1、高等数学（二）命题预测试卷（二）一、选择题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1下列函数中，当 时，与无穷小量 相比是高阶无穷小的是（ ）1x)1(xA B)3ln( 23C Dcosx x2曲线 在 内是（ ）y1),(A处处单调减小 B处处单调增加C具有最大值 D具有最小值3设 是可导函数，且 ，则 为（ ）)(xf 1)(2(lim00hxfxf )(0xfA1 B0C2 D 24若 ，则 为（ ）1)(xf10)(dxfA B2 ln1C1 D 25设 等于（ ）xuyz,A Bz 1
2、zxyC D1zy z二、填空题：本大题共 10 个小题，10 个空，每空 4 分，共 40 分，把答案填在题中横线上。6设 ，则 = 2yxez)2,1(z7设 ，则 fxln)( 3f8 ，则 xf1)()1(f9设二重积分的积分区域 D 是 ，则 42yxDdxy10 = xx)2(lim11函数 的极小值点为 )(1xef12若 ，则 34li21xax a13曲线 在横坐标为 1 点处的切线方程为 yrctn14函数 在 处的导数值为 20sixd215 12cosinx三、解答题：本大题共 13 小题，共 90 分，解答应写出推理、演算步骤。16 （本题满分 6 分）求函数 的间断
3、点0 01arctn)(xxf17 （本题满分 6 分）计算 12limxx18 （本题满分 6 分）计算 xx10)(arcsinlim19 （本题满分 6 分）设函数 ，求 01 )1ln( )xxexf )(xf20 （本题满分 6 分）求函数 的二阶导数)sin(yx21 （本题满分 6 分）求曲线 的极值点342)(xf22 （本题满分 6 分）计算 dx12323 （本题满分 6 分）若 的一个原函数为 ，求 )(xf xlndxf)(24 （本题满分 6 分）已知 ，求常数 的值021dxkk25 （本题满分 6 分）求函数 的极值5126),(23yxyxf26 （本题满分 1
4、0 分）求 ，其中 D 是由曲线 与 所围成的平面区域Ddxy)(2 2xy2y27 （本题满分 10 分）设 ，且常数 ，求证： adxfxf02)()( 1a)1(3)(0adxfa28 （本题满分 10 分）求函数 的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近xyln线并作出函数的图形参考答案一、选择题1B 2B 3D 4D 5D二、填空题6 72e 31e8 91x 10 112e 0x125 13 )1(24y14 1504sin2三、解答题16解 这是一个分段函数， 在点 的左极限和右极限都存在)(xf21arctnlim)(li00 xfxxx)(li)(li00ffx故
5、当 时， 的极限不存在，点 是 的第一类间断f 0x)(f点17解 原式= 2121lim2li xxxx18解 设 xf 1)(arcsin)(由于 是初等函数 的可去间断点，0xlf故 xxxxff 1000 )(arcsinlim)(lin)(limxxx 100)(limarcsnlil)l(e19解 首先在 时，分别求出函数各表达式的导数，即0x当 时， )1()() 211 xexexfx 当 时， 01xlnf然后分别求出在 处函数的左导数和右导数，即1lim)(0 xf0)(li0 efx从而 ，函数在 处不可导)( ff x所以 0 1 )(1xxefx20解 )sin(y)
6、cos()cos(co yxyxx )1(in)1(si yyy 2)1(sincyxx)os(1in2yy又由解得 )c(x代入得2)cos(1syxy3)cos(1inyx21解 先出求 的一阶导数：)(xf )23(4623 xxf令 即 解得驻点为 0 0)2(4x,01再求出 的二阶导数 )(xf )(21 xxf当 时， ，故 是极小值239f 67)3(f当 时， ，在 内， ，在 内01x0)(,0xf)23,(0)(xf故 不是极值点1x总之 曲线 只有极小值点 24)(xf23x22解 11)(12232 xdxxdxdx)( 2223C)1ln(1123解 由题设知 ll
7、l)ln() xxxf故 ddx1(xl2n221)(lnl1xdx22lnxxC24124解 020202 1lim11adxkdxkdx)rctn(liarctnli0 ka又 210dxk故 解得 125解 3,62yfxf解方程组 得驻点012y)2,3(),00BA又 yfCfBfAxyx 6, 对于驻点 ，故126,02: 30 yx 0242AC驻点 不是极值点0A对于驻点 126,2: 30 yxCB故 ，又 42AB0A函数 在 点取得极大值),(yxf)2,3(0351892326解 由 与 得两曲线的交点为 与xy2y)0,(O1,(A的反函数为 )0(2xdxyxdyd
8、xyxD 2102210 )()( 1403)4172(5210 45xx27证 aaa dxfxdf0020 )()(aaxfx003)(1adf03)()(00xfdxfaa于是 )1()(30afa28解 （1）先求函数的定义域为 ),0(（2）求 和驻点： ，令 得驻点 y2lnxy 0yex（3）由 的符号确定函数的单调增减区间及极值当 时， ，所以 单调增加；ex0l12xyy当 时， ，所以 单调减少0由极值的第一充分条件可知 为极大值eyx1（4）求 并确定 的符号：y，令 得 3ln2x 023ex当 时， ，曲线 为凸的；20eyy当 时， ，曲线 为凹的3x0根据拐点的充分条件可知点 为拐点)23,(e这里的 和 的计算是本题的关键，读者在计算时一定要认真、仔细。y另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷，现列表如下： x),0(e),(23e23e),(23y 0 0 就表上所给的 和 符号，可得到：y函数 的单调增加区间为 ；xln),0(e函数 的单调减少区间为 ；y函数 的极大值为 ；xl ey1)(函数 的凸区间为 ；yln,023函数 的凹区间为 ；xl ),(23e函数 的拐点为 yln),(23（5）因为 ，0limxxlni所以曲线 有yn水平渐近线 铅垂渐近线 0x（6）根据上述的函数特性作出函数图形如下图
