ 1） 设 直 线 l： y=kx+b， （ k 0， b 0） ， A（ x1， y1） ，B（ x2， y2
20、） ， M（ xM， yM） ，将 y=kx+b 代 入 9x2+y2=m2（ m 0） ， 得 （ k2+9） x2+2kbx+b2 m2=0，则 判 别 式 =4k2b2 4（ k2+9） （ b2 m2） 0，则 x1+x2= ， 则 xM= = ， yM=kxM+b= ，于 是 直 线 OM 的 斜 率 kOM= = ，第 7 页（共 14 页）即 kOMk= 9， 直 线 OM 的 斜 率 与 l 的 斜 率 的 乘 积 为 定 值 （ 2） 四 边 形 OAPB 能 为 平 行 四 边 形 直 线 l 过 点 （ ， m） ， 由 判 别 式 =4k2b2 4（ k2+9） （ b
21、2 m2） 0，即 k2m2 9b2 9m2， b=m m， k2m2 9（ m m） 2 9m2，即 k2 k2 6k，则 k 0， l 不 过 原 点 且 与 C 有 两 个 交 点 的 充 要 条 件 是 k 0， k 3，由 （ 1） 知 OM 的 方 程 为 y= x，设 P 的 横 坐 标 为 xP，由 得 ， 即 xP= ，将 点 （ ， m） 的 坐 标 代 入 l 的 方 程 得 b= ，即 l 的 方 程 为 y=kx+ ，将 y= x， 代 入 y=kx+ ，得 kx+ = x解 得 xM= ，四 边 形 OAPB 为 平 行 四 边 形 当 且 仅 当 线 段 AB 与
22、 线 段 OP 互 相 平 分 ， 即xP=2xM，于 是 =2 ，解 得 k1=4 或 k2=4+ ， ki 0， ki 3， i=1， 2， 当 l 的 斜 率 为 4 或 4+ 时 ， 四 边 形 OAPB 能 为 平 行 四 边 形 第 8 页（共 14 页）（ 2011四 川 ） 椭 圆 有 两 顶 点 A（ 1， 0） 、 B（ 1， 0） ， 过 其 焦 点 F（ 0， 1）的 直 线 l 与 椭 圆 交 于 C、 D 两 点 ， 并 与 x 轴 交 于 点 P 直 线 AC 与 直 线 BD 交 于点 Q（ ） 当 |CD|= 时 ， 求 直 线 l 的 方 程 ；（ ） 当
23、点 P 异 于 A、 B 两 点 时 ， 求 证 ： 为 定 值 【 分 析 】 （ ） 根 据 椭 圆 有 两 顶 点 A（ 1， 0） 、 B（ 1， 0） ， 焦 点 F（ 0， 1） ，可 知 椭 圆 的 焦 点 在 y 轴 上 ， b=1， c=1， 可 以 求 得 椭 圆 的 方 程 ， 联 立 直 线 和 椭 圆方 程 ， 消 去 y 得 到 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ， 利 用 韦 达 定 理 和 弦 长 公 式 可 求 出 直 线l 的 方 程 ；（ ） 根 据 过 其 焦 点 F（ 0， 1） 的 直 线 l 的 方 程 可 求 出 点 P 的 坐 标 ， 该
24、 直 线 与椭 圆 交 于 C、 D 两 点 ， 和 直 线 AC 与 直 线 BD 交 于 点 Q， 求 出 直 线 AC 与 直 线 BD的 方 程 ， 解 该 方 程 组 即 可 求 得 点 Q 的 坐 标 ， 代 入 即 可 证 明 结 论 【 解 答 】 解 ： （ ） 椭 圆 的 焦 点 在 y 轴 上 ， 设 椭 圆 的 标 准 方 程 为（ a b 0） ，由 已 知 得 b=1， c=1， 所 以 a= ，椭 圆 的 方 程 为 ，当 直 线 l 与 x 轴 垂 直 时 与 题 意 不 符 ，设 直 线 l 的 方 程 为 y=kx+1， C（ x1， y1） ， D（ x2
25、， y2） ，将 直 线 l 的 方 程 代 入 椭 圆 的 方 程 化 简 得 （ k2+2） x2+2kx 1=0，则 x1+x2= ， x1x2= ， |CD|= = = ，第 9 页（共 14 页）解 得 k= 直 线 l 的 方 程 为 y= x+1；（ ） 证 明 ： 当 直 线 l 与 x 轴 垂 直 时 与 题 意 不 符 ，设 直 线 l 的 方 程 为 y=kx+1， （ k 0， k 1） ， C（ x1， y1） ， D（ x2， y2） ， P 点 的 坐 标 为 （ ， 0） ，由 （ ） 知 x1+x2= ， x1x2= ，且 直 线 AC 的 方 程 为 y=
