1、www.1230.org 初中数学资源网 收集整理 1北师大九上 第三章 证明（三）教材分析一、内容介绍北师大教材对于图形认识的教材处理基本采用“2 阶段”的方式：“实验操作-演绎”，第 1 阶段，实验、操作、测量+说理， 认识图形的基本性质；第 2 阶段， 进一步认识图形的性质，重点是证明意义的体会和学 习演绎推理论证。 证明（三）是第二 阶段的内容，是证明（一）和证明（二）的延续，是对八年 级所探索、猜想出的平行四 边 形性质和条件的结论做逻辑推理论证及探索、证明有关特殊四 边形的一些其他结论。是初中几何证明阶段的完结篇。二、教学目标：1、能够用综合法证明平行四边 形性质定理和判定定理，菱
2、形、矩形、正方形的性质定理及相关结论。2、掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的概念性 质和条件，了解它们之间的关系。3、经历探索、猜想、证明的过程， 进一步发展推理论证能力和深化对证明必要性的理解。4、体会在证明过程中所运用的 归纳、 类比和转化的数学思想方法，体会计算和证明在解决问题中的作用。三、设计思路1、利用已有结论证明（一）和证 明（二）中来证明特殊四边形等有关的 结论。证明（三）是证明（一）、证明（二）的 继续，其中 许多命题都已 经在前几册中让学生通过直观的方法探索过了，如平行四 边形、菱形、矩形、正方形等性 质和判定， 学生对其结论都已经有所了解，本册教材主要是 对这些结论进行理
3、论的证 明。前面学生借助折 纸、画图等活动进行直观探索的过程和方法为本章的证明提供了铺垫， 为学生提供了相应的定理证明思路。2、让学生经历探索、猜测、证明的过程来学习新命题除了学生已经直观探索过的命题外，教材中 还涉及了一些学生没有探索 过的新命题。对这些命题创设了一些问题情景，由 问题情境出发，使学生经历“ 探索发现猜想证明”的过程，体会合情推理与论证推理在获得结论中各自发挥的作用，使学生意识到证明是探索活动的自然延续和必要发展。如中位线定理，教材引导学生先去体 验小明的做法是否正确，再让学生提出三角形的中位线与第三边的关系的猜想，然后去 发现其之间的关系，我们不能只满足于结论的获得，要积极
4、探索证明的思路和方法。3、关注命题的拓展、引申，引导学生发现规律， 发展概括抽象的能力。教材在证明（三）的设计上注意到了对学生数学学习方法的指导和思维能力、水平的指www.1230.org 初中数学资源网 收集整理 2导和培养，为学生设置了可将 结论进行推广和一般化的空 间，希望通 过命题的拓展，为学生创造深入思考数学问题的机会。 比如在判断证明“ 依次连接正方形各边中点能得到一个怎样的图形呢”后，教材在“议一议”中设置了相应的三个拓展问题（依次连接矩形、菱形、平行四边形，一般四边形各边中点），分别从特殊四边形的形状 变化，挖掘出对角线的变化，对前面已经讨论过的特殊结论进行了一般化的推广中点四
5、边形形取决于原四边形的对角线。对这种拓展型的命题 ，教 师在教学时应当注意引导 学生发现规律、对数学现象进行概括和抽象，并强化和渗透 归纳、 类比、转化等思想方法，从而提高学生的数学思 维能力。4、倡导学生探索证明思路和不同的 证明方法。教材在“议一议” 中和例题后经常设置这样提问， “你还有其他的证明方法吗？”“ 你是怎样思考的，请与同伴交流”，以及教材在 练习和习题中也 编排了一些可以变式训练或可一题多解的题目，这旨是让学生呈 现他的 证明思路和求异思 维，是关注学生 证明思路获得的过程和方法的多样性。5、展示证明思路，知识之间的联系，渗透数学思想方法。本章中转化、 类比、归纳、方程等思想
