1、2016-2017 学年贵州省铜仁市思南中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共 60 分，每小题 5 分）1 （2016 平度市一模）已知集合 P=0，m，Q=x|2x 25x0，xZ ，若 PQ ，则m 等于（ ）A2 B 1 C1 或 2 D1 或【考点】集合关系中的参数取值问题【专题】计算题【分析】先求出集合 P，然后根据 PQ ，则集合 P 中含有集合 Q 的元素，从而求出m 的取值【解答】解：Q=x|2x 25x0，xZ=x|0x，xZ=1，2集合 P=0，m ，PQ ，集合 P 中含有集合 Q 的元素，m=1 或 2故选 C【点评】本题主要考查了集合关系
2、中的参数取值问题，以及交集的运算，属于容易题2 （2015 河南模拟）已知复数 z 满足（1+i）z=1+i ，则|z|=（ ）A B C D2【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求出 z，然后直接代入复数模的公式求解【解答】解：（1+i）z=1+i，=故选：A【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题3 （2016 秋思南县校级期中）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” 执行该程序框图，若输入 a，b 分别为 16，20，则输出的 a=（ ）A0 B 2 C4 D14【考点】程
3、序框图【专题】转化思想；算法和程序框图【分析】利用更相减损术可得：a=16，b=20，1620，可知：第一次运算可得：b=2016=4；a=16，b=4，416，以此类推直到 a=b 即可结束【解答】解：a=16，b=20，1620，可知：第一次运算可得：b=2016=4；a=16，b=4，416，第二次运算可得：a=164=12；a=12，b=4，412，第三次运算可得：a=124=8；a=8，b=4，48，第四次运算可得：a=84=4；此时 a=b=4，输出 a，即 4故选：C【点评】本题考查了更相减损术、算法与程序框图，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4 （2010 成都一模）在 A
4、BC 中，AB=2，AC=1，=，则 的值为（ ）A B C D【考点】平面向量数量积的运算；相等向量与相反向量【专题】计算题；压轴题【分析】由已知条件，我们易得 D 为ABC 中 BC 边的中点，根据向量加法的平行四边形法则，我们可将、用表示，代入平面向量数量积的公式，即可得到答案【解答】解：由可得D 为 BC 边的中点，由向量加法的平行四边形法则可得：=（）=（）=（）（）=（）又AB=2，AC=1=故选：C【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量加减法的平行四边形法则，其中根据向量加减法的平行四边形法则，将、用表示，是解答本题的关键5 （2016 秋思南县校级期中）已知 si
5、n（+）=，则 cos（2）的值等于（ ）A B C D【考点】运用诱导公式化简求值【专题】三角函数的求值【分析】已知等式中的角度变形后，利用诱导公式求出 cos（）的值，原式利用二倍角的余弦函数公式化简后，将 cos（）代入计算即可求出值【解答】解：sin（+ ）=sin （ ）=cos （ ）=，cos（ 2）=2cos 2（ ）1= 故选：C【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键6 （2016 秋思南县校级期中）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ，若sinA，sinB ，sinC 成等比数列，且 c=2a，则 cosB=（ ）A B C
6、 D【考点】余弦定理；正弦定理【专题】转化思想；综合法；解三角形【分析】利用等比数列的定义求得 b2=ac，再利用 c=2a 以及余弦定理求得 cosB 的值【解答】解：ABC 中，sinA，sinB，sinC 成等比数列，sin 2B=sinAsinC，b 2=acc=2a，b 2=2a2，则 cosB=，故选：D【点评】本题主要考查等比数列的定义，余弦定理的应用，属于基础题7 （2011 徐水县一模）若定义域为（，0）（0，+ ） ，f（x）在（0，+）上的图象如图所示，则不等式 f（x）f（ x）0 的解集是（ ）A （，1） （0，1） B （1，0） （1，+） C （ ，1）（1，
7、+） D （1，0）（0，1）【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质；导数的运算【专题】计算题【分析】本题考查的知识点是函数奇偶性及单调性，由 f（x）为偶函数，我们可以根据偶函数的性质偶函数的图象关于 Y 轴对称，判断出函数图象在 Y 轴左侧的情况，然后结合导数的意义，不难求出等式 f（x）f（x）0 的解集【解答】解：由图可知：f（x）在区间（0，+）上单调递增，则在区间（0，+）上 f（x）0又由 f（x）为偶函数则 f（x）在区间（，0）上单调递减，则在区间（， 0）上 f（x）0由 f（ 1）=f（1）=0 可得在区间（，1）上 f（x）0，f （x）0在区间（1，0 ）上 f（
