1、 高三第一轮复习第 1 页 共 4 页函数的对称性与周期性函数的对称性若函数 对定义域内一切)(xfyx(1) = 函数 图象关于 y 轴对称； f)(fy= 函数 图象关于原点对称；.(2) 函数 图象关于 对称 )(fa)()(xaff()2)fax；2)xx函数 图象关于 对称fy(,0fxf ff；()a函数 图象关于 成中心对称xf,(b)(2)(xfbaf周期函数的定义：对于函数 ，如果存在一个常数 ，能使得当 取定义域内的一切值时，都)(y0T有 ，则函数 叫做以 T 为周期的周期函数。(fTf)(xfy注：与周期相关的结论(1)周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正
2、值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数 ；)()Rxaf(2)周期函数的定义域是无界的；(3)若 T 为 的周期，则 nT 也是 的周期)(xfy0(nZ且 fy(4)若函数 恒满足 ，则 是周期函数， 是它的一个)fafxb()f2b周期； (5)若函数 恒满足 ，则 是周期函数， 是它的一个()f(xa周期；推论：若函数 恒满足 ，则 是周期函数，x)fxfx(a()f是它的一个周期；2ab(6)若函数 恒满足 ，则 是周期函数， 是它的一个()f 1()(faf0)()fx2a周期； 推论：若函数 恒满足 ，则 是周期函数，()fx)()fxfba()f是
3、它的一个周期；2ab(7) 若函数 恒满足 ，则 是周期函数， 是它的一()f 1()()fafx0()fx2a个周期； 高三第一轮复习第 2 页 共 4 页推论：若函数 恒满足 ，则 是周期函数，()fx1()()fxafxba()fx是它的一个周期；2ab(8)若函数 是偶函数，且关于直线 对称，则 是周期函数， 是它()f 0()f2a的一个周期； 推论：若函数关于直线 对称，则 是周期函数， 是它的一,()xab()fxb个周期；(8)若函数 是奇函数，且关于直线 对称，则 是周期函数， 是它()f 0xa()f4a的一个周期；推论：若函数关于点 、直线 对称，则 是周期函数， 是它,
4、0)a()bxb的一个周期；(8)若函数 是奇函数，且关于点 对称，则 是周期函数， 是它的()fx,0a()f2a一个周期；推论：若函数关于点 、 对称，则 是周期函数， 是它的一,0)a(,)bxb个周期。【典型例题】例 1、(2006 年山东卷）已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)= f(x),则,f(6)的值为 ( )(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)2【考点分析】本题考查函数的周期性和奇偶性，基础题。解析：由 ffxffxf 242由 是定义在 R 上的奇函数得 ， ，0246ff故选择 B。【窥管之见】本题用到两重要性质： 的周期为 ；如xfafa是定义在
5、R 上的奇函数，则 。xf 0例 2、 （2005 天津卷）设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 的图象关于直线fy对称，则 f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)= _.1【考点分析】本题考查函数的周期性解析： 得 ，假设0ff0f0fn因为点（ ，0）和点（ ）关于 对称，所以n1,n12x10fnffn因此，对一切正整数 都有： f从而： 。本题答案填写：012345ff例 3、 （2006 福建卷）已知 是周期为 2 的奇函数，当 时，()x1x()lg.fx设 则6(),(),5afbf,cf（A） （B） （C ） （D）baccbacab高三第一轮
6、复习第 3 页 共 4 页【考点分析】本题考查函数的奇偶性与周期性解析：已知 是周期为 2 的奇函数，当 时，()fx01x()lg.fx设 ，64()55af， 0， ，选 D.31()22bff ()2cffcab例 4、 （2006 年安徽卷理）函数 对于任意实数 满足条件 ，若xx12fxf则 _。15,ff【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。解析：由 得 ，所以 ，12fxf14()2fxfxf(5)1f则 。5()()5f【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一般都比较灵活。本题应直观理解 “只要加 2，则变倒数，加两次则回原位” 12
7、fxf则一通尽通也。例 5、 （1996 全国，15）设 是 上的奇函数， ，当f,xfxf0x1 时， ，则 f（7.5）等于（ ）xfA.0.5 B.0.5 C.1.5 D.1.5【考点分析】本题考查函数的奇偶性与周期性解析：由 ，又5.0.15.3.5.72 fffffff是奇函数，故 ，故选择 B。fx 0.0例 6、 （2005 福建卷 是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，且 ，则方程)(xf )2(f=0 在区间（ 0，6）内解的个数的最小值是 （ ） )(fA5 B 4 C3 D2【考点分析】本题考查函数的奇偶性解析：由 的周期性知，)(xf 0415)2( ffff即至少
8、有根 1，2，4，5。故选择 B。例 7、 （05 广东卷）设函数 在 上满足 ，x,)(2)()x，且在闭区间 0，7上，只有 ()ff3f（）试判断函数 的奇偶性；()yf（）试求方程 =0 在闭区间-2005 ，2005上的根的个数，并证明你的结论【考点分析】本题考查函数的奇偶性与周期性解析：由 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数 的对称轴为 ,)(xfy72x和从而知函数 不是奇函数,)(xfy高三第一轮复习第 4 页 共 4 页由 )14()()14()7()(2 xfxfxfxffxf ,从而知函数 的周期为10y0T又 ,故函数 是非奇非偶函数 ;3而(II)由 )14()()14()7()(2 xfxfxfxffxf 10(II) 又 09(73,3 f故 f(x)在 0,10和-10,0上均有有两个解 ,从而可知函数 在0,2005上有 402 个解,)xy在-2005.0上有 400 个解,所以函数 在-2005,2005 上有 802 个解.)(xfy例 8、设 是定义在 上以 6 为周期的函数， 在 内单调递减，且)(xfR(f,3图象关于直线 对称则下面结论正确的是（ ）y3A. B. 1.53.(.5)f(3.5)1.6.5)fC. D. (6)1f (f