6、得到了很好的渗透。如把平行四边形转化为三角形，梯形转化为平行四边形和三角形来处理，各特殊平行四边 形间有关知识的类比关系。四、具体内容分析及教学建议 ：1、 平行四边形 3 课时2、 特殊平行四边形 3 课时回顾与思考 2 课时3.1 平行四边形平行四边形、梯形的性质和判定在八年 级已经进行了经验 探索、 观察、猜想层面上的学习，但建立在这一层面上的 结论还是不可靠的， 还需要严 密的推理论证来支撑，而这一节的教学内容就是来解决这一问题的。本节的重点是用综合法证明平行四边形的性质定理和判定定理以及掌握严格证明方法、发现推理、证明的能力。而 证明题许多同学找不到方法，不知从何 证起，所以本节的难
7、点也在于证明方法的掌握。因此，在教学中要关注对证明思路的启发，解题方法的多样性；要关注变式训练以及引导学生要善于对方法的归纳和总结。并从中体会数学思想。例如：P75 例题。 证明“ 等腰梯形在同一底 边上的两个角相等 ”时思路的启发重点是“如何把转化到等腰三角形的两个底角”， 让学生自己添辅助线。同时要引导学生用不同方法解题可做两条高线。解题完 毕要引导学生对方法的提炼 把梯形转化为三角形和平行四边形来考虑，并让学生体会 转化的思想。www.1230.org 初中数学资源网 收集整理 3而本节中的其他一些题目还是可以变式训练和一题多解的，我们应尽可能的提供给学生。如 P82 随堂 练习 1（如
8、图 1）可引导学生用多种方法来解，用相似形或直角三角形的知识来解，以做方法上的拓展。 P79 随堂练习 3 可做变式训练（如图 2），以充分理解基本图形“角平分线+平行线” 的内涵。图 2对已学习过的等腰梯形的判定定理，平行四边形的性质定理、判定定理大多有不同证法，在教学中应追求方法上的多 样化。P78“做一做”是一道难得的综合题，集勾股定理、平行四边形的判定定理、方程思想于一体，可让学生好好体会综合题的做法及方程的思想。2、中位线定理是一个要学习的新命 题，教材中设置了问题情境，体现让学生探索 猜想证明的过程，教师在教学中应该让 学生体会这过程，并保 证 探索的时间和空间。本节的最后一个“做
9、一做” （P82），也是一个新命题，是中点四边形的一般化，是中位线定理的应用。教学中也应让学生去探索体会，但鉴于证明思路获得的困难，可建议先提示或 设个台阶。利用中位线定理进行有关计算是一类重要的应用。而教材中没出现计算应用 题，在教学中可适当增加 难度适中的 计算类题目，以让学生体会计算和证明在问题解决中的作用。3、本节中涉及到的需证明的命 题很多，教材做了一些课堂论证，一些学生在作业中论证的处理，这主要考虑到教学 时间的问题。在教学中教 师可看学情而定，取舍命题在课堂内论证，但一节教学完毕，应该对性质和判断有个梳理。www.1230.org 初中数学资源网 收集整理 44、由于学生对一些规
10、律性的东 西理解不够， 对逻辑推理还 不够熟练，在证明过程中会出现推理过程不严密，因果关系混乱的毛病。因此在教学证明过程中，每一步可以让学生说明理由，以便对证明的意义 有更深刻的认识和理解。教学素材：1、 如图在ABCD 中，已知 E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点，以图中的点为顶点尽可能画出平行四边形。2、 如图在四边形 ABCD 中， E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点。请添加条件，使四边形 EFGH 为菱形，并说明理由。添加 条件：，理由： 。 3.2 特殊平行四边形与上节一样，本节也是对原来探索出的命 题（特殊平行四边 形的性质和判定）进行逻辑上
11、的证明。由于本节中涉及到的特殊四 边形的定义、性 质、判定较多，学生（特别是学困生）会有所混淆，在教学中可以先让学生回忆梳理基于合情推理上的性 质、判定及相互关系。同时， 对于原来命题的证明要关注 证明思路的获得和方法的多 样性。2、本节的重点是特殊四边形的性 质和定理的证明和应用，教材中安排了一些几何计算方面应用的例题和习题，教师 在教学中要关注这些问题的 变式、拓展和一 题多解。、 1、 P87 例 1。可启 发学生用不同方法解题。也可 变式：改条件为 AB=1，BC=3，求 AOD 的度数。目的都是让学生加深对矩形性质的理解。例 2、P91“做一做” ，可变式图形（向正方形外内作等边 三