26、， 且 直 线 BD 的 方 程 为 y= ，将 两 直 线 联 立 ， 消 去 y 得 ， 1 x1， x2 1， 与 异 号 ，= ，y1y2=k2x1x2+k（ x1+x2）+1= = ， 与 y1y2 异 号 ， 与 同 号 ， = ， 解 得 x= k，故 Q 点 坐 标 为 （ k， y0） ，=（ ， 0） （ k， y0） =1，故 为 定 值 （ 2015新 课 标 II） 设 函 数 f（ x） =emx+x2 mx（ 1） 证 明 ： f（ x） 在 （ ， 0） 单 调 递 减 ， 在 （ 0， + ） 单 调 递 增 ；第 10 页（共 14 页）（ 2） 若 对 于
27、 任 意 x1， x2 1， 1， 都 有 |f（ x1） f（ x2） | e 1， 求 m的 取 值 范 围 【 分 析 】 （ 1） 利 用 f （ x） 0 说 明 函 数 为 增 函 数 ， 利 用 f （ x） 0 说 明函 数 为 减 函 数 注 意 参 数 m 的 讨 论 ；（ 2） 由 （ 1） 知 ， 对 任 意 的 m， f（ x） 在 1， 0单 调 递 减 ， 在 0， 1单 调递 增 ， 则 恒 成 立 问 题 转 化 为 最 大 值 和 最 小 值 问 题 从 而 求 得 m 的 取 值 范 围 【 解 答 】 解 ： （ 1） 证 明 ： f （ x） =m（
28、emx 1） +2x若 m 0， 则 当 x （ ， 0） 时 ， emx 1 0， f （ x） 0； 当x （ 0， + ） 时 ， emx 1 0， f （ x） 0若 m 0， 则 当 x （ ， 0） 时 ， emx 1 0， f （ x） 0； 当x （ 0， + ） 时 ， emx 1 0， f （ x） 0所 以 ， f（ x） 在 （ ， 0） 时 单 调 递 减 ， 在 （ 0， + ） 单 调 递 增 （ 2） 由 （ 1） 知 ， 对 任 意 的 m， f（ x） 在 1， 0单 调 递 减 ， 在 0， 1单 调递 增 ， 故 f（ x） 在 x=0 处 取 得 最
29、小 值 所 以 对 于 任 意 x1， x2 1， 1， |f（ x1） f（ x2） | e 1 的 充 要 条 件 是即设 函 数 g（ t） =et t e+1， 则 g （ t） =et 1当 t 0 时 ， g （ t） 0； 当 t 0 时 ， g （ t） 0 故 g（ t） 在（ ， 0） 单 调 递 减 ， 在 （ 0， + ） 单 调 递 增 又 g（ 1） =0， g（ 1） =e 1+2 e 0， 故 当 t 1， 1时 ， g（ t） 0当 m 1， 1时 ， g（ m） 0， g（ m） 0， 即 合 式 成 立 ；当 m 1 时 ， 由 g（ t） 的 单 调 性
30、 ， g（ m） 0， 即 em m e 1当 m 1 时 ， g（ m） 0， 即 e m+m e 1综 上 ， m 的 取 值 范 围 是 1， 1（ 2015新 课 标 II） 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C1： （ t 为 参 数 ，t 0） ， 其 中 0 ， 在 以 O 为 极 点 ， x 轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 ， 曲线 C2： =2sin ， C3： =2 cos （ 1） 求 C2 与 C3 交 点 的 直 角 坐 标 ；（ 2） 若 C1 与 C2 相 交 于 点 A， C1 与 C3 相 交 于 点 B， 求 |AB|的 最 大 值 【 分 析 】 （ I） 由 曲 线 C2： =2sin ， 化 为 2=2 sin ， 把 代入 可 得 直 角 坐 标 方 程 同 理 由 C3： =2 cos 可 得 直 角 坐 标 方 程 ， 联 立 解出 可 得 C2 与 C3 交 点 的 直 角 坐 标