8、x） 0，f（x）0在区间（0，1）上 f（x）0，f（x）0在区间（1，+）上 f（x）0，f （x）0故不等式 f（x）f（x）0 的解集为（ 1，0） （1，+ ）故选 B【点评】利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，f（x）0（或f（x）0）仅是 f（x）在某个区间上为增函数（或减函数） ，反之，f （x）在某个区间上为增函数（或减函数） ，则 f（x）0（或 f（x）0） 8 （2016 秋思南县校级期中）已知函数 f（x）=alnx+x 在区间2，3上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A2，+ ） B 3，+ ） C0，+） D （ ，2）【考点】利用导数研究函数
9、的单调性【专题】常规题型；综合法；导数的综合应用【分析】由题意知函数 f（x） =alnx+x，定义域为（0，+） ，函数 f（x）在2，3上单调递增，则是要求 f（x）在2，3上恒大于 0；从而求出 a 的取值范围【解答】解：由题意知函数 f（x）=alnx+x，定义域为（0，+）则：f（x）=+1函数 f（x）在2，3 上单调递增，说明 f（x）在2 ，3上恒大于 0；当 a0 时，f（ x）0，则 f（x）在2 ，3上单调递增；当 a0 时，f（ x）为单调递增函数，则最小值 f（2）0，即：，解得：a2综上，a 的取值范围为： 2，+）故选：A【点评】本题主要考查了利用导函数判断原函数
10、的单调性，以及参数分类讨论知识点，属中档题9 （2015 龙泉驿区校级模拟）将函数 f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移 （ 0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） ，所得图象关于直线 x=对称，则 的最小值为（ ）A B C D【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】由题意根据函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数为 y=2sin（4x+2） ，再利用正弦函数的图象的对称性，求得 =+，kz ，由此求得 的最小值【解答】解：将函数 f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移 （0）个单位，可得
11、y=2sin2（x ）+=2sin（2x+ 2）的图象；再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） ，所得图象对应的函数为 y=2sin（4x+2） 再根据所得图象关于直线 x=对称，可得 4+2=k+，kz，即 =+，故 的最小值为，故选：C【点评】本题主要考查函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题10 （2016 秋思南县校级期中）过抛物线 y2=2px 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的形状为（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定【考点】抛物线的简单性质【专题】综合题；转化思想；
12、演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设过 A，B 的坐标为（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ，求出=x 1x2+y1y2=+y1y2=0，得到三角形的形状【解答】解：设过 A，B 的坐标为（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ，则=x 1x2+y1y2=+y1y2=0三角形为钝角三角形故选 C【点评】本题考查三角形形状的判定，具体涉及到抛物线、直线与抛物线的位置关系、向量等知识点，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化11 （2012 吉安县校级模拟）若方程（x2cos） 2+（y2sin） 2=1（02 ）的任意一组解（x，y）都满足不等式 xy，则 的取值