12、角形）。如 图：例 3、P96 练习 5。可变式条件 ：增加 AB=4，BC=8，求 AF；变式条件：BF 是ABD的平分线，求 AF 与 AB 的数量关系 。也可 变式图形：对折使 C 在 AD 上。www.1230.org 初中数学资源网 收集整理 5系列变式引导让学生掌握解决折叠问题的方法-根据轴对称图形的特殊性质利用全等或相似三角形,方程等知识来完成。例 4：P97 习题 10（如下图）。此命 题可加以拓展：“第一次取中点时所组成的三角形的周长是多少？第n 次取中点时所组成的三角形的周长是多少？”。把命题向一般化，规律化拓展。对于任何问题的解决，要引导 学生对方法、 规律的归纳和积 累
13、，以提高证明推理能力。3、命题“直角三角形斜 边上的中线等于斜边的一半”的推导是矩形性质的直接应用，是本节中的一个新命题。我们在教学中 应充分让学生理解 P86“议一议”中的内容，再启发学生证明此命题的添辅助线的方法，延 长斜边上的中线一倍或 过一点作一直角边的平行线。尽量不要把现成的证题方法直接教给学生。本节最后一个新命题 P91“依次连接四边形的各边中点所成的四边形”是一个典型的把结论做一般化推广的例子。教材先探索、猜想、证明正方形各边中点所连成四边形的形状，再通过“议一议 ” 要求证明菱形、矩形、平行四边形、一般四边形各边中点连成的四边形的形状，最后意图让学生归纳新四 边形的形状取决与原
14、四边形的对角线的一般结论。在教学中对各中点四边形进行证明后要有充分的时间给学生探索、讨论、比较，要引导学生比较每种证明的不同和相同之处。结论完毕 后也可补充类似“ 依次连接对角线互相垂直的四边形的形状是什么”， “依次连接对角线互相等的四边形的形状是什么”，的问题，进一步把结论向一般化推广。不过由于用其他方法也可证明新四边形的形状，在教学中应该把证明思路向对角线方面引导。3、 由于学生的能力问题，在 证明过程中还会出现考虑不完整，把一些未经证明的命题直接当条件用。建议在教学中还 要关注学生的言必有据，言之有理。教学素材：www.1230.org 初中数学资源网 收集整理 61、 如图，若将四根
15、木条钉成的矩形木框 变形为平行四边形 ABCD 的形状，并使其面 积为矩形面积的一半，则这个平行四 边形的一个最小内角的度数等于多少？2、 在一张长 12，宽 5 的矩形 纸片中，要折出一个菱形，小明利用各边中点的方法折出，小丰沿矩形的对角线 AC 折出菱形 AEFG，请你通过计算，比较两位同学的折法中，哪个菱形的面 积大？回 顾与思考设立 “回顾与思考”的意图是运用 问题的形式鼓励学生梳理本章内容， 总结相关的数学思想和方法，建立一定的知识体系。在教学中时，应鼓励学生独立思考，自己回顾所学的内容，用图表或其他形式构建知识框架图，然后开展小 组交流和全班交流。总之，本章的教学建议可以从以下几个
16、方面入手：1、对于以前学过的命题，分析证明思路时要与以前的直观 探索建立联系；更要关注证明思路的获得和证明方法的多样性。2、对于新命题，则要让学生经历探索猜想证 明的过程， 提供必要的时间和空间，同时要让学生进一步的理解 证明的必要性。3、不要把证明思路现成的教给 学生，要注重 对证明思路的启 发，关注结论与思路的来源。要加强变式训练和知识的 综合运用，关注命 题的拓展、引申和问题解决方式的多样化。4、注重提高学生的逻辑证明的能力、表达能力，注重学生证明过程的规范表达。在证明过程中要求言必有义，推理有据。5、注重数学思想在教学中的渗透以及对学习方法的启发。6、把握证明的难度，不要在证明的技巧上挖掘太深。力图在教学中通过适量的、难度相当的命题证明，使学生既掌握 证明的基本方法，又能体会证明的意义，协调的发展推理能力。