13、范围是（ ）A B C D【考点】圆的标准方程；正弦函数的定义域和值域；余弦函数的定义域和值域【专题】综合题【分析】方程（x2cos） 2+（y 2sin） 2=1（02 ）表示的曲线在 x=y 的左上方（包括相切） ，由此可建立不等式，利用三角函数知识，即可求得 的取值范围【解答】解：由题意，方程（x2cos） 2+（y 2sin） 2=1（02）表示的曲线在 x=y 的左上方（包括相切） ，则，sin（ ）02 ， 的取值范围是故选 B【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查三角函数知识的运用，解题的关键是将问题转化为方程（x2cos） 2+（y 2sin） 2=1（02 ）表示的曲线在
14、x=y 的左上方（包括相切） 12 （2013 揭阳校级模拟）函数 f（x）=cos 2x2cos2的一个单调增区间是（ ）A B C D【考点】复合三角函数的单调性【专题】计算题；压轴题；转化思想；换元法【分析】化简函数为关于 cosx 的二次函数，然后换元，分别求出单调区间判定选项的正误【解答】解函数=cos 2xcosx1，原函数看作 g（t）=t 2t1，t=cosx，对于 g（t）=t 2t1，当时，g（t）为减函数，当时，g（t）为增函数，当时，t=cosx 减函数，且，原函数此时是单调增，故选 A【点评】本题考查三角函数的单调性，考查发现问题解决问题的能力，是中档题二、填空题（共
15、 20 分，每小题 5 分）13 （2012 陕西二模）已知 cos=且 （，） ，则 tan（+=） 【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系【专题】三角函数的求值【分析】利用同角三角函数的基本关系求得 sin=，可得 tan=，再由 tan（+）=，运算求得结果【解答】解：已知 cos=且 （，） ，sin=，tan= tan（+）=，故答案为 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式的应用，属于中档题14 （2016 秋思南县校级期中）向量= （cos10，sin10） ，=（cos70，sin70） ，|2|= 【考点】向量的模；平面向量数量积的运算【
16、专题】平面向量及应用【分析】利用数量积运算及其性质、向量模的计算公式即可得出【解答】解：向量=（cos10，sin10 ） ，=（cos70，sin70） ，=cos10cos70+sin10sin70=cos（70 10）=cos60= |=1，同理=1|2|= 故答案为：【点评】本题考查了数量积运算及其性质、向量模的计算公式，属于基础题15 （2013 上海校级模拟）设 F1、F 2 分别是双曲线 x2=1 的左右焦点，点 P 在双曲线上，且 =0，则|+|= 【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题【分析】先求出 F1，F 2 的坐标、焦点坐标，由两个向量的数量积等于 0 得，PF 1PF
17、 2，勾股定理成立，可求|pF 1|2+|PF2|2，计算所求式子的平方，可得所求式子的值【解答】解：由题意知，a=1，b=3，c=，F 1（，0） ，F 2（，0） ，P 在双曲线上，且，PF 1PF 2，|pF 1|2+|PF2|2=（2c） 2=40，所求式子是个非负数，所求式子的平方为：|pF 1|2+|PF2|22 =400=40，则=2，故答案为 2【点评】本题考查双曲线的简单性质，两个向量的数量积，体现转化的数学思想16 （2016 秋思南县校级期中）已知数列a n满足：a 1=1 且 an+1=2an+1，nN *，设bn=n（a n+1） ，则数列b n的前 n 项和 Sn=
18、 （n1）2 n+1+2 【考点】数列递推式【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】由 an+1=2an+1，可得 an+1+1=2（a n+1） ，利用等比数列的通项公式可得 an+1，再利用“错位相减法” 与等比数列的求和公式即可得出【解答】解：a n+1=2an+1，a n+1+1=2（a n+1） ，数列a n+1是等比数列，公比为 2，首项为 2a n+1=2n，b n=n（a n+1）=n2 n，数列b n的前 n 项和 Sn=2+222+323+n2n，2Sn=22+223+（n1）2 n+n2n+1，S n=2+22+2nn2n+1=n2n+1，S n=（n 1）
19、2 n+1+2故答案为：（n1）2 n+1+2【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（共 70 分）17 （12 分） （2011浙江校级模拟）已知向量= （sinA，）与 =（3，sinA+ ）共线，其中 A是ABC 的内角（1）求角 A 的大小；（2）若 BC=2，求ABC 面积 S 的最大值，并判断 S 取得最大值时ABC 的形状【考点】向量的共线定理；基本不等式；两角和与差的正弦函数；正弦定理【专题】计算题【分析】 （1）根据向量平行得出角 2A 的等式，然后根据两角和差的正弦公式和 A 为三角形内角这个条件得到 A（2）根据余弦定理代入三角形的面积公式，判断等号成立的条件【解答】解：（1）因为，所以；所以，即，
